Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

a) Cỡ mẫu: $n = 2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20$.

Gọi ${x_1},\,{x_2},\,...,{x_{20}}$ là thời gian hoàn thành bài tập của 20 học sinh được điều tra và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}$. Do ${x_{15}},\,\,{x_{16}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {12;16} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_3}$.

Do đó: $p = 4$, ${a_4} = 12$, ${m_4} = 4$, ${m_1} + {m_2} + {m_3} = 2 + 4 + 7 = 13$, ${a_5} - {a_4} = 4$. Ta có:

${Q_3} = 12 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - 13}}{4}.4 = 14$.

Vậy ngưỡng thời gian cần tìm là 14 phút.

b) $Q = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ - 2}}$

$= \frac{1}{2}\left[ {{{\log }_a}{a^{10}} + {{\log }_a}{b^2}} \right] + 2\left[ {{{\log }_a}a - {{\log }_a}\sqrt b } \right] + 3 \cdot \left( { - 2} \right){\log _b}b$ $= \frac{1}{2}\left[ {10 + 2{{\log }_a}b} \right] + 2\left[ {1 - \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right] - 6 = 1.$

a) Vì $SA$ vuông góc với mặt phẳng $ABCD$ nên suy ra $SA \bot AD$.

Theo đề bài đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB \bot AD$.

Vì $AD$ vuông góc với hai đường thẳng $SA$ và $AB$ nên $AD \bot \left( {SAB} \right)$ .

b) Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AB$ và $AD$ cùng vuông góc với $SA$. Vậy $\widehat {BAD}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $\left[ {B,SA,D} \right]$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat {BAD} = 90^\circ$.

Vậy số đo của góc nhị diện $\left[ {B,SA,D} \right]$ bằng $90^\circ$.

Hướng dẫn giải

Số tiền nợ sau năm thứ nhất:

${T_1} = 300\left( {1 + 12\% } \right) - m = 300p - m$, với $p = 1 + 12\% = 1{,}12$.

Số tiền nợ sau năm thứ hai:

${T_2} = \left( {300p - m} \right)p - m = 300{p^2} - mp - m$.

Số tiền nợ sau năm thứ ba:

$${T_3} = \left( {300{p^2} - mp - m} \right)p - m = 300{p^3} - m{p^2} - mp - m$$

Trả hết nợ sau năm thứ tư: $\left( {300{p^3} - m{p^2} - mp - m} \right)p - m = 0$

$$\Leftrightarrow 300{p^4} - m{p^3} - m{p^2} - mp - m = 0 \Leftrightarrow 300{p^4} - m\left( {{p^3} + {p^2} + p + 1} \right) = 0$$

$$\Leftrightarrow 300{p^4} - m \cdot \frac{{\left( {{p^4} - 1} \right)}}{{p - 1}} = 0 \Leftrightarrow 300 \cdot {\left( {1{,}12} \right)^4} = m \cdot \frac{{\left[ {{{\left( {1{,}12} \right)}^4} - 1} \right]}}{{0{,}12}}$$

$\Leftrightarrow m = \frac{{300 \cdot {{\left( {1{,}12} \right)}^4} \cdot \left( {0{,}12} \right)}}{{{{\left( {1{,}12} \right)}^4} - 1}} \Leftrightarrow m = \frac{{36 \cdot {{\left( {1{,}12} \right)}^4}}}{{{{\left( {1{,}12} \right)}^4} - 1}}$.

Vậy $m = \frac{{36 \cdot {{\left( {1{,}12} \right)}^4}}}{{{{\left( {1{,}12} \right)}^4} - 1}} \approx 98{,}77$ triệu đồng.