Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là: C

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {8;12} \right)$ là $\frac{{8 + 12}}{2} = 10$.

Đáp án đúng là: C

Quan sát mẫu số liệu đã cho, ta thấy:

Số xe được đo tốc độ xe là: 27 + 70 + 8 + 3 + 1 + 1 = 110 (xe) nên đáp án A sai.

Mẫu số liệu đã cho gồm có 6 nhóm nên đáp án B sai.

Tổng độ dài của các nhóm 100 – 20 = 80 nên đáp án C đúng.

Số xe máy thuộc nhóm $\left[ {60;70} \right)$ không phải là ít nhất nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: C

Giả sử ${x_1};{x_2};...;{x_{40}}$ là cân nặng của 40 học sinh lớp 12B xếp theo thứ tự không giảm.

Có ${x_1};...;{x_4} \in \left[ {40;45} \right)$ ; ${x_5};...;{x_{17}} \in \left[ {45;50} \right)$ ; ${x_{18}};...;{x_{24}} \in \left[ {50;55} \right)$ ; ${x_{25}};...;{x_{29}} \in \left[ {55;60} \right)$ ;

${x_{30}};...;{x_{35}} \in \left[ {60;65} \right)$ ; ${x_{36}};...;{x_{37}} \in \left[ {65;70} \right)$ ; ${x_{38}} \in \left[ {70;75} \right)$ ; ${x_{39}};{x_{40}} \in \left[ {75;80} \right)$.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{20}} + {x_{21}}} \right)$ mà ${x_{20}};{x_{21}} \in \left[ {50;55} \right)$.

Khi đó ta có : $n = 40;{u_m} = 50;C = 17;{n_m} = 7;{u_{m + 1}} = 55$.

Do đó ${Q_2} = 50 + \frac{{\frac{{40}}{2} - 17}}{7} \cdot \left( {55 - 50} \right) \approx 52{,}14$.

Đáp án đúng là: B

Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:

Trung bình số xe đi qua trạm thu phí mỗi phút xấp xỉ bằng:

$\frac{{8 \cdot 5 + 13 \cdot 9 + 18 \cdot 3 + 23 \cdot 9 + 28 \cdot 4}}{{30}} \approx 17{,}7$.

Đáp án đúng là: C

$A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì $A \cap B = \emptyset .$

Đáp án đúng là: B

Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập với nhau.

Đáp án đúng là: D

Vì $A$, $B$ là hai biến cố độc lập với nhau nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$.

Đáp án đúng là: C

Số cách chọn 2 quả cầu là $C_8^2 = 28$ (cách).

Số cách chọn hai quả cùng màu là $C_5^2 + C_3^2 = 13$.

Vậy xác suất để chọn được hai quả cùng màu là $\frac{{13}}{{28}}$.

Đáp án đúng là: A

Theo lý thuyết, với số nguyên $m$, số dương $a$ và số tự nhiên $n\,\,\left( {n \ge 2} \right)$ thì ta có

$\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$.

Đáp án đúng là: D

Theo tính chất của lũy thừa, ta thấy đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${a^2} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} = {a^{2 + \frac{1}{3}}} = {a^{\frac{7}{3}}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $P = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{{\left( {2 \cdot 3} \right)}^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{2^{3 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}}$

$= {2^{\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - \left( {2 + \sqrt 5 } \right)}} \cdot {3^{\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}} = {2^1} \cdot {3^2} = 18.$

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$ với mọi số thực dương $a,b$ và $a \ne 1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\log _4}\left( {4a} \right) = {\log _4}4 + {\log _4}a = 1 + {\log _4}a$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\log _a}\sqrt[4]{a} = {\log _a}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\log _2}{a^2} + {\log _4}a = 2{\log _2}a + \frac{1}{2}{\log _2}a = \frac{5}{2}{\log _2}a.$

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = {\log _{\sqrt 3 }}x$ là một hàm số lôgarit.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {x^{ - 2}}$ không phải là hàm số mũ.

Đáp án đúng là: B

Quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;\,\,1} \right)$ nên đây là đồ thị của hàm số mũ, ta loại đáp án C và đáp án D. Lại thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến, do đó ta loại đáp án A, chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Ta thấy đồ thị $y = {x^c}$ đi xuống từ trái qua phải nên $c < 0$, đồ thị $y = {a^x}$ đi xuống từ trái qua phải nên $0 < a < 1$, đồ thị $y = {\log _b}x$ đi lên từ trái qua phải nên $b > 1.$

Vậy $c < 0 < a < 1 < b.$

Đáp án đúng là: C

Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có $A'D\,{\rm{//}}\,B'C,\,\,B'C \bot BC' \Rightarrow A'D \bot BC'$.

Đáp án đúng là: D

Trong không gian, cho điểm $A$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó, có đúng một đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: C

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên hình chiếu vuông góc của điểm $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là điểm $A$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $AD \bot SA$ (do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$) và $AD \bot AB$ (do ABCD là hình chữ nhật).

Do đó, $AD \bot \left( {SAB} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left\{ \begin{array}{c}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC$. (1)

Lại có $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ tới $\left( {ABC} \right)$ nên $OH \bot \left( {ABC} \right)$.

Suy ra $OH \bot BC$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC \bot \left( {OAH} \right)$. Do đó, $BC \bot AH$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có $BH \bot AC$ và $CH \bot AB$.

Từ đó suy ra $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Đáp án đúng là: A

Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ nên góc phẳng nhị diện cũng có số đo từ $0^\circ$ đến $180^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $BA \bot AD$ (do $ABCD$ là hình vuông) và $BA \bot SA$ (do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$).

Do đó, $BA \bot \left( {SAD} \right)$, tức là $A$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$.

Suy ra $SA$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$.

Khi đó, góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $SA$, chính là $\widehat {ASB}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $SC \bot SA$ và $SB \bot SA$, do đó $\widehat {BSC}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $\left[ {B,\,SA,\,C} \right]$.

Lại có $SB \bot SC$ nên $\widehat {BSC} = 90^\circ$.

Vậy số đo của góc nhị diện $\left[ {B,\,SA,\,C} \right]$ bằng $90^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

Vì tam giác $SAB$ là tam giác đều nên $SH \bot AB$.

Lại có $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ và $\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB$. Do đó, $SH \bot \left( {ABC} \right)$.

Khi đó góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $\widehat {SCH}$.

Vì tam giác $SAB$ là tam giác đều cạnh $2a$ nên $SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Vì tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $C$ nên $CH \bot AB$.

Ta có $AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a$.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $ACH$ ta được:

$CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt {10} } \right)}^2} - {a^2}} = 3a$.

Lại có $SH \bot CH$ (do $SH \bot \left( {ABC} \right)$) nên tam giác $SHC$ vuông tại $H$, do đó ta có:

$\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{HC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$. Suy ra $\widehat {SCH} = 30^\circ$.

1. Ta có

$$P = {\log _{ab}}x = \frac{1}{{{{\log }_x}ab}} = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_b}x}}}} = \frac{{{{\log }_a}x.{{\log }_b}x}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_b}x}} = \frac{{4.6}}{{4 + 6}} = \frac{{12}}{5}$$

Vậy $P = \frac{{12}}{5} = 2{,}4$.

2. Tính từ năm 2013 đến 2024, anh Toàn đã được 3 lần tăng lương.

Lương của anh Toàn sau lần tăng đầu tiên là:

${L_1} = 6 \cdot 1{,}25$ (triệu đồng).

Lương của anh Toàn sau lần tăng thứ 2 là:

${L_2} = {L_1} + 25\% {L_1} = {L_1} \cdot 1{,}25 = 6 \cdot 1,{25^2}$ (triệu đồng).

Lương của anh Toàn sau lần tăng thứ 3 là:

${L_3} = {L_2} + 25\% {L_2} = {L_2} \cdot 1{,}25 = 6 \cdot 1,{25^3} \approx 11{,}7$ (triệu đồng).

Vậy lương của anh Toàn hiện đang hưởng là $11{,}7$ triệu mỗi tháng.

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AK\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH$.

b) Ta có $AH \bot SK$ mà $BC \bot AH$ nên $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

c) Vì $AH \bot \left( {SBC} \right)$ nên $SK$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ trên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

Đặt $\alpha = \left( {SA,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SA,SK} \right) = \widehat {ASK}$.

Ta có $AK = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Khi đó $\tan \alpha = \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{5}$.

Nhận xét: Để có được tích ba số ghi trên ba thẻ là số lẻ thì cả ba thẻ thu được đều mang số lẻ.

Gọi $U$ là biến cố: "Tích ba số ghi trên ba thẻ là số lẻ" thì $P\left( {\overline U } \right)$ là xác suất cần tìm.

Dễ thấy cặp biến cố $X$ và $Z$ là độc lập.

Ta có: $P\left( X \right) = \frac{3}{5}$, $P\left( Z \right) = \frac{{C_3^2}}{{C_6^2}} = \frac{1}{5}$.

Khi đó: $P\left( U \right) = P\left( {XZ} \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( X \right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{{25}}$.

Suy ra: $P\left( {\overline U } \right) = 1 - P\left( U \right) = 1 - \frac{3}{{25}} = \frac{{22}}{{25}}$.