Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8

Đáp án đúng là: A

Công thức ở các đáp án A: ${x^2} + y = 3$, với mỗi giá trị của $x$, ta tìm được một giá trị của $y$ tương ứng. Do đó, công thức này biểu diễn $y$ là hàm số của $x$.

Đáp án đúng là: B

Từ bảng trên ta thấy, giá trị của hàm số tại $x = 3$ là $y = 2$.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của hàm số $y = \frac{{3x + 4}}{{{{\left( {2x - 5} \right)}^2}}}$ là $2x - 5 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{5}{2}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{5}{2}} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Parabol$\left( P \right):y = {x^2} - 3x + 2$ có: $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 3}}{{2.1}} = \frac{3}{2}$ và $y\left( {\frac{3}{2}} \right) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 3.\frac{3}{2} + 2 = - \frac{1}{4}$.

Vậy đỉnh của parabol $\left( P \right)$ là $I\left( {\frac{3}{2};\, - \frac{1}{4}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $y = x\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = {x^3} + 2{x^2} - 3x$, đây không phải là hàm số bậc hai.

Đáp án đúng là: A

Vì đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bc + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có đỉnh $I\left( {1;\,\,1} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {2;\,\,3} \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\4a + 2b + c = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\2a + b = 0\\4a + 2b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\\c = 3\end{array} \right.$.

Do đó, $S = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {2^2} + {\left( { - 4} \right)^2} + {3^2} = 29$.

Đáp án đúng là: A

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5$ có các hệ số $a = 1,\,\,b = 2,\,c = - 5$.

Ta có: $a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 5} \right) = - 2$.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, $\left( {a \ne 0} \right)$, nếu $\Delta = {b^2} - 4ac = 0$ thì $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - x - 6$ có hai nghiệm là ${x_1} = - 2$, ${x_2} = 3$.

Mặt khác có hệ số $a = 1 > 0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right) = {x^2} - x - 6 \le 0$$\Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;\,\,3} \right]$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[ { - 2;\,\,3} \right]$.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {57x + 31{x^2} + 2} = 5x + 4$ ta được:

$57x + 31{x^2} + 2 = 25{x^2} + 40x + 16$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $6{x^2} + 17x - 14 = 0$. Từ đó suy ra $x = - \frac{7}{2}$ hoặc $x = \frac{2}{3}$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có $x = \frac{2}{3}$ thỏa mãn.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}$. Mà $\frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}$. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {5{x^2} - 28x - 29} = \sqrt {{x^2} - 5x + 6}$ ta được:

$5{x^2} - 28x - 29 = {x^2} - 5x + 6$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $4{x^2} - 23x - 35 = 0$. Từ đó suy ra $x = - \frac{5}{4}$ hoặc $x = 7$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S = \left\{ { - \frac{5}{4};\,\,7} \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d:5x + 3y - 8 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {5;\,\,3} \right)$.

Do đó, nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;\,\, - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$. Do đó, đường thẳng $AB$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 6} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là:

$1\left( {x - 4} \right) - 6\left( {y + 2} \right) = 0$ hay $x - 6y - 16 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d:x + 2y - 6 = 0$ nên đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;\,\,2} \right)$. Do đó đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 1} \right)$.

Lại có điểm $A\left( {0;\,\,3} \right) \in d$. Vậy phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng ${d_1}:2x + 3y - 19 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,3} \right)$ và đường thẳng ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;\,\,5} \right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\, - 2} \right)$.

Ta thấy $\frac{2}{5} \ne \frac{3}{{ - 2}}$ và $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 2.5 + 3.\left( { - 2} \right) = 4 \ne 0$.

Vậy ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - 8.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {65} }}$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng ${d_1}:x + \sqrt 3 y = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,\sqrt 3 } \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:x + 10 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\,0} \right)$.

Ta có: $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \sqrt 3 .0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}$. Do đó, $\varphi = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Do $BH \bot AC$ nên đường cao $BH$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \overrightarrow {CA} = \left( {5;\,\, - 3} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường cao $BH$: $5\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 5} \right) = 0$ hay $5x - 3y - 5 = 0$.

Đáp án đúng là : D

Ta có: $\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25$$\Leftrightarrow {\left( {x - \left( { - 1} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {5^2}$.

Đường tròn đã cho có tâm $I\left( { - 1;\,\,3} \right)$ và bán kính $R = 5$, do đó đáp án A và B đúng.

Ta có: ${\left( { - 1 + 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 3} \right)^2} = {\left( { - 5} \right)^2} = 25 \Rightarrow A\left( { - 1; - 2} \right) \in \left( C \right)$, do đó đáp án C đúng.

${\left( {4 + 1} \right)^2} + {\left( {3 - 3} \right)^2} = {5^2} = 25 \Rightarrow B\left( {4;3} \right) \in \left( C \right)$, do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Phương trình đường tròn là: ${\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 144$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.1x - 2.\left( { - 2} \right)y - 3 = 0$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;\,\, - 2} \right)$.

Lại có: ${3^2} + {\left( { - 4} \right)^2} - 2.3 + 4.\left( { - 4} \right) - 3 = 0$$\Rightarrow M\left( {3;\, - 4} \right) \in \left( C \right)$.

Do đó, tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {3;\, - 4} \right)$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( {2;\,\, - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên nó có phương trình là $2\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 4} \right) = 0$ hay $x - y - 7 = 0$.

Gọi cạnh hình vuông được uốn thành là $x$ (cm) $\left( {0 < x < 15} \right)$.

Chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông hay chính là chu vi của hình vuông là $4x$ (cm).

Chiều dài đoạn dây uốn thành vòng tròn hay chính là chu vi vòng tròn là $60 - 4x$ (cm). Khi đó bán kính của hình tròn là $r = \frac{{60 - 4x}}{{2\pi }} = \frac{{30 - 2x}}{\pi }$ (cm).

Diện tích hình vuông được uốn thành là ${S_1} = {x^2}$ (cm2).

Diện tích hình tròn được uốn thành là

${S_2} = \pi {r^2} = \pi .{\left( {\frac{{30 - 2x}}{\pi }} \right)^2} = \frac{{{{\left( {30 - 2x} \right)}^2}}}{\pi } = \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right)$ (cm2).

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn thành là:

$S = {S_1} + {S_2} = {x^2} + \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right) = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }$ (cm2).

Nhận thấy $S$ là hàm số bậc hai của $x$, do đó $S$ nhỏ nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số $S = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }$.

Khi đó, tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn nhỏ nhất khi$x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\frac{{ - 120}}{\pi }}}{{2\left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right)}} = \frac{{60}}{{4 + \pi }}$ (cm).

Vậy chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông lúc này bằng $4x = 4.\frac{{40}}{{4 + \pi }} \approx 33{,}61$ (cm).

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm; $\overrightarrow n = \left( {A;\,\,B} \right)$ là VTPT của $\Delta$ $\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)$.

Đường thẳng $\left( d \right)$: $x + 3y - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;\,\,3} \right)$.

Để $\Delta$ tạo với $\left( d \right)$ một góc $45^\circ$ thì:

$\cos 45^\circ = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $\Leftrightarrow 2{\left( {A + 3B} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2B\\B = - 2A\end{array} \right.$ .

+ Với $A = 2B$, chọn $B = 1 \Rightarrow A = 2$ ta được phương trình $\Delta :\,2x + y + 4 = 0$.

+ Với $B = - 2A$, chọn $A = 1 \Rightarrow B = - 2$ ta được phương trình $\Delta :\,x - 2y + 2 = 0$.

Từ điều kiện ta có ${x^2} + {y^2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} = 5 - {z^2} \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 10 - 2{z^2} - {\left( {3 - z} \right)^2}$.

Do đó ${\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 6z - 3{z^2}$.

Dễ thấy $z \ne - 2$. Ta có $P.\left( {z + 2} \right) + 2 = x + y$.

Do đó ${\left[ {P.\left( {z + 2} \right) + 2} \right]^2} = 1 + 6z - 3{z^2}$

$\Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2}{P^2} + 4\left( {z + 2} \right)P + 4 = 1 + 6z - 3{z^2}$

$\Leftrightarrow \left( {{P^2} + 3} \right){z^2} + \left( {4{P^2} + 4P - 6} \right)z + 4{P^2} + 8P + 3 = 0$

Phương trình ẩn $z$ có nghiệm khi và chỉ khi ${\Delta '_z} \ge 0$

$\Leftrightarrow {\left( {2{P^2} + 2P - 3} \right)^2} - \left( {{P^2} + 3} \right)\left( {4{P^2} + 8P + 3} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow 4{P^4} + 4{P^2} + 9 + 8{P^3} - 12{P^2} - 12P - \left( {4{P^4} + 8{P^3} + 3{P^2} + 12{P^2} + 24P + 9} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow 23{P^2} + 36P \le 0$

$\Leftrightarrow - \frac{{36}}{{23}} \le P \le 0$ (áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai).

Ta có $P = 0$ khi $x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1$ và $P = - \frac{{36}}{{23}}$ khi $x = \frac{{20}}{{31}},\,\,y = - \frac{{66}}{{31}},\,\,z = \frac{7}{{31}}$.

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là 0 tại $x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1$.