Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6

Đáp án đúng là: D

Từ bảng đã cho, ta suy ra tập giá trị của hàm số $y$ theo biến số $x$ là

{– 98 500; – 51 844; – 20 100; – 4 036; – 2019}.

Đáp án đúng là: B

Từ hình vẽ ta thấy, đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đi lên từ trái qua phải trên khoảng $\left( { - 1;\,\,0} \right)$, do đó hàm số này đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;\,\,0} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của hàm số $y = \left( {2x - 3} \right)\sqrt {3 - 2x} + \frac{1}{{x - 1}}$ là $\left\{ \begin{array}{l}3 - 2x \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{3}{2}\\x \ne 1\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ;\,\,\frac{3}{2}} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Hoành độ đỉnh của $\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1$ là $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2.3}} = \frac{1}{3}$.

Suy ra tung độ đỉnh là: $y = 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Vậy $I\left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Vì $c > 0$ nên đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm phía trên trục hoành, loại đáp án A và C.

Mặt khác, $a > 0,\,b < 0$ nên $- \frac{b}{{2a}} > 0$, do đó trục đối xứng của đồ thị nằm phía bên phải trục tung, vậy loại đáp án D, chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Quan sát hình vẽ ta thấy parabol cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng – 1 nên loại đáp án B và C.

Hoành độ của đỉnh là ${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 1$ nên ta loại đáp án D và chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $f\left( x \right) = 2 + {5^2}x - 3{x^2} = - 3{x^2} + 25x + 2$ là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ có $a > 0$ và $\Delta = {b^2} - 4ac < 0$ thì $f\left( x \right) > 0$ (cùng dấu với hệ số $a$) với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right)$$\Leftrightarrow {x^2} + 5x \le 2{x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0$.

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 4$ có hai nghiệm là ${x_1} = 1$, ${x_2} = 4$.

Mặt khác có hệ số $a = 1 > 0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 4 \ge 0$$\Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\,1} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left( { - \infty ;\,\,1} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {4 - 3{x^2}} = 2x - 1$ ta được:

$4 - 3{x^2} = 4{x^2} - 4x + 1$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $7{x^2} - 4x - 3 = 0$. Từ đó suy ra $x = 1$ hoặc $x = - \frac{3}{7}$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có $x = 1$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 1 \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 3x - 5} = \sqrt {{x^2} + 5x - 17}$ ta được:

$2{x^2} - 3x - 5 = {x^2} + 5x - 17$.

Thu gọn phương trình trên ta được: ${x^2} - 8x + 12 = 0$. Từ đó suy ra $x = 2$ hoặc $x = 6$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có $x = 6$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - \frac{1}{2}t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - \frac{1}{2};\,\,3} \right)$, nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right)$.

Do đó, nó cũng có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {n'} = 2\overrightarrow n = 2\left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right) = \left( {6;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $AB$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,6} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {2;\, - 1} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,6} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 0t\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{3 - x}}{5}\\t = \frac{{y - 1}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{3 - x}}{5} = \frac{{y - 1}}{4} \Leftrightarrow 4x + 5y - 17 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $2x - 5y + 3 = 0$ và $5x + 2y - 3 = 0$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 3 = 0\\5x + 2y - 3 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{{29}}\\y = \frac{{21}}{{29}}\end{array} \right.$.

Giao điểm của hai đường thẳng đã cho có tọa độ là $\left( {\frac{9}{{29}};\,\frac{{21}}{{29}}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d\left( {O,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.0 - 3.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{5}$.

Đáp án đúng là: D

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}:6x - 5y + 15 = 0$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;\,\, - 5} \right)$.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.$ là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;\,\,5} \right)$, do đó đường thẳng ${d_2}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\,\,6} \right)$.

Ta thấy $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 6.5 + \left( { - 5} \right).6 = 0$. Do đó, hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau.

Vậy $\alpha = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ${d_1}:3mx + 2y - 6 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3m;\,\,2} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:\left( {{m^2} + 2} \right)x + 2my - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{m^2} + 2;\,\,2m} \right)$.

Với $m = 0$ ta có: $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;\,\,2} \right)$, $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;\,\,0} \right)$, khi đó hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ không song song với nhau. Vậy $m = 0$ không thỏa mãn.

Với $m \ne 0$, ${d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2} \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 2}}{{3m}} = \frac{{2m}}{2} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 6}}$$\Leftrightarrow m = \pm 1$.

Đáp án đúng là: D

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ phải bằng nhau nên loại đáp án A và C.

Ta có : ${x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = - 3$ vô lí, loại đáp án B.

Lại có : ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$ là phương trình đường tròn. Vậy chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}$.

Do đó, đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;\,\, - 2} \right)$ và bán kính $R = 2\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {5 - 2} \right)^2} = 9$ (luôn đúng). Vậy $A \in \left( C \right)$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;\,\,2} \right)$.

Tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại điểm $A$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {IA} = \left( {0;\,\,3} \right)$, do đó nó có phương trình là $0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 5} \right) = 0$ hay $y - 5 = 0$.

Tại $t = 0$, ta có: $y = h = 1{,}2$; tại $t = 1$, ta có$h = 8{,}5$; tại $t = 2$, ta có $y = h = 6$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oth$ như hình vẽ.

Parabol $\left( P \right)$ có phương trình: $y = a{t^2} + bt + c$, với $a \ne 0$.

Theo bài ra ta có: $A\left( {0;\,\,1{,}2} \right) \in \left( P \right),\,\,B\left( {1;\,\,8{,}5} \right) \in \left( P \right),\,\,C\left( {2;\,\,6} \right) \in \left( P \right)$.

Vậy ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}c = 1{,}2\\a + b + c = 8{,}5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1{,}2\\a = - 4{,}9\\b = 12{,}2\end{array} \right.$.

Vậy hàm số cần tìm có dạng: $y = - 4{,}9{t^2} + 12{,}2t + 1{,}2$.

a) Ta có: $2 + 2.5 - 2 = 10 \ne 0 \Rightarrow M \notin \Delta$.

Đường thẳng $d$ qua $M$ và vuông góc $\Delta$ có dạng: $2x - y + m = 0$.

Do $M\left( {2;5} \right) \in d \Rightarrow 4 - 5 + m = 0 \Rightarrow m = 1$.

Phương trình $d:2x - y - 1 = 0$.

Gọi giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$và $d$ là $H$. Tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x + 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5}} \right)$.

Vì $M$ và $M'$ đối xứng qua $H$ nên $H$ là trung điểm của $MM'$.

$\left. \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \frac{8}{5} - 2 = - \frac{2}{5}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \frac{6}{5} - 5 = - \frac{{19}}{5}\end{array} \right\} \Rightarrow M'\left( { - \frac{2}{5}; - \frac{{19}}{5}} \right)$.

b) Cho $x = 0 \Rightarrow 0 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow I\left( {0;1} \right) \in \Delta$;

Cho $x = 1 \Rightarrow 1 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \Rightarrow J\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in \Delta$.

Gọi $I'$ là điểm đối xứng của $I$ qua $M,\,\,J'$ là điểm đối xứng của $J$ qua $M$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_M} - {x_I} = 4 - 0 = 4\\{y_{I'}} = 2{y_M} - {y_I} = 10 - 1 = 9\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {4;9} \right)$;

$\left\{ \begin{array}{l}{x_{J'}} = 2{x_M} - {x_J} = 4 - 1 = 3\\{y_{J'}} = 2{y_M} - {y_J} = 10 - \frac{1}{2} = \frac{{19}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow J'\left( {3;\frac{{19}}{2}} \right)$.

Phương trình $\Delta ' \equiv$ phương trình $I'J':\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 9}}{{\frac{1}{2}}} \Rightarrow x + 2y - 22 = 0$.

a) Chọn hệ tọa độ sao cho tâm của cái cổng cầu vồng hình bánh nguyệt có tọa độ $\left( {0;\,\,0} \right)$ và đỉnh của cổng có tọa độ $M\left( {0;\,3{,}4} \right)$.

Cổng hình bán nguyệt là nửa hình tròn với tâm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ và bán kính là $R = 3{,}4$ m.

Ta có phương trình mô phỏng của cổng là: ${x^2} + {y^2} = {3{,}4^2}$$\left( {y > 0} \right)$.

b) Gọi $OABC$ là thiết diện của xe tải. Theo bài ra ta có: $OA = 2{,}4\,{\rm{m}};\,\,OC = 2{,}5\,\,{\rm{m}}$.

Từ định lí Pythagore ta suy ra: $OB = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}} = \sqrt {{{2{,}4}^2} + {{2{,}5}^2}} \approx 3{,}5 > R = 3{,}4$ (m).

Vậy nếu đi đúng làn đường quy định thì xe tải không thể đi qua cổng.