Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: D

Xét công thức $3{x^2} - 2{y^2} = 0$:

Với $x = 1$, ta có: ${y^2} = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt {\frac{3}{2}}$.

Vậy công thức $3{x^2} - 2{y^2} = 0$ không biểu diễn $y$ là hàm số của $x$.

Đáp án đúng là: A

Từ bảng đã cho, ta thấy tại $x = 3$ thì $y = 9$.

Đáp án đúng là: C

Từ hình vẽ trên thấy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đi lên từ trái qua phải trên khoảng $\left( {2;\,\, + \infty } \right)$ nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {2;\,\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}3x - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 3\\7 - 2x - {x^2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 3\end{array} \right.$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Hàm số $y = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}}$ xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ge 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 3\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,{x^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right)$. Vậy tập xác định của hàm số này là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\} = \left( { - \infty ;\,\,3} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)$.

Hàm số $y = \frac{{4x - 1}}{{\sqrt {x - 3} }}$ xác định khi $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$.

Hàm số $y = \frac{{x - 3}}{3}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$f\left( { - 4} \right) = {\left( { - 4} \right)^3} - 6.{\left( { - 4} \right)^2} + 11.\left( { - 4} \right) - 6 = - 210 \ne - 24$;

$f\left( 2 \right) = {2^3} - {6.2^2} + 11.2 - 6 = 0$;

$f\left( 1 \right) = {1^3} - {6.1^2} + 11.1 - 6 = 0$;

$f\left( 3 \right) = {3^3} - {6.3^2} + 11.3 - 6 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $y = - {x^2} + {2^3}x - 5 = - {x^2} + 8x - 5$, đây là hàm số bậc hai.

Đáp án đúng là: D

Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới nên $a < 0$.

Lại có đồ thị cắt trục tung tại điểm phía dưới trục hoành nên $c < 0$.

Đỉnh của đồ thị nằm bên phải trục tung nên $- \frac{b}{{2a}} > 0 \Rightarrow b > 0$.

Đáp án đúng là: A

Đỉnh của $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + x\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ được xác định bởi công thức $I\left( { - \frac{b}{{2a}};\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Các hàm số đã cho đều là hàm số bậc hai, mà hàm số bậc hai tồn tại giá trị lớn nhất khi hệ số $a < 0$, loại đáp án A và D.

Hàm số $y = - {x^2} + 3x + 1$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh. Ta có hoành độ đỉnh $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{3}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \frac{3}{2} \ne \frac{3}{4}$, loại đáp án B.

Xét đáp án C: $y = - {x^2} + \frac{3}{2}x + 1$. Ta có: $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\frac{3}{2}}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \frac{3}{4}$. Vậy hàm số $y = - {x^2} + \frac{3}{2}x + 1$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = \frac{3}{4}$.

Đáp án đúng là: C

Vì parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 2$ đi qua điểm $A\left( {1;\,\,5} \right)$ và $B\left( { - 2;\,\,8} \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}5 = a{.1^2} + b.1 + 2\\8 = a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\2a - b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = 2{x^2} + x + 2$.

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $f\left( x \right) = 2023{x^2} - 2022x + 55$ là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: C

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có $\Delta = {b^2} - 4ac$.

Điều kiện để $f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ là $a < 0,\,\Delta < 0$.

Đáp án đúng là: A

Quan sát bảng xét dấu ta thấy $f\left( { - 1} \right) = 0$ và $f\left( 3 \right) = 0$ nên $f\left( x \right)$ có hai nghiệm $x = - 1$ và $x = 3$, do đó loại đáp án C và D.

Lại có $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( { - 1;\,\,3} \right)$ và $f\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)$.

Vậy ta chọn đáp án A: $f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3$ do có hệ số $a = - 1 < 0$ (trong trái ngoài cùng).

Đáp án đúng là: C

Xét tam thức $f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9$ có $\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.\left( { - 9} \right) = 121 > 0$ nên tam thức này có hai nghiệm ${x_1} = - 1$ và ${x_2} = \frac{9}{2}$.

Mặt khác có hệ số $a = 2 > 0$ nên ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f\left( x \right)$ nhận giá trị âm khi $x \in \left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)$.

Các giá trị nguyên trong khoảng $\left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)$ là 0; 1; 2; 3; 4 (có 5 giá trị).

Đáp án đúng là: B

Ta có: $- {x^2} + 6x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 7$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ { - 1;\,\,7} \right]$.

Ta thấy $\left[ { - 7;\,\,1} \right] \not\subset S$.

Đáp án đúng là: B

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = dx + e$ là tập hợp các nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}$thỏa mãn bất phương trình $dx + e \ge 0$.

Đáp án đúng là: D

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f}$ là tập hợp các nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f$ thỏa mãn bất phương trình $a{x^2} + bx + c \ge 0$ (hoặc $d{x^2} + ex + f \ge 0$).

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2$ ta được

$- {x^2} + 4x = 4{x^2} - 8x + 4$.

Sau khi thu gọn ta được $5{x^2} - 12x + 4 = 0$. Từ đó tìm được $x = 2$ hoặc $x = \frac{2}{5}$.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = 2$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là $x = 2$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = \sqrt {2m + 3x - {x^2}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 3 \ge 0\\ - {x^2} + 4x - 3 = 2m + 3x - {x^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\x = 2m + 3\end{array} \right.$

Để phương trình (1) có nghiệm thì $1 \le 2m + 3 \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0 \Rightarrow m \in \left[ { - 1;\,\,0} \right]$.

Suy ra $a = - 1,\,\,b = 0$, do đó ${a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {0^2} = 1$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 6 - 2t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 2} \right)$, do đó nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $3.0 + 5.\frac{7}{5} - 7 = 0$. Do đó $D\left( {0;\,\,\frac{7}{5}} \right) \in \Delta$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( { - 4;\,\,2} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 5} \right)$ làm vectơ chỉ phương là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 2t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left( {1;\,\, - 5} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( { - 2;\,\,1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là $- 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 5} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,2x - y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d:x + 2y - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;\,\,2} \right)$, do đó nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)$, suy ra loại đáp án B và D.

Ở đáp án C, ta thấy khi $t = 0$ thì $x = 2$ và $y = 1$, thay vào phương trình $d$ ta thấy không thỏa mãn nên loại đáp án C, vậy chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Thay tọa độ các điểm $A,\,\,B$ lần lượt vào các phương trình trong các đáp án thì thấy đáp án B không thỏa mãn.

Cách 2. Nhận thấy rằng các phương trình ở các đáp án A, C, D thì vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó cùng phương, riêng chỉ có đáp án B thì không. Do đó chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 6t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {4;\,\, - 6} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = 4 + 3t'\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;\,\,3} \right)$.

Nhận thấy $\overrightarrow {{u_1}} = - 2\overrightarrow {{u_2}}$. Do đó hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lại có $A\left( {1;\,\,4} \right)$ thuộc ${\Delta _2}$ nhưng không thuộc ${\Delta _1}$. Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Đáp án đúng là: B

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.

Đường thẳng $a:2x - y - 10 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)$;

Đường thẳng $b:x - 3y - 9 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)$.

Ta có: $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó, $\varphi = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\Delta :\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$$\Leftrightarrow 24\left( {\frac{x}{6} + \frac{y}{8}} \right) = 24 \Leftrightarrow 4x + 3y - 24 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ đến $\Delta$ là $d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 24} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{24}}{5}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A\left( {2;\,\,1} \right)$ và song song với đường thẳng $\Delta :2x + 3y - 2 = 0$.

Khi đó, $\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {2;\,\,3} \right)$.

Phương trình đường thẳng $d$ là: $2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,2x + 3y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Loại ngay đáp án A và C vì hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ không bằng nhau.

Xét đáp án B: $2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y - 4 = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 6x - 10y - 2 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.\left( { - 3} \right)x - 2.5y - 2 = 0$.

Ta có: $\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2} - \left( { - 2} \right)} = \sqrt {36} = 6 > 0$.

Do đó, $2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y - 4 = 0$ là phương trình đường tròn có tâm $I\left( { - 3;\,\,5} \right)$ và bán kính $R = 6$.

Xét đáp án D: ${x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 10 = 0$, đây không phải phương trình đường tròn do ${\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} - 10 = - 8 < 0$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 4} \right)} \right)^2} = {5^2}$.

Do đó, đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I(3;\,-4)$ và bán kính $R = 5$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình của đường tròn tâm $I\left( {1;\,\,2} \right)$, bán kính bằng 5 là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn cần lập có tâm $M\left( {0;\,\,3} \right)$ và đi qua điểm $N\left( {4;\,\,0} \right)$ nên có bán kính là

$R = MN = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = 5$.

Phương trình đường tròn cần lập là ${\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {5^2}\,\,\,{\rm{hay}}\,\,{x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 - 3} \right)^2} = 5$, do đó $A$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$.

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5$ có tâm là $I\left( { - 1;\,\,3} \right)$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A\left( {0;\,\,1} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {IA} = \left( {1;\, - 2} \right)$, nên có phương trình

$1\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0$ hay $x - 2y + 2 = 0$.

Lợi nhuận của công ty trong một tháng khi bán hết $q$ sản phẩm là:

$L\left( q \right) = q.R\left( q \right) - C\left( q \right) = q\left( {120 - 2q} \right) - \left( {4{q^2} + 36q - 1\,\,234} \right)$$= - 6{q^2} + 84q + 1\,234$.

Để lợi nhuận công ty thu về là cao nhất, tức cần tìm $q$ để $L\left( q \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Lại có $L\left( q \right) = - 6{q^2} + 84q + 1\,234$ là hàm số bậc hai có hệ số $a = - 6 < 0$, nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.

Ta có: $q = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{84}}{{2.\left( { - 6} \right)}} = 7$. Do đó, $L\left( q \right)$đạt giá trị lớn nhất tại $q = 7$.

Vậy công ty A cần sản xuất 7 sản phẩm trong một tháng để thu về lợi nhuận cao nhất.

Do $S = x + 3y \Rightarrow x = S - 3y$, thay vào giả thiết $5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0$ và viết theo hệ số của biến $y$ ta thu được

$50{y^2} - 30Sy + 5{S^2} - 5S + 8 \le 0\,\,\,\,\left( * \right)$.

Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi $y$ nên ta có $\Delta \ge 0$, tức là

$900{S^2} - 4.50.(5{S^2} - 5S + 8) \ge 0$.

Biến đổi tương đương ta thu được $- 100{S^2} + 1000S - 1600 \ge 0$

hay $100{S^2} - 1000S + 1600 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le S \le 8$.

Khi $S = 2$ thay vào (*) được $50{y^2} - 60y + 18 \le 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{5}$ nên $x = S - 3y = 2 - \frac{9}{5} = \frac{1}{5}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x + 3y$ là 2 tại $x = \frac{1}{5},\,\,y = \frac{3}{5}$.

Giả sử đường thẳng $d$ có dạng: $y = ax + b\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,d:ax - y + b = 0$.

Ta có: $d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.\left( { - 1} \right) - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 8$. Suy ra $\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \sqrt {{a^2} + 1}$.

Lại có: $d\left( {B,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.0 - 2 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 2$. Suy ra $\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{a^2} + 1}$ (*).

Do đó, $\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }}$$\Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = \sqrt 8 \left| {b - 2} \right|$

$\Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = 2\sqrt 2 \left| {b - 2} \right|$

$\Leftrightarrow \left| { - a + b - 1} \right| = 2\left| {b - 2} \right|$

Trường hợp 1: $- a + b - 1 = 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a + b - 3 = 0$$\Leftrightarrow a = 3 - b$.

Thay $a = 3 - b$ vào (*) ta được: $\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3 - b} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} - 6b + 10}$

$\Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {{b^2} - 6b + 10} \right)$$\Leftrightarrow {b^2} - 8b + 16 = 0 \Leftrightarrow b = 4$.

Suy ra $a = 3 - 4 = - 1$.

Vậy $d: - x - y + 4 = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,d:x + y - 4 = 0$.

Trường hợp 2: $- a + b - 1 = - 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0$$\Leftrightarrow a = 3b - 5$.

Thay $a = 3b - 5$ vào (*) ta được: $\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3b - 5} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {9{b^2} - 30b + 26}$

$\Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {9{b^2} - 30b + 26} \right)$$\Leftrightarrow 17{b^2} - 56b + 48 = 0$ (vô nghiệm).

Vậy phương trình đường thẳng $d$ cần lập có dạng: $x + y - 4 = 0$.