Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: A

Hàm số mô tả sự phụ thuộc của số tiền $y$ (đồng) phải chi trả và số bút $x$ (cái) cần mua của bạn Lan với giá tiền một chiếc bút là 5000 đồng là $y = 5000x$ (đồng).

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng ta thấy, tại $x = 1{,}5$ giá trị $y$ tương ứng là 2. Do đó, giá trị hàm số tại $x = 1{,}5$ là 2.

Đáp án đúng là: B

Ta thấy đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng $\left( {0;1} \right)$, do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của hàm số $y = \sqrt {4 - 2x}$ là: $4 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow 2x \le 4 \Leftrightarrow x \le 2$.

Vậy, tập xác định của hàm số $y = \sqrt {4 - 2x}$ là $D = \left( { - \infty ;2} \right]$.

Đáp án đúng là: A

Thay $x = 0$ vào công thức của hàm số $y = 6x - 3{x^3} + 2023$ ta có:

$y = 6.0 - {3.0^3} + 2023 = 2023$

Vậy tại $x = 0$ thì giá trị của hàm số là 2023.

Đáp án đúng là: A

Hàm số bậc hai $y = f\left( x \right)$ có dạng $y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$.

Như vậy, hàm số $y = 6{x^2} - {x^3} + 20$ không phải hàm số bậc hai.

Đáp án đúng là: C

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ với $a < 0$ có dạng hình parabol với bề lõm hướng xuống dưới.

Đáp án đúng là: B

Đồ thị hàm số bậc hai $y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = \frac{{ - b}}{{2a}}$.

Đáp án đúng là: C

Đồ thị hàm số $y = 4{x^2} - 2x + 5$ là parabol có bề lõm hướng lên trên (do $a = 4 > 0$) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là tung độ của đỉnh parabol.

Hoành độ đỉnh parabol là: $x = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{2.4}} = \frac{1}{4}$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là: ${y_{\min }} = 4.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} - 2.\frac{1}{4} + 5 = \frac{{19}}{4}$.

Đáp án đúng là: D

Gọi hàm số bậc hai có dạng $y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$.

Đồ thị hàm số đi qua ba điểm $A\left( {1;2} \right)$, $B\left( {4;5} \right)$ và $C\left( {7;9} \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}a{.1^2} + b.1 + c = 2\\a{.4^2} + b.4 + c = 5\\a{.7^2} + b.7 + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 2\\16a + 4b + c = 5\\49a + 7b + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{18}}\\b = \frac{{13}}{{18}}\\c = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.$.

Như vậy, hàm số bậc hai cần tìm là: $y = f\left( x \right) = \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{{13}}{{18}}x + \frac{{11}}{9}$.

Đáp án đúng là: C

Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức có dạng $a{x^2} + bx + c$, trong đó $a,\,\,b,\,\,c$ là những số thực cho trước (với $a \ne 0$).

Đáp án đúng là: B

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ (với $a \ne 0$), khi $\Delta < 0$ thì $f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi số thực $x$.

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - x + 2$ có các hệ số $a$, $b$, $c$ lần lượt là:

$a = 1$, $b = - 1$, $c = 2$.

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - x + 2$ có $a = 1 > 0$

$\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.2 = - 7 < 0$

Do đó, $f\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$

Vậy tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - x + 2$ không thể mang dấu âm trên tập số thực.

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4$ có $a = 1 > 0$

$\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 25 > 0$

Do đó, $f\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 4$

${x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = - 1$

Như vậy, $f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;4} \right]$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} - 3x - 4 \le 0$ là $S = \left[ { - 1;4} \right]$.

Đáp án đúng là: A

Thay $x = 1$ vào vế phải của phương trình ta có: $2.1 - 5 = - 3 < 0$

Mà vế trái $\sqrt {a{x^2} + bx + c} \ge 0$ với mọi số thực $x$

Do đó, $x = 1$ không thể là một nghiệm của phương trình đã cho.

Đáp án đúng là: D

Thay $x = 1$ vào hai vế của phương trình ta có: $\sqrt {{1^2} + 1 + 3} = \sqrt 5 \ne 1 - 5 = - 4$

Thay $x = 2$ vào hai vế của phương trình ta có: $\sqrt {{2^2} + 2 + 3} = 3 \ne 2 - 5 = - 3$

Thay $x = 3$ vào hai vế của phương trình ta có: $\sqrt {{3^2} + 3 + 3} = \sqrt {15} \ne 3 - 5 = - 2$

Do đó, tất cả các đáp án trên đều sai.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {{x^2} + 4x - 6} = \sqrt {4{x^2} - 3x + 1}$ ta được:

${x^2} + 4x - 6 = 4{x^2} - 3x + 1$

$\Leftrightarrow 3{x^2} - 7x + 7 = 0$

$\Leftrightarrow x \in \emptyset$

Do đó, phương trình $\sqrt {{x^2} + 4x - 6} = \sqrt {4{x^2} - 3x + 1}$ vô nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6}$ ta có:

$2{x^2} - 4x + 1 = {x^2} + 2x + 6$

$\Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {14} \\x = 3 - \sqrt {14} \end{array} \right.$

Thay $x = 3 + \sqrt {14}$ vào hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6}$ ta có: $\sqrt {2.{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 6}$ (thỏa mãn)

Thay $x = 3 - \sqrt {14}$ vào hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6}$ ta có: $\sqrt {2.{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 6}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình $\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6}$ có hai nghiệm, do đó, bạn Hiếu dự đoán đúng.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $AB$ với $A\left( {2;3} \right)$ và $B\left( {3;5} \right)$ có một vectơ chỉ phương là:

$\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {3 - 2;5 - 3} \right) = \left( {1;2} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Xét điểm $D\left( { - 1; - 2} \right)$ ta có: $4.\left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right) + 2 = 0$

Do đó, điểm $D\left( { - 1; - 2} \right)$ thuộc đường thẳng $d:4x - y + 2 = 0$ hay đường thẳng $d:4x - y + 2 = 0$ đi qua điểm $D\left( { - 1; - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $C\left( { - 1;2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2 - t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {1;3} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 5 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $CD$ đi qua hai điểm $C\left( {2;4} \right)$ và $D\left( { - 5;3} \right)$ nên nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {CD} = \left( { - 5 - 2;3 - 4} \right) = \left( { - 7; - 1} \right)$.

Do đó, $CD$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 7} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $CD$ là:

$1.\left( {x - 2} \right) - 7\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 7y + 26 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Xét điểm $M\left( {1;1} \right)$ ta thấy $M\left( {1;1} \right)$ thuộc đường thẳng $\Delta :4x - 7y + 3 = 0$.

Đường thẳng $\Delta :4x - 7y + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {4; - 7} \right)$ nên nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {7;4} \right)$.

Phương trình tham số của $\Delta :4x - 7y + 3 = 0$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Cho hai đường thẳng ${d_1}:ax + by + c = 0$ và ${d_2}:mx + ny + p = 0$, biết ${d_1} \bot {d_2}$ hay ${d_1}$ cắt ${d_2}$ tại 1 điểm, do đó, hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.$ có duy nhất một nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng ${d_1}:ax + by + c = 0$ và ${d_2}:mx + ny + p = 0$ được xác định bởi công thức:

$\cos \alpha = \frac{{\left| {am + bn} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $B\left( {1;2} \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 2;2 - 4} \right) = \left( { - 1; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là:

$2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 0$.

Khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $AB$ là:

$d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {2.3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Giao điểm của hai đường thẳng ${d_1}:5x - y + 4 = 0$ và ${d_2}:x - y + 3 = 0$ có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x - y + 4 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = - 4\\x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{4}\\y = \frac{{11}}{4}\end{array} \right.$.

Vậy giao điểm của hai đường thẳng ${d_1}:5x - y + 4 = 0$ và ${d_2}:x - y + 3 = 0$ là: $M\left( { - \frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường tròn có dạng: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với ${a^2} + {b^2} - c > 0$.

Xét phương trình ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 7 = 0$ có:

$a = 2$; $b = - 3$; $c = - 7$ và ${2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 7} \right) = 20 > 0$

Do đó, phương trình ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 7 = 0$ là phương trình đường tròn.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9$ có tâm và bán kính là:

$I\left( {3; - 1} \right)$ và $R = \sqrt 9 = 3$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $M\left( {3;4} \right)$ và bán kính $R = 5$ là:

${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {5^2}$ hay ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25$.

Đáp án đúng là: A

Đường tròn tâm $I\left( {1;5} \right)$, tiếp xúc với đường thẳng $d:3x - 2y + 5 = 0$ nên có bán kính là: $R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 2.5 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}$.

Phương trình đường tròn tâm $I\left( {1;5} \right)$, tiếp xúc với đường thẳng $d:3x - 2y + 5 = 0$ là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \frac{4}{{13}}$.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn tâm $A\left( { - 2;3} \right)$, đi qua điểm $B\left( {4;7} \right)$ có bán kính là:

$R = AB = \sqrt {{{\left( {4 - ( - 2)} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt {13}$

Phương trình đường tròn tâm $A\left( { - 2;3} \right)$, đi qua điểm $B\left( {4;7} \right)$ là:

${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {13} } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52$.

Gọi độ dài chiều rộng của mảnh đất nuôi gà hay khoảng cách cần phải cắm cọc tới bờ tường là $x$ (m) (minh họa như hình vẽ). $\left( {0 < x < 15} \right)$

Độ dài của chiều dài mảnh đất nuôi gà là: $30 - 2x$ (m)

Diện tích mảnh đất nuôi gà là: $S\left( x \right) = x\left( {30 - 2x} \right) = - 2{x^2} + 30x$ (m2).

Để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn $50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ thì:

$S\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x \ge 50 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 30x - 50 \ge 0$ (*)

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x - 50$ có $a = - 2 < 0$

$\Delta ' = {15^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 50} \right) = 125$.

Do đó, $f\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 - 5\sqrt 5 }}{2} \approx 1{,}91$

${x_2} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 + 5\sqrt 5 }}{2} \approx 13{,}09$

Như vậy, bất phương trình (*) có tập nghiệm là đoạn $\left[ {1{,}91;\,\,\,13{,}09} \right]$.

Vậy khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 1,91 m và nhỏ hơn hoặc bằng 13,09 m thì mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn$50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

Ta có: $\sqrt {2{x^2} + 5x - 3} + 1 = 2x$$\Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 5x - 3} = 2x - 1$.

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} + 5x - 3} = 2x - 1$ ta được:

$2{x^2} + 5x - 3 = {\left( {2x - 1} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 5x - 3 = 4{x^2} - 4x + 1$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 4 = 0\,\,\,\left( * \right)$

Xét phương trình (*) có:

$\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.2.4 = 49 > 0$

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) + \sqrt {49} }}{{2.2}} = 4$;

${x_2} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) - \sqrt {49} }}{{2.2}} = \frac{1}{2}$.

Thay $x = 4$ vào hai vế phương trình $\sqrt {2{x^2} + 5x - 3} = 2x - 1$ ta thấy giá trị $x = 4$ thỏa mãn là một nghiệm của phương trình.

Thay $x = \frac{1}{2}$ vào hai vế phương trình $\sqrt {2{x^2} + 5x - 3} = 2x - 1$ ta thấy giá trị $x = \frac{1}{2}$ thỏa mãn là một nghiệm của phương trình.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {\frac{1}{2};4} \right\}$.

Vì $BC$ vuông góc với $\left( {{d_1}} \right)$ nên đường thẳng $BC$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {3;2} \right)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là: $3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0$.

Điểm $A$ là giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ nên ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 12 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;2} \right)$.

Đường thẳng $AC$ nhận vectơ $\overrightarrow {AC} = \left( {4 + 3; - 1 - 2} \right) = \left( {7; - 3} \right)$ là một vectơ chỉ phương, do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {3;7} \right)$.

Phương trình đường thẳng $AC$ là:

$3\left( {x + 3} \right) + 7\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y - 5 = 0$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó điểm $M$ là giao điểm của ${d_2}$ và $BC$

Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 10 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {6; - 4} \right)$.

Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2.6 - 4 = 8\\{y_B} = 2.( - 4) - ( - 1) = - 7\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {8; - 7} \right)$.

Đường thẳng $AB$ nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {11; - 9} \right)$ là vectơ chỉ phương và nhận vectơ $\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {9;11} \right)$ là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình của đường thẳng $AB$ là:

$9\left( {x - 8} \right) + 11\left( {y + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 9x + 11y + 5 = 0$.