Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: A

Hàm số $s\left( t \right)$ mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian $t$ (h) của một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc $5$ km/h.

Công thức của hàm số $s\left( t \right)$ là: $s\left( t \right) = 5t$ (km).

(quãng đường của chuyển động thẳng đều bằng vận tốc nhân thời gian).

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng giá trị ta thấy, tại $x = 2$ ta có giá trị $y$ tương ứng là $y = 2$.

Vậy giá trị của hàm số tại $x = 2$ là $y = 2$.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$, do đó, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2x - 8}}$ là: $2x - 8 \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne 8 \Leftrightarrow x \ne 4$.

Do vậy, tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2x - 8}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Thay $x = 4$ vào $y = f\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 1$ ta có:

$y = f\left( 4 \right) = {5.4^3} - 4.4 + 1 = 305$

Vậy giá trị của hàm số tại $x = 4$ là $y = 305$.

Đáp án đúng là: C

Hàm số bậc hai $y = f\left( x \right)$ có dạng $y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$

Như vậy, công thức của hàm số $y = f\left( x \right)$ có các hệ số $a = 2$; $b = 1$; $c = 2022$ là: $y = f\left( x \right) = 2{x^2} + x + 2022$.

Đáp án đúng là: C

Đồ thị hàm số bậc hai có dạng đường cong parabol.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đỉnh và trục đối xứng lần lượt là: $O\left( {0;0} \right)$ và $x = 0$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 4$ có: $a = 1 > 0$, $b = - 2$, $c = 4$.

Ta có: $\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{2.1}} = 1$.

Như vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$, đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Hàm số bậc hai $y = f\left( x \right)$ có dạng: $y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$.

Đồ thị đi qua điểm $A\left( {0;0} \right)$ nên ta có: $a{.0^2} + b.0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0$.

Đồ thị đi qua điểm $B\left( { - 1;5} \right)$ nên ta có: $a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 5 \Leftrightarrow a - b = 5$.

Đồ thị có trục đối xứng $x = \frac{3}{4}$ nên ta có: $\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{4} \Rightarrow 6a + 4b = 0$.

Từ những điều trên, ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\6a + 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3\\a = 2\end{array} \right.$.

Như vậy, $y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x$.

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$.

Như vậy, $f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2}$ không phải là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ có $a > 0$ và $\Delta \ge 0$. Khi đó, $f\left( x \right)$ luôn không âm trên tập số thực hay $f\left( x \right) \ge 0\forall x \in \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: B

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 2021{x^2} + 2022x$ có các hệ số là: $a = 2021$, $b = 2022$, $c = 0$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2022x$ có: $a = 1 > 0$ và $b = - 2022$ và $c = 0$.

$\Delta = {\left( { - 2022} \right)^2} - 4.0.1 = {2022^2} > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 2022$

Do đó, $f\left( x \right) = {x^2} - 2022x = 0$ có hai nghiệm:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) + 2022}}{{2.1}} = 2022$; ${x_2} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) - 2022}}{{2.1}} = 0$

Như vậy, $f\left( x \right)$ mang dấu âm trên khoảng $\left( {0;2022} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1$ có:

$a = - 4 < 0$

$\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = - 12 < 0$

Do đó, $f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1 < 0$ với mọi số thực $x$

Hay $2x - 4{x^2} < 1$ với mọi số thực $x$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2x - 4{x^2} < 1$ là: $S = \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: – 3 – 2 = – 5 < 0, do đó khi $x = - 3$ thì vế phải của phương trình âm, mà vế trái luôn không âm. Vậy giá trị $x = - 3$ không thể là nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là: C

Bạn đó giải sai phương trình ở bước 2 do bạn chưa thử lại các giá trị $x$ đã tìm được có thỏa mãn phương trình đã cho hay không mà đã kết luận nghiệm.

Dễ thấy, $x = - 2$ không thỏa mãn vì – 2 – 1 = – 3 < 0, và $x = 5$ thỏa mãn, do đó, tập nghiệm đúng của phương trình là $S = \left\{ 5 \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3}$ ta được:

$2{x^2} - 5x - 9 = 3{x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 12 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset$.

Vậy phương trình $\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3}$ vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {{x^2} - 5x} = \sqrt {3{x^2} - x - 4}$ ta được:

${x^2} - 5x = 3{x^2} - x - 4 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 - \sqrt 3 \\x = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.$.

Thay $x = - 1 - \sqrt 3$ vào hai vế phương trình đã cho ta có:

$\sqrt {{{\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)}^2} - 5.\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)} = \sqrt {3.{{\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)}^2} - \left( { - 1 - \sqrt 3 } \right) - 4} \,\,\,\,\left( { = \sqrt {9 + 7\sqrt 3 } } \right)$.

Do đó, $x = - 1 - \sqrt 3$ thỏa mãn.

Thay $x = - 1 + \sqrt 3$ vào hai vế phương trình đã cho ta thấy:

${\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)^2} - 5.\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right) = 9 - 7\sqrt 3 < 0 \Rightarrow \sqrt {{{\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)}^2} - 5\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)}$ không tồn tại, do đó, $x = - 1 + \sqrt 3$ không thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 5x} = \sqrt {3{x^2} - x - 4}$ là: $S = \left\{ { - 1 - \sqrt 3 } \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d: - y + 5x + 5 = 0\,\,{\rm{hay}}\,\,d:5x - y + 5 = 0$ là: $\overrightarrow n = \left( {5; - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ điểm $B\left( { - 2;3} \right)$ vào phương trình đường thẳng ta có:

$- 2 - 2.3 + 8 = 0$

Do đó, điểm $B\left( { - 2;3} \right)$ thuộc đường thẳng $x - 2y + 8 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $\Delta$ nhận vectơ $\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm $C\left( { - 2;5} \right)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $C\left( {2;0} \right)$ và nhận vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)$. Phương trình tổng quát của $d$ là $1\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $C\left( {2; - 1} \right)$ và $B\left( { - 3;5} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {CB} = \left( { - 3 - 2;5 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 5;6} \right)$, do đó, $d$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n = \left( {6;5} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:

$6\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 4t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$ đi qua điểm $A\left( {5;1} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 4;2} \right)$, do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;4} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:

$2\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 14 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: hai đường thẳng ${d_1}:ax + by + c = 0$ và ${d_2}:mx + ny + p = 0$, khi hệ $\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.$ có vô số nghiệm thì ${d_1}$ và ${d_2}$ trùng nhau.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính khoảng cách từ một điểm $A\left( {3; - 4} \right)$ tới một đường thẳng $\Delta :dx + ey + f = 0$ là: $d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3d - 4e + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 2.\left( { - 1} \right) + 3.4 = 10$;

$\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$;

$\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {17}$.

Công thức tính góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}$ và ${d_2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}$là: $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {17} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {221} }}$.

Đáp án đúng là: C

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 1 = 0\\4x + 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{{13}}\\y = - \frac{1}{{13}}\end{array} \right.$.

Hệ phương trình trên có duy nhất một nghiệm là cặp số $\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)$, do đó, ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ là $\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

${d_1}:2x - y + 12 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right)$.

${d_2}:4mx + my - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4m;m} \right)$.

Để ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau thì:

$\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 1} \right).m = 0 \Leftrightarrow 8m - m = 0 \Leftrightarrow 7m = 0 \Leftrightarrow m = 0$.

Vậy $m = 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16$ có tâm và bán kính lần lượt là:

$I\left( {1;3} \right)$ và $R = \sqrt {16} = 4$.

Đáp án đúng là: B

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 4;9} \right)$ và bán kính $R = 16$ có phương trình là:

${\left( {x - \left( { - 4} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = {16^2}$ hay ${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = 256$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$ không phải phương trình đường tròn vì phương trình đường tròn có dạng:

${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với ${a^2} + {b^2} - c > 0$;

Hoặc ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ với $R > 0$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $IM = \sqrt {{{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 2$

Do $M\left( {1;0} \right)$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 2; - 3} \right)$ nên bán kính: $R = IM = 3\sqrt 2 \Rightarrow {R^2} = 18$.

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là: ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 18$.

Đáp án đúng là: B

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1$ có tâm $I\left( {2; - 1} \right)$ và bán kính $R = 1$.

Vì đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1$ có tiếp tuyến tại điểm $A\left( {2;0} \right)$ nên $\Delta$ nhận vectơ $\overrightarrow {IA} = \left( {0;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $A\left( {2;0} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là: $0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ sau:

Cây cầu có dạng hình parabol có phương trình $y = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$.

Ta có:$AH = 4 \Rightarrow OH = \frac{{200}}{2} - 4 = 96\,\,\left( {\rm{m}} \right)$; $MH = 12 - 10 = 2\,\left( {\rm{m}} \right)$; $OA = OB = 100\,\,\left( {\rm{m}} \right)$

Do đó, $A\left( { - 100;0} \right)$, $B\left( {100;0} \right)$, $M\left( { - 96;2} \right)$.

Do parabol đi qua ba điểm $A\left( { - 100;0} \right)$, $B\left( {100;0} \right)$, $M\left( { - 96;2} \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 100} \right)^2} + b.\left( { - 100} \right) + c = 0\\a{.100^2} + b.100 + c = 0\\a.{\left( { - 96} \right)^2} + b.\left( { - 96} \right) + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{{392}}\\b = 0\\c = \frac{{1250}}{{49}}\end{array} \right.$.

Do đó, phương trình parabol là: $y = - \frac{1}{{392}}{x^2} + \frac{{1250}}{{49}}$.

Đỉnh parabol có hoành độ $x = 0$ (từ hình vẽ) nên có tung độ là: $y = \frac{{1250}}{{49}} \approx 25{,}5$.

Độ cao của cầu chính là tung độ của đỉnh parabol.

Vậy độ cao của cầu xấp xỉ 25,5 m.

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {4{x^2} - 5x + 6} = 3x - 1$ ta được:

$4{x^2} - 5x + 6 = {\left( {3x - 1} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 4{x^2} - 5x + 6 = 9{x^2} - 6x + 1$

$\Leftrightarrow 5{x^2} - x - 5 = 0\,\,\left( * \right)$

Xét phương trình $\left( * \right)$ có:

$\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.5.\left( { - 5} \right) = 101 > 0$

Do đó, phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {101} }}{{2.5}} = \frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}$;${x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {101} }}{{2.5}} = \frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}$.

Thay ${x_1} = \frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}$ vào hai vế của phương trình $\sqrt {4{x^2} - 5x + 6} = 3x - 1$ ta có: $\sqrt {4.{{\left( {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right)}^2} - 5.\left( {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right) + 6} = 3.\left( {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right) - 1$, do đó, ${x_1} = \frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}$ thỏa mãn.

Thay ${x_2} = \frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}$ vào phương trình $\sqrt {4{x^2} - 5x + 6} = 3x - 1$ ta thấy:

$3.\left( {\frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}} \right) - 1 < 0$, do đó, ${x_2} = \frac{{1 - \sqrt {101} }}{{10}}$ không thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình $\sqrt {4{x^2} - 5x + 6} = 3x - 1$ là: $S = \left\{ {\frac{{1 + \sqrt {101} }}{{10}}} \right\}$.

Bởi vì người $I$ sống trên Trái Đất nên điểm $I$ thuộc đường tròn tâm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ bán kính $R = 1$. Phương trình đường tròn $\left( {O;R} \right)$ là: ${x^2} + {y^2} = 1$.

Khoảng cách $IM = 3$; $IN = \sqrt {34}$.

Gọi đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ là đường tròn tâm $M$ bán kính $IM$, ta có phương trình đường tròn: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9$.

Gọi đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ là đường tròn tâm $N$ bán kính $IN$, ta có phương trình đường tròn: ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 34$.

Điểm $I$ thuộc cả ba đường tròn $\left( {O;R} \right)$, $\left( {{C_1}} \right)$, $\left( {{C_2}} \right)$ nên ta có tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\\{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.$.

Vì hệ có nghiệm nên có thể xác định tọa độ của người $I$ trên hệ thống GPS là $\left( {1;0} \right)$.