Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng trên ta thấy, ứng với mỗi giá trị của $y \in \left\{ {200;282;295;311;339;363;375;394;564} \right\}$ thì có duy nhất một giá trị của $x \in \left\{ {1995;1996;1997;1998;1999;2000;2001;2002;2004} \right\}$ tương ứng.

Do đó, đại lượng $x$ là hàm số của đại lượng $y$.

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng giá trị ta thấy, ứng với giá trị $x = - 1$ là giá trị $y = \frac{1}{2}$.

Như vậy, giá trị của hàm số tại $x = - 1$ là $y = \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đi lên từ trái sang phải trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $y = \sqrt {x - 7} \ge 0$ với mọi giá trị $x$ thuộc tập xác định $D = \left[ {7;\,\, + \infty } \right)$.

Do đó, tập giá trị của hàm số $y = \sqrt {x - 7}$ là: $T = \left[ {0; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Giá trị của hàm số $f\left( x \right)$ tại $x = 4 \ne 2$ là: $f\left( 4 \right) = \frac{{3.4 - 1}}{{2 - 4}} = \frac{{11}}{{ - 2}} = \frac{{ - 11}}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Hàm số bậc hai có dạng: $y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Do đó, hàm số bậc hai có các hệ số $a = 5$, $b = 0$, $c = 1$ là $y = 5{x^2} + 0.x + 1 = 5{x^2} + 1$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số bậc hai $y = 3{x^2} - 3$ có đồ thị phải đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {1;0} \right)$ và $\left( {0; - 3} \right)$.

Do đó, đồ thị hàm số chỉ có thể là hình (A).

Đáp án đúng là: B

Dựa vào hình vẽ đã cho, ta thấy đồ thị hàm số có tọa độ đỉnh là $\left( {0; - 3} \right)$ và trục đối xứng là $x = 0$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = - 5{x^2} + 4x + 2$ có: $a = - 5 < 0$.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là tung độ của đỉnh của đồ thị hàm số.

Đỉnh của đồ thị hàm số có hoành độ là: $x = \frac{{ - 4}}{{2.( - 5)}} = \frac{2}{5}$.

Tung độ của đỉnh là: $y = - 5.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} + 4.\left( {\frac{2}{5}} \right) + 2 = \frac{{14}}{5}$.

Như vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là: $\frac{{14}}{5}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi công thức của hàm số bậc hai cần tìm là: $y = a{x^2} + bx + c$ ($a \ne 0$).

Đỉnh của đồ thị hàm số là $I\left( {1; - 1} \right)$ nên ta có:

$\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0$;

$- 1 = a{.1^2} + b.1 + c \Rightarrow a + b + c = - 1$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {0;1} \right)$ nên ta có:

$1 = a{.0^2} + b.0 + c \Rightarrow c = 1$.

Từ đó, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b + c = - 1\\c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\\c = 1\end{array} \right.$.

Như vậy hàm số cần tìm là: $y = 2{x^2} - 4x + 1$.

Đáp án đúng là: B

Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức dạng $a{x^2} + bx + c$, trong đó $a$, $b$, $c$ là những số cho trước với $a \ne 0$.

Như vậy $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 1$ là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: C

Tam thức $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là tam thức bậc hai, do đó điều kiện để $f\left( x \right) > 0$ với mọi số thực $x$ là: $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $f\left( x \right) = 4{x^2} - 5\, = 4{x^2} + 0x - 5$.

Do đó, các hệ số của tam thức này là: $a = 4;b = 0;c = - 5$.

Đáp án đúng là: D

Xét tam thức $f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 5\,$ có:

$a = 3 > 0$;

$\Delta ' = {3^2} - 3.\left( { - 5} \right) = 24 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 2\sqrt 6$.

Như vậy, $f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 5\, = 0$ có 2 nghiệm là: ${x_1} = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3}$; ${x_2} = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}$.

Do đó, $f\left( x \right) \le 0$ (không dương) trên đoạn $\left[ {\frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3};\frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}} \right]$.

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai: $f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6$ có:

$a = 1 > 0$;

$\Delta = {2^2} - 4.1.( - 6) = 28 > 0$.

Có $f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6 = 0$ có hai nghiệm là:

${x_1} = \frac{{ - 2 - \sqrt {28} }}{{2.1}} = - 1 - \sqrt 7$; ${x_1} = \frac{{ - 2 + \sqrt {28} }}{{2.1}} = - 1 + \sqrt 7$.

Ta có, $f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6 > 0$ trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right)$ và $\left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} + 2x - 6 > 0$ là:

$S = \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Thay $x = 2$ vào hai vế phương trình $\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 2x + 1$ có:

$\sqrt {{{3.2}^2} + 4.2 + 5} = 5 = 2.2 + 1$

Như vậy, $x = 2$ là một nghiệm của phương trình $\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 2x + 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {3{x^2} - 1}$

$\Rightarrow {x^2} - 2x + 3 = 3{x^2} - 1$

$\Rightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0$

$\Rightarrow {x^2} + x - 2 = 0$

$\Rightarrow x = 1$ hoặc $x = - 2$

Với $x = 1$ ta có: $\sqrt {{1^2} - 2.1 + 3} = \sqrt 2 = \sqrt {{{3.1}^2} - 1}$, do đó, $x = 1$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

Với $x = - 2$ ta có: $\sqrt {{{( - 2)}^2} - 2.( - 2) + 3} = \sqrt {11} = \sqrt {3.{{( - 2)}^2} - 1}$, do đó, $x = - 2$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {3{x^2} - 1}$ có hai nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Thay $x = - \frac{1}{2}$ vào hai vế phương trình $\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = x + 2$ ta có:

$\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 3} = \frac{3}{2} = \left( { - \frac{1}{2}} \right) + 2$.

Như vậy $x = - \frac{1}{2}$ là một nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = x + 2$.

Đáp án đúng là: B

$\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = \sqrt { - {x^2} + 3x - 1}$

$\Rightarrow {x^2} - 2x + 1 = - {x^2} + 3x - 1$

$\Rightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Với $x = 2$, ta có: $\sqrt {{2^2} - 2.2 + 1} = 1 = \sqrt { - {2^2} + 3.2 - 1}$, do đó, $x = 2$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

Với $x = \frac{1}{2}$, ta có: $\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 2.\left( {\frac{1}{2}} \right) + 1} = \frac{1}{2} = \sqrt { - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 3.\left( {\frac{1}{2}} \right) - 1}$ , do đó, $x = \frac{1}{2}$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = \sqrt { - {x^2} + 3x - 1}$ có hai nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d:x - 3y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)$.

Do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Xét điểm $D\left( {4; - 5} \right)$ ta có: $2.4 - ( - 5) + 3 = 16 \ne 0$

Do đó, điểm $D\left( {4; - 5} \right)$ không thuộc đường thẳng $d:2x - y + 3 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)$ và đi qua điểm $B\left( {0;3} \right)$, phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( {2;5} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {0;1} \right)$ có phương trình tổng quát là: $0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,y - 5 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A\left( {1;2} \right)$ và $B\left( { - 3;5} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3 - 1;5 - 2} \right) = \left( { - 4;3} \right)$, do đó, $d$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:

\(3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 11 = 0

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d:4x - y + 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {4; - 1} \right)$, do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;4} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 1;1} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $d:4x - y + 5 = 0$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Do đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_2}$.

Mà vectơ pháp tuyến của ${d_1}$ cũng vuông góc với vectơ chỉ phương của ${d_1}$.

Do đó, vectơ pháp tuyến của ${d_1}$ song song hoặc trùng với vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_2}$.

Vậy ${d_1}$ song song hoặc trùng với ${d_2}$.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính khoảng cách từ một điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ tới một đường thẳng $\Delta :dx + ey + f = 0$ là: $d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {d{x_A} + e{y_A} + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}$.

Đáp án đúng là: D

Công thức tính góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}$ và ${d_2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}$là: $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.( - 5) + 5.3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}}$.

Vậy ${d_1}$ vuông góc với ${d_2}$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $\Delta :4x - 3y + 6$ có vectơ pháp tuyến có $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4; - 3} \right)$ và đường thẳng $d:x - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;0} \right)$.

Ta có: $\cos \alpha = \frac{{\left| {4.1 + ( - 3).0} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{4}{5} \Rightarrow \alpha \approx 37^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$, bán kính $R > 0$ có dạng: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$

Vậy ${x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = - 4$ không là phương trình đường tròn vì $- 4 < 0$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4$ hay ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {2^2}$.

Do đó, tâm và bán kính của đường tròn đó là: $I\left( {1;2} \right)$ và $R = 2$.

Đáp án đúng là: C

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {0;4} \right)$ và bán kính $R = 5$ có phương trình là

${\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {5^2}\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,{x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25$.

Đáp án đúng là: D

Tâm $I$của đường tròn là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, có tọa độ là:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{4 + 0}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;2} \right)$.

Độ dài đường kính $AB$ là: $\sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$

Độ dài bán kính là: $R = \sqrt 5$.

Phương trình đường tròn là:

${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\,\,{\rm{hay}}\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5$.

Đáp án đúng là: C

Bán kính của đường tròn là: $R = OC = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {10}$.

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là: ${x^2} + {y^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2}\,\,{\rm{hay}}\,\,{x^2} + {y^2} = 10$.

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {4{x^2} - 5x + 1} = x - 7$ ta được:

$4{x^2} - 5x + 1 = {x^2} - 14x + 49$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $3{x^2} + 9x - 48 = 0$. Từ đó suy ra $x = \frac{{ - 3 + \sqrt {73} }}{2}\,$ hoặc $x = \frac{{ - 3 - \sqrt {73} }}{2}$.

Lần lượt thay các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \emptyset$.

Do $BH$ là đường cao nên $AC \bot BH$ nên đường thẳng $AC$có một vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow {{u_{AC}}} = \overrightarrow {{n_{BH}}} = \left( {5; - 2} \right)$.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AC$ là: $\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {2;5} \right)$.

Đường thẳng $AC$ đi qua điểm $A\left( { - 1;2} \right)$ có phương trình là:

$2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 8 = 0$.

Do đường thẳng $AC$ giao đường thẳng $CM$ tại $C$ nên tọa độ của $C$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 8 = 0\\5x + 7y - 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;0} \right)$.

Đặt tọa độ điểm $B\left( {a;b} \right)$. Do $B \in BH$ nên $5a - 2b - 4 = 0$

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên$M\left( {\frac{{ - 1 + a}}{2};\frac{{2 + b}}{2}} \right) \in CM$

$\Leftrightarrow 5.\frac{{ - 1 + a}}{2} + 7.\frac{{2 + b}}{2} - 20 = 0 \Leftrightarrow 5a + 7b - 31 = 0$.

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}5a - 2b - 4 = 0\\5a + 7b - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2;3} \right)$.

Đường thẳng $BC$ có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 3} \right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;2} \right)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là: $3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0$.

Gọi độ dài một cạnh của bồn trồng hoa và bồn trồng cây lần lượt là $x$, $y$ (m).

$\left( {x,y > 0} \right)$

Chu vi của bồn trồng hoa là: $4x$ (m).

Chu vi của bồn trồng cây là: $4y$ (m).

Tổng chu vi của các bồn là: $4x + 4y = 48 \Leftrightarrow x + y - 12 = 0$.

Diện tích của bồn trồng hoa là: ${x^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Diện tích của bồn trồng cây là: ${y^2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Gọi tổng diện tích của chúng là $S\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$. Khi đó ta có: $S = {x^2} + {y^2}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} = S$ có tâm $O\left( {0;0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt S$ và đường thẳng $\Delta :x + y - 12 = 0$.

Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm $R$ nhỏ nhất để $\left( C \right)$ và $\Delta$ có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Bài toán trên tương đương với $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$, đồng thời khi đó điểm $M$ trùng với điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\Delta$.

Ta có: $OH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;1} \right)$.

Suy ra đường thẳng $OH$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_{OH}}} = \left( { - 1;1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $OH$ là: $- 1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0$

Điểm $H$ là giao điểm của đường thẳng $OH$ và đường thẳng $\Delta$ nên tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x + y - 12 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 6\end{array} \right.$.

Vậy độ dài cạnh bồn trồng hoa và bồn trồng cây đều là 6 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.