Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 8

Đáp án đúng là: A

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5$ có các hệ số $a = 1,\,\,b = 2,\,c = - 5$.

Ta có: $a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 5} \right) = - 2$.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, $\left( {a \ne 0} \right)$, nếu $\Delta = {b^2} - 4ac = 0$ thì $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Xét tam thức $f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9$ có $\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.\left( { - 9} \right) = 121 > 0$ nên tam thức này có hai nghiệm ${x_1} = - 1$ và ${x_2} = \frac{9}{2}$.

Mặt khác có hệ số $a = 2 > 0$ nên ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f\left( x \right)$ nhận giá trị âm khi $x \in \left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)$.

Các giá trị nguyên trong khoảng $\left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)$ là 0; 1; 2; 3; 4.

Ta có: $0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Đáp án đúng là: C

Ta có ${2^2}{x^3} + 2{x^2} - 5 \le 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 2{x^2} - 5 \le 0$, đây không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn do ẩn $x$ có bậc là ba.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - x - 6$ có hai nghiệm là ${x_1} = - 2$, ${x_2} = 3$.

Mặt khác có hệ số $a = 1 > 0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right) = {x^2} - x - 6 \le 0$$\Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;\,\,3} \right]$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[ { - 2;\,\,3} \right]$.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {57x + 31{x^2} + 2} = 5x + 4$ ta được:

$57x + 31{x^2} + 2 = 25{x^2} + 40x + 16$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $6{x^2} + 17x - 14 = 0$. Từ đó suy ra $x = - \frac{7}{2}$ hoặc $x = \frac{2}{3}$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có $x = \frac{2}{3}$ thỏa mãn.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}$. Mà $\frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}$. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {5{x^2} - 28x - 29} = \sqrt {{x^2} - 5x + 6}$ ta được:

$5{x^2} - 28x - 29 = {x^2} - 5x + 6$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $4{x^2} - 23x - 35 = 0$. Từ đó suy ra $x = - \frac{5}{4}$ hoặc $x = 7$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S = \left\{ { - \frac{5}{4};\,\,7} \right\}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $AB = \sqrt {{{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {5 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {61}$.

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta có vectơ $\overrightarrow a = - 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j$. Vậy $\overrightarrow a = \left( { - 2;\,\,4} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow m = 3\overrightarrow u - 2\overrightarrow v = 3\left( {1;\,\, - 3} \right) - 2\left( { - 2;\,\,5} \right) = \left( {7;\,\, - 19} \right)$.

Suy ra $a = 7,\,\,b = - 19$. Khi đó $S = {a^2} + {b^2} = {7^2} + {\left( { - 19} \right)^2} = 410$.

Đáp án đúng là: B

$P$ là trung điểm của $MN$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5 + x}}{2} = x - 4\\\frac{{3 + y}}{2} = y + 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 2x - 8\\3 + y = 2y + 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 1\end{array} \right.$.

Vậy $x = 13;\,\,y = 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d:x + 2y - 6 = 0$ nên đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;\,\,2} \right)$. Do đó đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 1} \right)$.

Lại có điểm $A\left( {0;\,\,3} \right) \in d$. Vậy phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng ${d_1}:2x + 3y - 19 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,3} \right)$ và đường thẳng ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;\,\,5} \right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\, - 2} \right)$.

Ta thấy $\frac{2}{5} \ne \frac{3}{{ - 2}}$ và $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 2.5 + 3.\left( { - 2} \right) = 4 \ne 0$.

Vậy ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - 8.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {65} }}$.

Đáp án đúng là: A

Do $BH \bot AC$ nên đường cao $BH$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \overrightarrow {CA} = \left( {5;\,\, - 3} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường cao $BH$ là: $5\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 5} \right) = 0$ hay $5x - 3y - 5 = 0$.

Đáp án đúng là : D

Ta có: $\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25$$\Leftrightarrow {\left( {x - \left( { - 1} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {5^2}$.

Đường tròn đã cho có tâm $I\left( { - 1;\,\,3} \right)$ và bán kính $R = 5$, do đó đáp án A và B đúng.

Ta có: ${\left( { - 1 + 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 3} \right)^2} = {\left( { - 5} \right)^2} = 25 \Rightarrow A\left( { - 1; - 2} \right) \in \left( C \right)$, do đó đáp án C đúng.

${\left( {4 + 1} \right)^2} + {\left( {3 - 3} \right)^2} = {5^2} = 25 \Rightarrow B\left( {4;3} \right) \in \left( C \right)$, do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Phương trình đường tròn là: ${\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 144$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.1x - 2.\left( { - 2} \right)y - 3 = 0$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;\,\, - 2} \right)$.

Lại có: ${3^2} + {\left( { - 4} \right)^2} - 2.3 + 4.\left( { - 4} \right) - 3 = 0$$\Rightarrow M\left( {3;\, - 4} \right) \in \left( C \right)$.

Do đó, tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {3;\, - 4} \right)$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( {2;\,\, - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên nó có phương trình là $2\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 4} \right) = 0$ hay $x - y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình ${y^2} = 10x$ là phương trình chính tắc của parabol do nó có dạng ${y^2} = 2px$ với $p = 5 > 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{30}} + \frac{{{y^2}}}{{14}} = 1$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 30\\{b^2} = 14\end{array} \right. \Rightarrow {c^2} = 30 - 14 = 16 \Rightarrow c = 4$.

Vậy tiêu cự của elip đã cho là $2c = 8$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = 5$.

Do đó, hypebol đã cho có các tiêu điểm ${F_1}\left( { - 5;\,0} \right),\,{F_2}\left( {5;\,\,0} \right)$.

Giả sử phương trình chính tắc của elip là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ (trong đó $a > b > 0$).

Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên $OA = 12:2 = 6$ (m) nên điểm $A$ có tọa độ $\left( {6;\,\,0} \right)$.

Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên $OB = 3$ m, do đó điểm $B$ có tọa độ $\left( {0;\,\,3} \right)$.

Do các điểm $B\left( {0;\,\,3} \right)$ và $A\left( {6;\,\,0} \right)$ thuộc elip nên thay vào phương trình của elip ta được:

$\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = {3^2} = 9$

$\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = {6^2} = 36$

Suy ra phương trình của elip là: $\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe không quá $3:2 = 1{,}5$ m, tương ứng với $x = 1{,}5$. Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao $y$ của điểm $M$ (có hoành độ bằng 1,5 thuộc elip) so với trục $Ox$. Ta có: $\frac{{{x_M}^2}}{{36}} + \frac{{{y_M}^2}}{9} = 1$.

Suy ra: ${y_M} = 3.\sqrt {1 - \frac{{x_M^2}}{{36}}} = 3.\sqrt {1 - \frac{{{{1{,}5}^2}}}{{36}}} \approx 2{,}905 > 2{,}8$.

Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm; $\overrightarrow n = \left( {A;\,\,B} \right)$ là VTPT của $\Delta$ $\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)$.

Đường thẳng $\left( d \right)$: $x + 3y - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;\,\,3} \right)$.

Để $\Delta$ tạo với $\left( d \right)$ một góc $45^\circ$ thì:

$\cos 45^\circ = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $\Leftrightarrow 2{\left( {A + 3B} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2B\\B = - 2A\end{array} \right.$ .

+ Với $A = 2B$, chọn $B = 1 \Rightarrow A = 2$ ta được phương trình $\Delta :\,2x + y + 4 = 0$.

+ Với $B = - 2A$, chọn $A = 1 \Rightarrow B = - 2$ ta được phương trình $\Delta :\,x - 2y + 2 = 0$.

Từ điều kiện ta có ${x^2} + {y^2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} = 5 - {z^2} \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 10 - 2{z^2} - {\left( {3 - z} \right)^2}$.

Do đó ${\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 6z - 3{z^2}$.

Dễ thấy $z \ne - 2$. Ta có $P.\left( {z + 2} \right) + 2 = x + y$.

Do đó ${\left[ {P.\left( {z + 2} \right) + 2} \right]^2} = 1 + 6z - 3{z^2}$

$\Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2}{P^2} + 4\left( {z + 2} \right)P + 4 = 1 + 6z - 3{z^2}$

$\Leftrightarrow \left( {{P^2} + 3} \right){z^2} + \left( {4{P^2} + 4P - 6} \right)z + 4{P^2} + 8P + 3 = 0$

Phương trình ẩn $z$ có nghiệm khi và chỉ khi ${\Delta '_z} \ge 0$

$\Leftrightarrow {\left( {2{P^2} + 2P - 3} \right)^2} - \left( {{P^2} + 3} \right)\left( {4{P^2} + 8P + 3} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow 4{P^4} + 4{P^2} + 9 + 8{P^3} - 12{P^2} - 12P - \left( {4{P^4} + 8{P^3} + 3{P^2} + 12{P^2} + 24P + 9} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow 23{P^2} + 36P \le 0$

$\Leftrightarrow - \frac{{36}}{{23}} \le P \le 0$ (áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai).

Ta có $P = 0$ khi $x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1$ và $P = - \frac{{36}}{{23}}$ khi $x = \frac{{20}}{{31}},\,\,y = - \frac{{66}}{{31}},\,\,z = \frac{7}{{31}}$.

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là 0 tại $x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1$.