Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: A

Ta có: $h\left( x \right) = 5{x^2} - 3$, $g\left( x \right) = {3^2}{x^2} + 2{x^2} - 5x + 1 = 11{x^2} - 5x + 1$, $k\left( x \right) = 7 - 3 - 3{x^2}$ là các tam thức bậc hai.

$f\left( x \right) = 5 + 2x + {3^2}{x^2} - 9{x^2}$$= 5 + 2x + 9{x^2} - 9{x^2} = 5 + 2x$, đây không phải là tam thức bậc hai, nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, $\left( {a \ne 0} \right)$, nếu $\Delta = {b^2} - 4ac < 0$ thì $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng xét dấu, ta có:

$f\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( { - \infty \,;\,1} \right) \cup \,\,\left( {5\,;\, + \infty } \right)$;

$f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {1;\,\,5} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Thay $x = 0$ vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D không thỏa mãn do ${4.0^2} - 0 + 1 = 1 > 0$ nên $x = 0$ không là một nghiệm của bất phương trình $4{x^2} - x + 1 < 0$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2$ có hai nghiệm là ${x_1} = - 2$, ${x_2} = \frac{1}{2}$.

Mặt khác có hệ số $a = - 2 < 0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2 > 0$$\Leftrightarrow x \in \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {x - 1 + 2{x^2}} = 2x - 1$ ta được:

$x - 1 + 2{x^2} = 4{x^2} - 4x + 1$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $2{x^2} - 5x + 2 = 0$. Từ đó suy ra $x = 2$ hoặc $x = \frac{1}{2}$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{1}{2};\,2} \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 3x + 2} = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1}$ ta được:

$2{x^2} - 3x + 2 = 3{x^2} - 5x - 1$.

Thu gọn phương trình trên ta được: ${x^2} - 2x - 3 = 0$. Từ đó suy ra $x = - 1$ hoặc $x = 3$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1;\, - 6 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;\,\, - 4} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Cho các vectơ $\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)$; $\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)$ nên ta có: $\overrightarrow u = 3\overrightarrow v$.

Vậy $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương cùng hướng.

Đáp án đúng là: A

$G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + 4 + x}}{3} = 2x\\\frac{{3 + \left( { - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)}}{3} = y + 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 6x\\y = 3y + 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right.$.

Vậy $x = 1;\,\,y = - 3$.

Đáp án đúng là: A

Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 2m - 3\left( {m - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow - m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 6$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {2;\, - 1} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;\, - 3} \right)$ là $2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0$ hay $2x - 3y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng ${d_1}:2x + 3y + 15 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,3} \right)$ và đường thẳng ${d_2}:x - 2y - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 2} \right)$.

Ta thấy $\frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 2}}$ và $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 2.1 + 3.\left( { - 2} \right) = - 4 \ne 0$.

Vậy ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 4} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{24}}{5}$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d: - 3x + y - 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( { - 3;\,\,1} \right)$, nên nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;\,\,3} \right)$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$. Đường thẳng này có dạng $x + 3y + m = 0$.

Vì $M\left( { - 2;\,\,1} \right) \in \Delta$ nên $- 2 + 3.1 + m = 0 \Rightarrow m = - 1$.

Do đó, phương trình của $\Delta$ là $x + 3y - 1 = 0$.

Tọa độ hình chiếu vuông góc của $M$ trên $d$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\ - 3x + y - 5 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{7}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là : D

Đường tròn tâm $I\left( { - 1;\,\,2} \right)$ và bán kính $R = 3$ có phương trình là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${x^2} + {y^2} - 10y - 24 = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = {7^2}$.

Do đó, đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $R = 7$.

Đáp án đúng là: B

Đường tròn có tâm $I\left( {1;\,\,1} \right)$, tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :3x + 4y - 2 = 0$ có bán kính là

$R = d\left( {I,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1$.

Vậy phương trình đường tròn cần lập là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình ${x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ là phương trình chính tắc của một hypebol do nó có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ thỏa mãn $a = 1 > 0,\,\,b = 2\, > 0$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{12}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{9^2}}} = 1 \Rightarrow a = 12,\,\,b = 9$.

Vậy độ dài trục lớn là $2a = 2.12 = 24$.

Đáp án đúng là: D

Đường chuẩn là $x = - 1$ nên $- \frac{p}{2} = - 1 \Leftrightarrow p = 2$.

Vậy phương trình parabol $\left( P \right)$ là ${y^2} = 2.2.x\,\,\,{\rm{hay}}\,\,{y^2} = 4x$.

Ta có $3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 = 0 \Leftrightarrow x = m + 2$ hoặc $x = \frac{{4 - m}}{3}$.

* Với $m + 2 > \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow 3m + 6 > 4 - m \Leftrightarrow m > - \frac{1}{2}$ ta có

Bất phương trình (1)$\Leftrightarrow \frac{{4 - m}}{3} \le x \le m + 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $\left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right]$

Suy ra mọi $x \in \left[ { - 1;1} \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi $\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1 \ge \frac{{4 - m}}{3}}\\{1 \le m + 2}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m \ge 7}\\{m \ge - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge 7$.

Kết hợp với điều kiện $m > - \frac{1}{2}$ ta có $m \ge 7$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Với $m + 2 < \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}$ ta có

Bất phương trình (1)$\Leftrightarrow m + 2 \le x \le \frac{{4 - m}}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $\left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right]$

Suy ra mọi $x \in \left[ { - 1;1} \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi $\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1 \ge m + 2}\\{1 \le \frac{{4 - m}}{3}}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m \le - 3}\\{m \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le - 3$.

Kết hợp với điều kiện $m < - \frac{1}{2}$ ta có $m \le - 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với $m = - \frac{1}{2}$ ta có bất phương trình (1)$\Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$ nên $m = - \frac{1}{2}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $m \in ( - \infty ; - 3] \cup {\rm{[}}7; + \infty )$ là giá trị cần tìm.

Ta có: $\frac{1}{2} \ne \frac{3}{{ - 5}}$, do đó hai đường thẳng $x + 3y - 6 = 0$ và $2x - 5y - 1 = 0$ cắt nhau.

Giả sử hình bình hành $ABCD$ có hai cạnh $AB:x + 3y - 6 = 0$ và $AD:2x - 5y - 1 = 0$.

Khi đó, tọa độ đỉnh $A$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\2x - 5y - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;1} \right)$.

Vì tâm của hình bình hành là điểm $I\left( {3;5} \right)$ nên $I$ là trung điểm của $AC$, do đó:

$\left\{ \begin{array}{l}2{x_I} = {x_A} + {x_C}\\2{y_I} = {y_A} + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 = 3 + {x_C}\\10 = 1 + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} = 9\end{array} \right.$$\Rightarrow C\left( {3;9} \right)$.

Vì $DC\,\,{\rm{//}}\,\,AB$ nên phương trình $DC:x + 3y + n = 0$ $\left( {n \ne - 6} \right)$.

$C\left( {3;9} \right) \in DC \Rightarrow 3 + 27 + n = 0 \Rightarrow n = - 30$ (t/m).

$\Rightarrow$ Phương trình $DC:x + 3y - 30 = 0$.

Vì $BC\,\,{\rm{//}}\,AD$ nên phương trình $BC:2x - 5y + m = 0\,\,\,\left( {m \ne - 1} \right)$.

$C\left( {3;9} \right) \in BC \Rightarrow 6 - 45 + m = 0 \Rightarrow m = 39$ (t/m).

$\Rightarrow$ Phương trình $BC:2x - 5y + 39 = 0$.

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0$ có tâm $I\left( {1; - 2} \right)$.

Ta có điểm $M$thuộc $d:x - y + 1 = 0$ nên $M\left( {a;a + 1} \right)$.

Gọi $K$ trung điểm của $MI$thì $K\left( {\frac{{a + 1}}{2};\frac{{a - 1}}{2}} \right)$.

Vì $\Delta MAI$ và $\Delta MBI$ lần lượt vuông tại $A$ và $B$ (định nghĩa tiếp tuyến) nên $KA = KB = \frac{1}{2}MI$.

Đường tròn $\left( {C'} \right)$ tâm $K$, đường kính $MI$ nên có phương trình

${\left( {x - \frac{{a + 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{a - 1}}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + 2a + 5}}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \left( {a + 1} \right)x - \left( {a - 1} \right)y - a - 2 = 0$.

Đường thẳng $AB$ là giao của hai đường tròn $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right)$ nên tọa độ điểm $A,B$ thỏa mãn hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - \left( {a + 1} \right)x - \left( {a - 1} \right)y - a - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( {1 - a} \right)x - \left( {a + 3} \right)y - a + 2 = 0$.

Suy ra đường thẳng$AB$ có phương trình $\left( {1 - a} \right)x - \left( {a + 3} \right)y - a + 2 = 0$.

Khoảng cách từ $N\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$đến $AB$ là $d\left( {N,AB} \right) = \frac{{\left| {1 - 3a} \right|}}{{2\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {a + 3} \right)}^2}} }} = 1$.

$$\Rightarrow 2\sqrt {2{a^2} + 4a + 10} = \left| {1 - 3a} \right|$$

$\Rightarrow 4\left( {2{a^2} + 4a + 10} \right) = 9{a^2} - 6a + 1$

$\Leftrightarrow {a^2} - 22a - 39 = 0 \Leftrightarrow a = 11 \pm 4\sqrt {10}$.

Thử lại ta thấy cả hai giá trị của $a$ đều thỏa mãn.

Vậy $M\left( {11 + 4\sqrt {10} ;12 + 4\sqrt {10} } \right)$ hoặc $M\left( {11 - 4\sqrt {10} ;12 - 4\sqrt {10} } \right)$.