Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 6

Đáp án đúng là: A

Ta có: $f\left( x \right) = 2 + {5^2}x - 3{x^2} = - 3{x^2} + 25x + 2$ là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ có $a > 0$ và $\Delta = {b^2} - 4ac < 0$ thì $f\left( x \right) > 0$ (cùng dấu với hệ số $a$) với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $f(x) = {x^2} - 8x + 7$ có $a = 1 > 0$ và $\Delta = {\left( { - 8} \right)^2} - 4.1.7 = 36 > 0$ nên $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = 1$ và ${x_2} = 7$. Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

Vậy hàm số không âm khi $x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {7; + \infty } \right)$. Mà $\left[ {7;\,\,9} \right) \subset \left[ {7; + \infty } \right)$.

Vậy $x \in \left[ {7;\,\,9} \right)$ thì thỏa mãn bài toán.

Đáp án đúng là: C

Ta có ${3^3}x + 2{x^2} - 5 \le 0 \Leftrightarrow 27x + 2{x^2} - 5 \le 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 27x - 5 \le 0$, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right)$$\Leftrightarrow {x^2} + 5x \le 2{x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0$.

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 4$ có hai nghiệm là ${x_1} = 1$, ${x_2} = 4$.

Mặt khác có hệ số $a = 1 > 0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 4 \ge 0$$\Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\,1} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left( { - \infty ;\,\,1} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {4 - 3{x^2}} = 2x - 1$ ta được:

$4 - 3{x^2} = 4{x^2} - 4x + 1$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $7{x^2} - 4x - 3 = 0$. Từ đó suy ra $x = 1$ hoặc $x = - \frac{3}{7}$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có $x = 1$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 1 \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 3x - 5} = \sqrt {{x^2} + 5x - 17}$ ta được:

$2{x^2} - 3x - 5 = {x^2} + 5x - 17$.

Thu gọn phương trình trên ta được: ${x^2} - 8x + 12 = 0$. Từ đó suy ra $x = 2$ hoặc $x = 6$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có $x = 6$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow v = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j$. Khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $\overrightarrow v = \left( { - 2;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách giữa $A$ và $B$ là $AB = \sqrt {{{\left( { - 5 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = 5\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 7 \cdot 3 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 29$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)$, $G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 5} \right) + 0}}{3}\\0 = \frac{{1 + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g = - 2\\c = 2\end{array} \right.$.

Vậy $C\left( {0;\,\,2} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - \frac{1}{2}t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - \frac{1}{2};\,\,3} \right)$, nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right)$.

Do đó, nó cũng có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {n'} = 2\overrightarrow n = 2\left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right) = \left( {6;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{3 - x}}{5}\\t = \frac{{y - 1}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{3 - x}}{5} = \frac{{y - 1}}{4} \Leftrightarrow 4x + 5y - 17 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d\left( {O,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.0 - 3.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{5}$.

Đáp án đúng là: D

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}:6x - 5y + 15 = 0$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;\,\, - 5} \right)$.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.$ là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;\,\,5} \right)$, do đó đường thẳng ${d_2}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\,\,6} \right)$.

Ta thấy $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 6.5 + \left( { - 5} \right).6 = 0$. Do đó, hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau.

Vậy $\alpha = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ phải bằng nhau nên loại đáp án A và C.

Ta có : ${x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = - 3$ vô lí, loại đáp án B.

Lại có : ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$ là phương trình đường tròn. Vậy chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}$.

Do đó, đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;\,\, - 2} \right)$ và bán kính $R = 2\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {5 - 2} \right)^2} = 9$ (luôn đúng). Vậy $A \in \left( C \right)$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;\,\,2} \right)$.

Tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại điểm $A$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {IA} = \left( {0;\,\,3} \right)$, do đó nó có phương trình là $0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 5} \right) = 0$ hay $y - 5 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của parabol là ${y^2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}x$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{12}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = 1$.

$\Rightarrow a = 12,b = \sqrt 2$

$\Rightarrow 2a = 24$.

Điểm $M$ thuộc elip $\left( E \right)$ khi $M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2.12 = 24$.

Đáp án đúng là: D

Xét hypebol $\left( H \right)$ có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,\,b > 0} \right)$.

Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{a} = 2\\2c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3$.

Vậy $\left( H \right)$ có phương trình là: $\frac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = 1\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,{x^2} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1$.

Ta có: $3{x^2} + 5{y^2} - 2x - 2xy + 1 > 0$$\Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {y + 1} \right)x + 5{y^2} + 1 > 0$.

Đặt $f(x) = 3{x^2} - 2\left( {y + 1} \right)x + 5{y^2} + 1$, xem $y$ là tham số khi đó $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai ẩn $x$ có hệ số ${a_x} = 3 > 0$ và ${\Delta '_x} = {\left( {y + 1} \right)^2} - 3\left( {5{y^2} + 1} \right) = - 14{y^2} + 2y - 2$.

Xét tam thức $g\left( y \right) = - 14{y^2} + 2y - 2$ có hệ số ${a_y} = - 14 < 0$ và ${\Delta '_y} = - 27 < 0$.

Suy ra ${\Delta '_x} = g\left( y \right) < 0$ với mọi số thực $y$.

Do đó $f\left( x \right) > 0$ với mọi số thực $x,y$.

Vậy $3{x^2} + 5{y^2} - 2x - 2xy + 1 > 0$ (đpcm).

a) Ta có: $2 + 2.5 - 2 = 10 \ne 0 \Rightarrow M \notin \Delta$.

Đường thẳng $d$ qua $M$ và vuông góc $\Delta$ có dạng: $2x - y + m = 0$.

Do $M\left( {2;5} \right) \in d \Rightarrow 4 - 5 + m = 0 \Rightarrow m = 1$.

Phương trình $d:2x - y - 1 = 0$.

Gọi giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$và $d$ là $H$. Tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x + 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5}} \right)$.

Vì $M$ và $M'$ đối xứng qua $H$ nên $H$ là trung điểm của $MM'$.

$\left. \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \frac{8}{5} - 2 = - \frac{2}{5}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \frac{6}{5} - 5 = - \frac{{19}}{5}\end{array} \right\} \Rightarrow M'\left( { - \frac{2}{5}; - \frac{{19}}{5}} \right)$.

b) Cho $x = 0 \Rightarrow 0 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow I\left( {0;1} \right) \in \Delta$;

Cho $x = 1 \Rightarrow 1 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \Rightarrow J\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in \Delta$.

Gọi $I'$ là điểm đối xứng của $I$ qua $M,\,\,J'$ là điểm đối xứng của $J$ qua $M$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_M} - {x_I} = 4 - 0 = 4\\{y_{I'}} = 2{y_M} - {y_I} = 10 - 1 = 9\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {4;9} \right)$;

$\left\{ \begin{array}{l}{x_{J'}} = 2{x_M} - {x_J} = 4 - 1 = 3\\{y_{J'}} = 2{y_M} - {y_J} = 10 - \frac{1}{2} = \frac{{19}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow J'\left( {3;\frac{{19}}{2}} \right)$.

Phương trình $\Delta ' \equiv$ phương trình $I'J':\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 9}}{{\frac{1}{2}}} \Rightarrow x + 2y - 22 = 0$.

a) Chọn hệ tọa độ sao cho tâm của cái cổng cầu vồng hình bánh nguyệt có tọa độ $\left( {0;\,\,0} \right)$ và đỉnh của cổng có tọa độ $M\left( {0;\,3{,}4} \right)$.

Cổng hình bán nguyệt là nửa hình tròn với tâm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ và bán kính là $R = 3{,}4$ m.

Ta có phương trình mô phỏng của cổng là: ${x^2} + {y^2} = {3{,}4^2}$$\left( {y > 0} \right)$.

b) Gọi $OABC$ là thiết diện của xe tải. Theo bài ra ta có: $OA = 2{,}4\,{\rm{m}};\,\,OC = 2{,}5\,\,{\rm{m}}$.

Từ định lí Pythagore ta suy ra: $OB = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}} = \sqrt {{{2{,}4}^2} + {{2{,}5}^2}} \approx 3{,}5 > R = 3{,}4$ (m).

Vậy nếu đi đúng làn đường quy định thì xe tải không thể đi qua cổng.