Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $f\left( x \right) = 2023{x^2} - 2022x + 55$ là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: C

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có $\Delta = {b^2} - 4ac$.

Điều kiện để $f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ là $a < 0,\,\Delta < 0$.

Đáp án đúng là: A

Quan sát bảng xét dấu ta thấy $f\left( { - 1} \right) = 0$ và $f\left( 3 \right) = 0$ nên $f\left( x \right)$ có hai nghiệm $x = - 1$ và $x = 3$, do đó loại đáp án C và D.

Lại có $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( { - 1;\,\,3} \right)$ và $f\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)$.

Vậy ta chọn đáp án A: $f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3$ do có hệ số $a = - 1 < 0$ (trong trái ngoài cùng).

Đáp án đúng là: C

Xét tam thức $f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9$ có $\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.\left( { - 9} \right) = 121 > 0$ nên tam thức này có hai nghiệm ${x_1} = - 1$ và ${x_2} = \frac{9}{2}$.

Mặt khác có hệ số $a = 2 > 0$ nên ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f\left( x \right)$ nhận giá trị âm khi $x \in \left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)$.

Các giá trị nguyên trong khoảng $\left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)$ là 0; 1; 2; 3; 4 (có 5 giá trị).

Đáp án đúng là: A

Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - mx + 4m$ có $a = 1 > 0$ nên để $f\left( x \right)$ luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì$\Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 16m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 16$.

Đáp án đúng là: C

Ta có ${3^3}x + 2{x^2} - 5 \le 0 \Leftrightarrow 27x + 2{x^2} - 5 \le 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 27x - 5 \le 0$, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án đúng là: D

Thay $x = 0$ vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D không thỏa mãn do ${4.0^2} - 0 + 1 = 1 > 0$ nên $x = 0$ không là một nghiệm của bất phương trình $4{x^2} - x + 1 < 0$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ${\Delta _m} > 0$

$\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 > 0$$\Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1;\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4$ có $a = 1 > 0$

$\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 25 > 0$

Do đó, $f\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 4$; ${x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = - 1$.

Như vậy, $f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;4} \right]$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} - 3x - 4 \le 0$ là $S = \left[ { - 1;4} \right]$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $- {x^2} + 6x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 7$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ { - 1;\,\,7} \right]$.

Ta thấy $\left[ { - 7;\,\,1} \right] \not\subset S$.

Đáp án đúng là: D

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f}$ là tập hợp các nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f$ thỏa mãn bất phương trình $a{x^2} + bx + c \ge 0$ (hoặc $d{x^2} + ex + f \ge 0$).

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2$ ta được

$- {x^2} + 4x = 4{x^2} - 8x + 4$.

Sau khi thu gọn ta được $5{x^2} - 12x + 4 = 0$. Từ đó tìm được $x = 2$ hoặc $x = \frac{2}{5}$.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = 2$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là $x = 2$.

Ta có:

$\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = \sqrt {2m + 3x - {x^2}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 3 \ge 0\\ - {x^2} + 4x - 3 = 2m + 3x - {x^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\x = 2m + 3\end{array} \right.$

Để phương trình (1) có nghiệm thì $1 \le 2m + 3 \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0 \Rightarrow m \in \left[ { - 1;\,\,0} \right]$.

Suy ra $a = - 1,\,\,b = 0$, do đó ${a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {0^2} = 1$.

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta có vectơ $\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + \left( { - 5} \right)\overrightarrow j$. Vậy $\overrightarrow b = \left( {3; - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( {3;\,\,4} \right)$và $B\left( {3;\,\,7} \right)$.

Khi đó, tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 3;7 - 4} \right) = \left( {0;\,\,3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Cho các vectơ $\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)$; $\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)$ nên ta có: $\overrightarrow u = 3\overrightarrow v$.

Vậy $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương cùng hướng.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $FE = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 9 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = 5\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 8$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)$, $G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 5} \right) + 0}}{3}\\0 = \frac{{1 + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g = - 2\\c = 2\end{array} \right.$.

Vậy $C\left( {0;\,\,2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 6 - 2t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 2} \right)$, do đó nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Thay tọa độ các điểm $A,\,\,B$ lần lượt vào các phương trình trong các đáp án thì thấy đáp án B không thỏa mãn.

Cách 2. Nhận thấy rằng các phương trình ở các đáp án A, C, D thì vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó cùng phương, riêng chỉ có đáp án B thì không. Do đó chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 6t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {4;\,\, - 6} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = 4 + 3t'\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;\,\,3} \right)$.

Nhận thấy $\overrightarrow {{u_1}} = - 2\overrightarrow {{u_2}}$. Do đó hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lại có $A\left( {1;\,\,4} \right)$ thuộc ${\Delta _2}$ nhưng không thuộc ${\Delta _1}$. Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.

Đáp án đúng là: B

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.

Đường thẳng $a:2x - y - 10 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)$;

Đường thẳng $b:x - 3y - 9 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)$.

Ta có: $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó, $\varphi = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\Delta :\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$$\Leftrightarrow 24\left( {\frac{x}{6} + \frac{y}{8}} \right) = 24 \Leftrightarrow 4x + 3y - 24 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ đến $\Delta$ là $d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 24} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{24}}{5}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A\left( {2;\,\,1} \right)$ và song song với đường thẳng $\Delta :2x + 3y - 2 = 0$.

Khi đó, $\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {2;\,\,3} \right)$.

Phương trình đường thẳng $d$ là: $2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,2x + 3y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Loại ngay đáp án A và C vì hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ không bằng nhau.

Xét đáp án B: $2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y - 4 = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 6x - 10y - 2 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.\left( { - 3} \right)x - 2.5y - 2 = 0$.

Ta có: $\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2} - \left( { - 2} \right)} = \sqrt {36} = 6 > 0$.

Do đó, $2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y - 4 = 0$ là phương trình đường tròn có tâm $I\left( { - 3;\,\,5} \right)$ và bán kính $R = 6$.

Xét đáp án D: ${x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 10 = 0$, đây không phải phương trình đường tròn do ${\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} - 10 = - 8 < 0$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 4} \right)} \right)^2} = {5^2}$.

Do đó, đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I(3,\,-4)$ và bán kính $R = 5$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình của đường tròn tâm $I\left( {1;\,\,2} \right)$, bán kính bằng 5 là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn cần lập có tâm $M\left( {0;\,\,3} \right)$ và đi qua điểm $N\left( {4;\,\,0} \right)$ nên có bán kính là

$R = MN = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = 5$.

Phương trình đường tròn cần lập là ${\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {5^2}\,\,\,{\rm{hay}}\,\,{x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 - 3} \right)^2} = 5$, do đó $A$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$.

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5$ có tâm là $I\left( { - 1;\,\,3} \right)$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A\left( {0;\,\,1} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {IA} = \left( {1;\, - 2} \right)$, nên có phương trình

$1\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0$ hay $x - 2y + 2 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình ${x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ là phương trình chính tắc của một hypebol do nó có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ thỏa mãn $a = 1 > 0,\,\,b = 2\, > 0$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình ${y^2} = \frac{1}{2}x$ là phương trình chính tắc của parabol do nó có dạng ${y^2} = 2px$ với $p = \frac{1}{4} > 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 16\end{array} \right. \Rightarrow {c^2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow c = 3$.

Vậy tiêu cự $2c = 6$.

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình chính tắc của $\left( P \right):{y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)$.

Toạ độ tiêu điểm $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$.

Ta có khoảng cách từ $F$ đến đường thẳng $d$ bằng $2\sqrt 2$ nên

$d\left( {F,\,d} \right) = \frac{{\left| {\frac{p}{2} - 12} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{p}{2} - 12} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{p}{2} - 12 = 4\\\frac{p}{2} - 12 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 32\\p = 16\end{array} \right.$

Vậy phương trình chính tắc của $\left( P \right):{y^2} = 32x$ hoặc ${y^2} = 64x$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của $\left( E \right)$: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.$

Độ dài trục lớn $2a = 10$; độ dài trục bé $2b = 6$.

Diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp $\left( E \right)$ là $S = 2a.2b = 10.6 = 60$ (đvdt).

Đặt phương trình chính tắc của elip có dạng: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $\left( {a > b > 0} \right)$.

Theo bài ra ta có: $2a = 12 \Rightarrow a = 6$, $2b = 8 \Rightarrow b = 4$.

Suy ra $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Chọn $C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)$ là một đỉnh hình chữ nhật với ${x_C} > 0,{y_C} > 0$.

Do $C \in \left( E \right)$$\Rightarrow \frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}} = 1$.

Diện tích hình chữ nhật là $S = 4{x_C}{y_C} = 48.2.\frac{{{x_C}}}{6}.\frac{{{y_C}}}{4} \le 48\left( {\frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}}} \right) = 48$.

Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là $48\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

Do $S = x + 3y \Rightarrow x = S - 3y$, thay vào giả thiết $5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0$ và viết theo hệ số của biến $y$ ta thu được

$50{y^2} - 30Sy + 5{S^2} - 5S + 8 \le 0\,\,\,\,\left( * \right)$.

Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi $y$ nên ta có $\Delta \ge 0$, tức là

$900{S^2} - 4.50.(5{S^2} - 5S + 8) \ge 0$.

Biến đổi tương đương ta thu được $- 100{S^2} + 1000S - 1600 \ge 0$

hay $100{S^2} - 1000S + 1600 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le S \le 8$.

Khi $S = 2$ thay vào (*) được $50{y^2} - 60y + 18 \le 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{5}$ nên $x = S - 3y = 2 - \frac{9}{5} = \frac{1}{5}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x + 3y$ là 2 tại $x = \frac{1}{5},\,\,y = \frac{3}{5}$.

Giả sử đường thẳng $d$ có dạng: $y = ax + b\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,d:ax - y + b = 0$.

Ta có: $d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.\left( { - 1} \right) - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 8$. Suy ra $\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \sqrt {{a^2} + 1}$.

Lại có: $d\left( {B,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.0 - 2 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 2$. Suy ra $\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{a^2} + 1}$ (*).

Do đó, $\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }}$$\Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = \sqrt 8 \left| {b - 2} \right|$

$\Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = 2\sqrt 2 \left| {b - 2} \right|$

$\Leftrightarrow \left| { - a + b - 1} \right| = 2\left| {b - 2} \right|$

Trường hợp 1: $- a + b - 1 = 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a + b - 3 = 0$$\Leftrightarrow a = 3 - b$.

Thay $a = 3 - b$ vào (*) ta được: $\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3 - b} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} - 6b + 10}$

$\Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {{b^2} - 6b + 10} \right)$$\Leftrightarrow {b^2} - 8b + 16 = 0 \Leftrightarrow b = 4$.

Suy ra $a = 3 - 4 = - 1$.

Vậy $d: - x - y + 4 = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,d:x + y - 4 = 0$.

Trường hợp 2: $- a + b - 1 = - 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0$$\Leftrightarrow a = 3b - 5$.

Thay $a = 3b - 5$ vào (*) ta được: $\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3b - 5} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {9{b^2} - 30b + 26}$

$\Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {9{b^2} - 30b + 26} \right)$$\Leftrightarrow 17{b^2} - 56b + 48 = 0$ (vô nghiệm).

Vậy phương trình đường thẳng $d$ cần lập có dạng: $x + y - 4 = 0$.