Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$.

Như vậy, $f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2}$ không phải là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ có $a > 0$ và $\Delta \ge 0$. Khi đó, $f\left( x \right)$ luôn không âm trên tập số thực hay $f\left( x \right) \ge 0\forall x \in \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: B

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 2021{x^2} + 2022x$ có các hệ số là: $a = 2021$, $b = 2022$, $c = 0$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2022x$ có: $a = 1 > 0$ và $b = - 2022$ và $c = 0$.

$\Delta = {\left( { - 2022} \right)^2} - 4.0.1 = {2022^2} > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 2022$

Do đó, $f\left( x \right) = {x^2} - 2022x = 0$ có hai nghiệm:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) + 2022}}{{2.1}} = 2022$; ${x_2} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) - 2022}}{{2.1}} = 0$

Như vậy, $f\left( x \right)$ mang dấu âm trên khoảng $\left( {0;2022} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Dễ thấy $f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 5$ có $\Delta = 36 > 0,\,a = - 1 < 0$và có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = - 1;\,{x_2} = 5$. Do đó ta có bảng xét dấu $f\left( x \right)$:

Suy ra $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( { - 1;5} \right)$ và $f\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.

Vậy đáp án đúng là A.

Đáp án đúng là: C

Ta có $2{x^4} + {x^2} - 10 > 0$ không phải bất phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án đúng là: D

Thay $x = 0$ vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D thỏa mãn ${3.0^2} - 3.0 - 1 = - 1 < 0$ nên $x = 0$ là một nghiệm của bất phương trình $3{x^2} - 3x - 1 < 0$.

Đáp án đúng là: D

Xét tam thức $f\left( x \right) = - 3{x^2} - 8x + 9$ có $\Delta ' = {\left( { - 4} \right)^2} - \left( { - 3} \right).9 = 43 > 0$ nên tam thức này có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{ - 4 - \sqrt {43} }}{3},\,\,{x_2} = \frac{{ - 4 + \sqrt {43} }}{3}$.

Lại có hệ số $a = - 3 < 0$ nên $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 4 - \sqrt {43} }}{3} < x < \frac{{ - 4 + \sqrt {43} }}{3}$.

Các nghiệm nguyên của bất phương trình $- 3{x^2} - 8x + 9 > 0$ là – 3, – 2, – 1, 0.

Đáp án đúng là: C

Phương trình ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi ${\Delta _m} \ge 0$

$\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 \ge 0$$\Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {1;\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1$ có:

$a = - 4 < 0$

$\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = - 12 < 0$

Do đó, $f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1 < 0$ với mọi số thực $x$

Hay $2x - 4{x^2} < 1$ với mọi số thực $x$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2x - 4{x^2} < 1$ là: $S = \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: C

Bạn đó giải sai phương trình ở bước 2 do bạn chưa thử lại các giá trị $x$ đã tìm được có thỏa mãn phương trình đã cho hay không mà đã kết luận nghiệm.

Dễ thấy, $x = - 2$ không thỏa mãn vì – 2 – 1 = – 3 < 0, và $x = 5$ thỏa mãn, do đó, tập nghiệm đúng của phương trình là $S = \left\{ 5 \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3}$ ta được:

$2{x^2} - 5x - 9 = 3{x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 12 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset$.

Vậy phương trình $\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3}$ vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {{x^2} - 5x} = \sqrt {3{x^2} - x - 4}$ ta được:

${x^2} - 5x = 3{x^2} - x - 4 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 - \sqrt 3 \\x = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.$.

Thay $x = - 1 - \sqrt 3$ vào hai vế phương trình đã cho ta có:

$\sqrt {{{\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)}^2} - 5.\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)} = \sqrt {3.{{\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)}^2} - \left( { - 1 - \sqrt 3 } \right) - 4} \,\,\,\,\left( { = \sqrt {9 + 7\sqrt 3 } } \right)$.

Do đó, $x = - 1 - \sqrt 3$ thỏa mãn.

Thay $x = - 1 + \sqrt 3$ vào hai vế phương trình đã cho ta thấy:

${\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)^2} - 5.\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right) = 9 - 7\sqrt 3 < 0 \Rightarrow \sqrt {{{\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)}^2} - 5\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)}$ không tồn tại, do đó, $x = - 1 + \sqrt 3$ không thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 5x} = \sqrt {3{x^2} - x - 4}$ là: $S = \left\{ { - 1 - \sqrt 3 } \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow u = - \,4\overrightarrow i - 9\overrightarrow j$, khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $\overrightarrow u = \left( { - \,4;\, - 9} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {NM} = \left( {2 - \left( { - 1} \right);\, - 3 - \left( { - 5} \right)} \right) = \left( {3;\,\,2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right),\,\overrightarrow {CD} = \left( { - 8; - 6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} = - 2\overrightarrow {AB}$.

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD}$ cùng phương và ngược hướng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 6} \right) = 10$.

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó, $\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $FE = \sqrt {{{\left( {2 - 5} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {58}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow m = \frac{1}{3}\overrightarrow u - \overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow t$$= \frac{1}{3}\left( { - 3;\,\, - 3} \right) - \left( {5;\, - 2} \right) + \frac{1}{2}\left( { - 4;\,\,1} \right) = \left( { - 8;\,\,\frac{3}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d: - y + 5x + 5 = 0\,\,{\rm{hay}}\,\,d:5x - y + 5 = 0$ là: $\overrightarrow n = \left( {5; - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $\Delta$ nhận vectơ $\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm $C\left( { - 2;5} \right)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $C\left( {2;0} \right)$ và nhận vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)$. Phương trình tổng quát của $d$ là $1\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $C\left( {2; - 1} \right)$ và $B\left( { - 3;5} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {CB} = \left( { - 3 - 2;5 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 5;6} \right)$, do đó, $d$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n = \left( {6;5} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:

$6\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 1 = 0\\4x + 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{{13}}\\y = - \frac{1}{{13}}\end{array} \right.$.

Hệ phương trình trên có duy nhất một nghiệm là cặp số $\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)$, do đó, ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ là $\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

${d_1}:2x - y + 12 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right)$.

${d_2}:4mx + my - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4m;m} \right)$.

Để ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau thì:

$\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 1} \right).m = 0 \Leftrightarrow 8m - m = 0 \Leftrightarrow 7m = 0 \Leftrightarrow m = 0$.

Vậy $m = 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16$ có tâm và bán kính lần lượt là:

$I\left( {1;3} \right)$ và $R = \sqrt {16} = 4$.

Đáp án đúng là: B

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 4;9} \right)$ và bán kính $R = 16$ có phương trình là:

${\left( {x - \left( { - 4} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = {16^2}$ hay ${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = 256$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$ không phải phương trình đường tròn vì phương trình đường tròn có dạng:

${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với ${a^2} + {b^2} - c > 0$;

Hoặc ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ với $R > 0$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $IM = \sqrt {{{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 2$

Do $M\left( {1;0} \right)$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 2; - 3} \right)$ nên bán kính: $R = IM = 3\sqrt 2 \Rightarrow {R^2} = 18$.

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là: ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 18$.

Đáp án đúng là: B

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1$ có tâm $I\left( {2; - 1} \right)$ và bán kính $R = 1$.

Vì đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1$ có tiếp tuyến tại điểm $A\left( {2;0} \right)$ nên $\Delta$ nhận vectơ $\overrightarrow {IA} = \left( {0;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $A\left( {2;0} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là: $0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1$ là phương trình chính tắc của một elip do có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ và $a = \sqrt 9 = 3,\,\,b = \sqrt 5 \,\,\left( {3 > \sqrt 5 > 0} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình ${y^2} = 8x$ là phương trình chính tắc của parabol do nó có dạng ${y^2} = 2px$ với $p = 4 > 0$.

Đáp án đúng là: D

$\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$

Suy ra: $a = 3,b = 2,c = \sqrt 5$

Do đó tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ nên đáp án A đúng

Độ dài trục lớp $2a = 6$nên đáp án B đúng

Độ dài trục nhỏ $2b = 4$ nên đáp án C đúng.

Tiêu cự của $\left( E \right)$ là $2c = 2\sqrt 5$ đáp án D sai.

Đáp án đúng là: D

Hypebol $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ có $a = 5;\,\,\,b = 4$.

$\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{5^2} + {4^2}} = \sqrt {41}$

Vậy tiêu cự $2c = 2\sqrt {41}$.

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,b > 0} \right)$.

Ta có điểm $M\left( {1;\,0} \right)$ thuộc hypebol nên thay $x = 1$ và $y = 0$ vào phương trình trên ta được: $\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Rightarrow a = 1$ (vì $a > 0$).

Mặt khác ta có $\frac{c}{a} = \sqrt 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 .a = \sqrt 5$.

Do đó $b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = \sqrt {5 - 1} = 2 \Rightarrow {b^2} = 4$.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

Tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\Delta$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\2x - 3y + 4 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\2x = 3y - 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32.\left( {\frac{3}{2}y - 2} \right) = 48y - 64\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 48y + 64 = 0\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 24 \pm 16\sqrt 2 \\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.$

Với $y = 24 + 16\sqrt 2$, ta có $x = \frac{3}{2}.\left( {24 + 16\sqrt 2 } \right) - 2 = 34 + 24\sqrt 2$

Suy ra $A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)$.

Với $y = 24 - 16\sqrt 2$, ta có $x = \frac{3}{2}.\left( {24 - 16\sqrt 2 } \right) - 2 = 34 - 24\sqrt 2$

Suy ra $A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 2 } \right)$.

Vậy $A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)$ hoặc $A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 2 } \right)$ là tọa độ $A$ cần tìm.

Do $BH$ là đường cao nên $AC \bot BH$ nên đường thẳng $AC$có một vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow {{u_{AC}}} = \overrightarrow {{n_{BH}}} = \left( {5; - 2} \right)$.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AC$ là: $\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {2;5} \right)$.

Đường thẳng $AC$ đi qua điểm $A\left( { - 1;2} \right)$ có phương trình là:

$2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 8 = 0$.

Do đường thẳng $AC$ giao đường thẳng $CM$ tại $C$ nên tọa độ của $C$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 8 = 0\\5x + 7y - 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;0} \right)$.

Đặt tọa độ điểm $B\left( {a;b} \right)$. Do $B \in BH$ nên $5a - 2b - 4 = 0$

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên$M\left( {\frac{{ - 1 + a}}{2};\frac{{2 + b}}{2}} \right) \in CM$

$\Leftrightarrow 5.\frac{{ - 1 + a}}{2} + 7.\frac{{2 + b}}{2} - 20 = 0 \Leftrightarrow 5a + 7b - 31 = 0$.

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}5a - 2b - 4 = 0\\5a + 7b - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2;3} \right)$.

Đường thẳng $BC$ có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 3} \right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;2} \right)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là: $3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0$.

Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu 500 m/s, hợp với phương ngang một góc bằng 45° nên ta có:

$g = 9{,}8$ m/s2; ${v_0} = 500$m/s; $\alpha = 45^\circ$.

Phương trình chuyển động của viên đạn là:

$y = \left( {\frac{{ - 9{,}8}}{{{{2.500}^2}.{{\cos }^2}45^\circ }}} \right){x^2} + x\left( {\tan 45^\circ } \right) = \frac{{ - 9{,}8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x$.

Để viên đạn bay qua một ngọn núi cao 4 000 mét thì

$y = \frac{{ - 9{,}8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x > 4\,\,000$$\Rightarrow \frac{{ - 9{,}8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x - 4\,000 > 0$.

Xét phương trình bậc hai $\frac{{ - 9{,}8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x - 4\,000 = 0$ có:

$a = \frac{{ - 9{,}8}}{{250\,\,000}} < 0$

$\Delta = {1^2} - 4.\left( {\frac{{ - 9{,}8}}{{250\,\,000}}} \right).( - 4\,\,000) = \frac{{233}}{{625}} > 0$

Do đó, phương trình bậc hai $\frac{{ - 9{,}8}}{{250000}}{x^2} + x - 4000 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1}$ ≈ 20 543; ${x_2}$ ≈ 4 967.

Do đó, $\frac{{ - 9{,}8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x - 4\,\,000 > 0$ $\Leftrightarrow$ 4 967 < $x$ < 20 543.

Vậy khẩu pháo phải đặt cách chân núi trong khoảng từ 4 967 m đến 20 543 m (tất nhiên là phải tính đến tầm bắn của khẩu pháo nữa) thì viên đạn sẽ bay qua đỉnh núi.