Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: B

Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức dạng $a{x^2} + bx + c$, trong đó $a$, $b$, $c$ là những số cho trước với $a \ne 0$.

Như vậy $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 1$ là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: C

Tam thức $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là tam thức bậc hai, do đó điều kiện để $f\left( x \right) > 0$ với mọi số thực $x$ là: $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $f\left( x \right) = 4{x^2} - 5\, = 4{x^2} + 0x - 5$.

Do đó, các hệ số của tam thức này là: $a = 4;b = 0;c = - 5$.

Đáp án đúng là: D

Xét tam thức $f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 5\,$ có:

$a = 3 > 0$;

$\Delta ' = {3^2} - 3.\left( { - 5} \right) = 24 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 2\sqrt 6$.

Như vậy, $f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 5\, = 0$ có 2 nghiệm là: ${x_1} = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3}$; ${x_2} = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}$.

Do đó, $f\left( x \right) \le 0$ (không dương) trên đoạn $\left[ {\frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3};\frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}} \right]$.

Đáp án đúng là: C

Xét từng đáp án:

+) Tam thức $f\left( x \right) = {x^2} - 10x + 2$ có $a = 1 > 0$ và $\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1.2 = 23 > 0$ nên tam thức này có hai nghiệm ${x_1} = 5 - \sqrt {23} ,\,\,{x_2} = 5 + \sqrt {23}$. Do đó, $f\left( x \right) > 0$ khi và chỉ khi $x \in \left( { - \infty ;5 - \sqrt {23} } \right) \cup \left( {5 + \sqrt {23} ; + \infty } \right)$, loại đáp án A.

+) Tam thức $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 10$ có $a = 1 > 0$ và $\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( { - 10} \right) = 11 > 0$ nên tam thức này có hai nghiệm ${x_1} = 1 - \sqrt {11} ,\,\,{x_2} = 1 + \sqrt {11}$. Do đó, $f\left( x \right) > 0$ khi và chỉ khi $x \in \left( { - \infty ;1 - \sqrt {11} } \right) \cup \left( {1 + \sqrt {11} ; + \infty } \right)$, loại đáp án B.

+) Tam thức $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 10$ có $a = 1 > 0$ và $\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.10 = - 9 < 0$ . Do đó, $f\left( x \right) > 0$ (cùng dấu $a$) với mọi số thực $x$, chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình ${x^4} + {x^2} - 8 > 0$ không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án đúng là: D

Thay $x = 1$ vào từng bất phương trình, ta thấy $x = 1$ là một nghiệm của bất phương trình ${x^2} - 2x - 1 < 0$.

Vì ${1^2} - 2.1 - 1 = - 2 < 0$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức $f\left( x \right) = {x^2} - 7x + 10$ có $\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.10 = 9 > 0$ nên tam thức này có hai nghiệm ${x_1} = 2,\,\,{x_2} = 5$.

Lại có hệ số $a = 1 > 0$ nên $f\left( x \right) = {x^2} - 7x + 10 < 0$ khi $x \in \left( {2;\,\,5} \right)$.

Các nghiệm nguyên của bất phương trình ${x^2} - 7x + 10 < 0$ là: $x = 3;\,\,x = 4$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi ${\Delta _m} < 0$

$\Leftrightarrow {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4.\,1.1 < 0$

$\Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 < 0$

$\Leftrightarrow - 3 < m < 1$.

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai: $f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6$ có:

$a = 1 > 0$;

$\Delta = {2^2} - 4.1.( - 6) = 28 > 0$.

Có $f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6 = 0$ có hai nghiệm là:

${x_1} = \frac{{ - 2 - \sqrt {28} }}{{2.1}} = - 1 - \sqrt 7$; ${x_1} = \frac{{ - 2 + \sqrt {28} }}{{2.1}} = - 1 + \sqrt 7$.

Ta có, $f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6 > 0$ trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right)$ và $\left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} + 2x - 6 > 0$ là:

$S = \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Thay $x = 2$ vào hai vế phương trình $\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 2x + 1$ có:

$\sqrt {{{3.2}^2} + 4.2 + 5} = 5 = 2.2 + 1$

Như vậy, $x = 2$ là một nghiệm của phương trình $\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 2x + 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {3{x^2} - 1}$

$\Rightarrow {x^2} - 2x + 3 = 3{x^2} - 1$

$\Rightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0$

$\Rightarrow {x^2} + x - 2 = 0$

$\Rightarrow x = 1$ hoặc $x = - 2$

Với $x = 1$ ta có: $\sqrt {{1^2} - 2.1 + 3} = \sqrt 2 = \sqrt {{{3.1}^2} - 1}$, do đó, $x = 1$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

Với $x = - 2$ ta có: $\sqrt {{{( - 2)}^2} - 2.( - 2) + 3} = \sqrt {11} = \sqrt {3.{{( - 2)}^2} - 1}$, do đó, $x = - 2$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {3{x^2} - 1}$ có hai nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Thay $x = - \frac{1}{2}$ vào hai vế phương trình $\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = x + 2$ ta có:

$\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 3} = \frac{3}{2} = \left( { - \frac{1}{2}} \right) + 2$.

Như vậy, $x = - \frac{1}{2}$ là một nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = x + 2$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow v = - 7\overrightarrow i + 8\overrightarrow j$, khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $\overrightarrow v = \left( { - 7;\,8} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {BA} = \left( {2 - \left( { - 5} \right);\, - 3 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( {7;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 - \left( { - 3} \right) = - 6\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3 \cdot 1 - 1 - 5 = - 3\end{array} \right.$. Vậy $C\left( { - 6;\, - 3} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Vì điểm $M$ nằm trên tia $Ox$ nên gọi tọa độ điểm $M$ là $M\left( {x;\,\,0} \right)$.

Khi đó, $\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,2} \right),\,\,\overrightarrow {MB} = \left( {5 - x;\, - 2} \right)$.

Ta có: $\widehat {AMB} = 90^\circ$ $\Leftrightarrow MA \bot MB \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {5 - x} \right) + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 1\end{array} \right.$.

Vậy $M\left( {1;\,\,0} \right)$ hoặc $M\left( {6;\,\,0} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Cách 1:

$\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)$$= {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left( {\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} } \right)^2} + 2\left( {1 \cdot 2 + \left( { - 3} \right) \cdot 5} \right) = - 16$.

Cách 2: $2\overrightarrow b = \left( {2 \cdot 2;\,2 \cdot 5} \right) = \left( {4;\,10} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( {1 + 4;\, - 3 + 10} \right) = \left( {5;\,7} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = 1 \cdot 5 + \left( { - 3} \right) \cdot 7 = 5 - 21 = - 16$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a - 5\overrightarrow b = 2\left( {3;\,\,7} \right) - 5\left( { - 2;\,\,1} \right) = \left( {16;\,\,9} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d:x - 3y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)$.

Do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Xét điểm $D\left( {4; - 5} \right)$ ta có: $2.4 - ( - 5) + 3 = 16 \ne 0$

Do đó, điểm $D\left( {4; - 5} \right)$ không thuộc đường thẳng $d:2x - y + 3 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( {2;5} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {0;1} \right)$ có phương trình tổng quát là: $0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,y - 5 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d:4x - y + 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {4; - 1} \right)$, do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;4} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 1;1} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $d:4x - y + 5 = 0$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.( - 5) + 5.3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}}$.

Vậy ${d_1}$ vuông góc với ${d_2}$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $\Delta :4x - 3y + 6$ có vectơ pháp tuyến có $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4; - 3} \right)$ và đường thẳng $d:x - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;0} \right)$.

Ta có: $\cos \alpha = \frac{{\left| {4.1 + ( - 3).0} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{4}{5} \Rightarrow \alpha \approx 37^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$, bán kính $R > 0$ có dạng: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$

Vậy ${x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = - 4$ không là phương trình đường tròn vì $- 4 < 0$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4$ hay ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {2^2}$.

Do đó, tâm và bán kính của đường tròn đó là: $I\left( {1;2} \right)$ và $R = 2$.

Đáp án đúng là: C

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {0;4} \right)$ và bán kính $R = 5$ có phương trình là

${\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {5^2}\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,{x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25$.

Đáp án đúng là: D

Tâm $I$của đường tròn là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, có tọa độ là:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{4 + 0}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;2} \right)$.

Độ dài đường kính $AB$ là: $\sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$

Độ dài bán kính là: $R = \sqrt 5$.

Phương trình đường tròn là:

${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\,\,{\rm{hay}}\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5$.

Đáp án đúng là: C

Bán kính của đường tròn là: $R = OC = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {10}$.

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là: ${x^2} + {y^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2}\,\,{\rm{hay}}\,\,{x^2} + {y^2} = 10$.

Đáp án đúng là: C

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, elip có phương trình chính tắc dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$ là elip có hai tiêu điểm ${F_1},\,\,{F_2}$ nằm trên trục $Ox$ sao cho $O$ là trung điểm của ${F_1}{F_2}$. Vậy ta chọn hình ở đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a,\,\,b > 0} \right)$.

Vậy ${x^2} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1$ là phương trình chính tắc của hypebol.

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của parabol có dạng ${y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)$.

Vậy ${y^2} = 4x$ là phương trình chính tắc của parabol.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left( E \right):16{x^2} + 25{y^2} = 400$$\Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Do đó, elip $\left( E \right)$ có $a = \sqrt {25} = 5,\,\,b = \sqrt {16} = 4$, suy ra $c = \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 = 3$.

Vậy $\left( E \right)$ có trục nhỏ $2b = 2.4 = 8$, có trục lớn $2a = 2.5 = 10$, có tiêu cự bằng $2c = 2.3 = 6$ và có các tiêu điểm ${F_1}\left( { - 3;\,\,0} \right)$ và ${F_2}\left( {3;\,\,0} \right)$. Do đó, đáp án B sai.

Đáp án đúng là: D

Từ $\frac{{{x^2}}}{5} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$, ta suy ra ${a^2} = 5,\,\,{b^2} = 4$ nên ${c^2} = {a^2} + {b^2} = 5 + 4 = 9$, suy ra $c = 3$.

Vậy tiêu cự của hypebol là $2c = 2.3 = 6$.

Parabol có phương trình chính tắc là: ${y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)$.

Vì $AB = 40$ cm và $h = 30$ cm nên $A\left( {30;\,\,20} \right)$.

Do $A\left( {30;\,\,20} \right)$ thuộc parabol nên ta có: ${20^2} = 2p\,.\,\,30 \Rightarrow p = \frac{{20}}{3}$.

Vậy parabol có phương trình chính tắc là: ${y^2} = \frac{{40}}{3}x$.

Parabol có phương trình chính tắc là: ${y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)$.

Vì $AB = 40$ cm và $h = 30$ cm nên $A\left( {30;\,\,20} \right)$.

Do $A\left( {30;\,\,20} \right)$ thuộc parabol nên ta có: ${20^2} = 2p\,.\,\,30 \Rightarrow p = \frac{{20}}{3}$.

Vậy parabol có phương trình chính tắc là: ${y^2} = \frac{{40}}{3}x$.

Gọi độ dài một cạnh của bồn trồng hoa và bồn trồng cây lần lượt là $x$, $y$ (m).

$\left( {x,y > 0} \right)$

Chu vi của bồn trồng hoa là: $4x$ (m).

Chu vi của bồn trồng cây là: $4y$ (m).

Tổng chu vi của các bồn là: $4x + 4y = 48 \Leftrightarrow x + y - 12 = 0$.

Diện tích của bồn trồng hoa là: ${x^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Diện tích của bồn trồng cây là: ${y^2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Gọi tổng diện tích của chúng là $S\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$. Khi đó ta có: $S = {x^2} + {y^2}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} = S$ có tâm $O\left( {0;0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt S$ và đường thẳng $\Delta :x + y - 12 = 0$.

Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm $R$ nhỏ nhất để $\left( C \right)$ và $\Delta$ có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Bài toán trên tương đương với $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$, đồng thời khi đó điểm $M$ trùng với điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\Delta$.

Ta có: $OH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;1} \right)$.

Suy ra đường thẳng $OH$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_{OH}}} = \left( { - 1;1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $OH$ là: $- 1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0$

Điểm $H$ là giao điểm của đường thẳng $OH$ và đường thẳng $\Delta$ nên tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x + y - 12 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 6\end{array} \right.$.

Vậy độ dài cạnh bồn trồng hoa và bồn trồng cây đều là 6 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.