Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là: A

Ta có: $f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 4 - 3{x^2} = \left( {3{x^2} - 3{x^2}} \right) - 4x + 4 = - 4x + 4$ không là một tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $f\left( x \right) = {x^2} + 1 \ge 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${2^3}{x^2} + x - 1 < 0 \Leftrightarrow 8{x^2} + x - 1 < 0$, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức $f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2$ có hai nghiệm là ${x_1} = - 2$, ${x_2} = \frac{1}{2}$.

Mặt khác có hệ số $a = - 2 < 0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2 > 0$$\Leftrightarrow x \in \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)$.

Do $\frac{1}{2} < 1$ nên bất phương trình đã cho có không có nghiệm nguyên dương nào.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x - 2$ ta được:

$3{x^2} - 9x + 7 = {x^2} - 4x + 4$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $2{x^2} - 5x + 3 = 0$. Từ đó suy ra $x = 1$ hoặc $x = \frac{3}{2}$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} = \sqrt {{x^2} - 4x + 3}$ ta được:

$- {x^2} + 2x + 3 = {x^2} - 4x + 3$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $2{x^2} - 6x = 0$. Từ đó suy ra $x = 0$ hoặc $x = 3$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S = \{0;\,1{,}3\}$. Khi đó ta có: ${0^2} + {3^2} = 9$.

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho vectơ $\overrightarrow u = - 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow i = \left( { - 3} \right)\overrightarrow i + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j$.

Vậy tọa độ của $\overrightarrow u = \left( { - 3; - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)$, $\overrightarrow c = \left( { - 1;2} \right)$.

Do đó, $\overrightarrow a = - \overrightarrow c$.

Vậy $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow c$ ngược hướng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3} = \frac{{3 + 2 + 1}}{3} = 2 = {x_G}\\\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3} = \frac{{1 + 2 + \left( { - 6} \right)}}{3} = - 1 = {y_G}\end{array} \right.$.

Vậy $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left( {2m - 1} \right) \cdot 3 + 4 \cdot 7 = 6m - 3 + 28 = 6m + 25$

Để $\overrightarrow u \bot \overrightarrow v$ thì $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 6m + 25 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 25}}{6}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 7;\,\,8} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$, do đó $AB$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {8;\,\,7} \right)$.

Phương trình đường thẳng $AB$ là: $8\left( {x + 2} \right) + 7\left( {y + 6} \right) = 0$ hay $8x + 7y + 58 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d:5x + 2y - 4 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {5;\,\,2} \right)$, nên nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 5} \right)$. Các vectơ chỉ phương của đường thẳng này đều có dạng $k\overrightarrow u$, nên ta loại đáp án A và D.

Lại có $A\left( {2;\,\,3} \right)$ thuộc đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.$ nhưng không thuộc đường thẳng $d$ nên loại đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d\left( {A,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 5} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt 5 }} = 4\sqrt 5$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng ${d_1}:2x + y - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,1} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:x - 2 = 1 - y \Leftrightarrow x + y - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\,1} \right)$.

Ta có: $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$.

Lại có ${\sin ^2}\varphi + {\cos ^2}\varphi = 1 \Rightarrow \sin \varphi = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\varphi } = \sqrt {1 - \frac{9}{{10}}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\,\,\,$(do $\varphi$ là góc nhọn).

Vậy $A = \sin \varphi + \cos \varphi = \frac{3}{{\sqrt {10} }} + \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 3 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.\left( { - 2} \right)x - 2.3y - 3 = 0$.

Đường tròn đã cho có tâm $I\left( { - 2;\,\,3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} - \left( { - 3} \right)} = \sqrt {16} = 4$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình đường tròn có tâm $I\left( {8;\,\, - 2} \right)$ và bán kính $R = 7$ là

${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = {4^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x + 10y + 18 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 3x + 7y + 1 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.\frac{3}{4}x - 2.\left( { - \frac{7}{4}} \right) + \frac{1}{2} = 0$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {\frac{3}{4};\,\, - \frac{7}{4}} \right)$.

Lại có: ${2.1^2} + {2.0^2} - 3.1 + 7.0 + 1 = 0$$\Rightarrow M\left( {1;\,0} \right) \in \left( C \right)$.

Do đó, tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {1;\,\,0} \right)$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( {\frac{1}{4};\,\,\frac{7}{4}} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên nó có phương trình là $\frac{1}{4}\left( {x - 1} \right) - \frac{7}{4}\left( {y - 0} \right) = 0$ hay $x - 7y - 1 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Parabol $\left( P \right)$ có phương trình chính tắc là ${y^2} = 2px\,\,\,\left( {p > 0} \right)$.

Với điều kiện $p > 0$ thì đáp án A; B; C sai và đáp án D: ${y^2} = 5x$ có $p = \frac{5}{2} > 0$.

Do đó ${y^2} = 5x$ là phương trình chính tắc của parabol.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1 \Rightarrow a = 4$.

Vậy $M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 4 = 8$.

Đáp án đúng là: C

Thay lần lượt toạ độ các điểm $A,\,B,\,\,C,D$ vào phương trình hypebol ta thấy:

Điểm $C$ thuộc hypebol vì $\frac{{{5^2}}}{{25}} - \frac{{{0^2}}}{9} = 1$.

Xét $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 100\\{b^2} = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 100 - 36 = 64 \Rightarrow c = 8.$

Khi đó, elip có tiêu điểm là ${F_1}\left( { - \,8;0} \right)$$\Rightarrow$ đường thẳng $d\,\,{\rm{//}}\,\,Oy$ và đi qua ${F_1}$ có phương trình là $x = - \,8.$

Giao điểm của $d$ và $\left( E \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = - \,8\\\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \,8\\y = \pm \,\frac{{18}}{5}\end{array} \right..$

Vậy tọa độ hai điểm $M\left( { - \,8;\frac{{18}}{5}} \right),\,\,N\left( { - \,8; - \,\frac{{18}}{5}} \right) \Rightarrow MN = \frac{{36}}{5}$.

Xét tam thức bậc hai $f\left( a \right) = 9{a^2} - \left( {4b + 7} \right)a + 7{b^2} - 5b + 3$ với $b$ là tham số

Ta có ${\Delta _f} = {\left( {4b + 7} \right)^2} - 36\left( {7{b^2} - 5b + 3} \right) = - 59{\left( {2b - 1} \right)^2} \le 0$ với mọi $b$.

Suy ra $f\left( a \right) \ge 0 \Leftrightarrow 9{a^2} - \left( {4b + 7} \right)a + 7{b^2} - 5b + 3 \ge 0$

$\Leftrightarrow 7a + 5b + 12ab - 9 \le 9{a^2} + 8ab + 7{b^2} - 6$

Theo giả thiết ta có $9{a^2} + 8ab + 7{b^2} \le 6$ nên $7a + 5b + 12ab \le 9$ (đpcm).

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 7y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.$.

Do đó, ${\Delta _1} \cap {\Delta _2} = O\left( {0;0} \right)$. Gọi $A,\,\,B$ lần lượt là hai tiếp điểm của $\left( {C'} \right)$ với ${\Delta _1},{\Delta _2}.$

Ta có tam giác $OAB$ cân tại $O$ và $K$ thuộc đường phân giác của $\widehat {AOB}$.

Mặt khác, ta chứng minh được phương trình đường phân giác của $\widehat {AOB}$ là:

$\frac{{x - y}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \pm \frac{{x - 7y}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + y = 0\\x - 2y = 0\end{array} \right.$ .

Vì $K \in \left( C \right)$ nên tọa độ điểm $K$ là nghiệm của các hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\end{array} \right.\,\,$ (Vô nghiệm) và $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.$.

Vậy $K\left( {\frac{8}{5};\,\frac{4}{5}} \right).$