Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: B

Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức dạng $a{x^2} + bx + c$. Trong đó $a$, $b$, $c$ là những số cho trước với $a \ne 0$.

Như vậy $f\left( x \right) = x + 4$ không phải là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: C

$f\left( x \right) = - 2x + {x^2} + 1 = {x^2} - 2x + 1$ có: $\Delta = {( - 2)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0$ .

Xét $f\left( x \right) = - 2x + {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Mà $a = 1 > 0$

Như vậy tam thức $f\left( x \right)$ luôn mang dấu dương với mọi giá trị $x \ne 1$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $f\left( x \right) = 5x - 1 + 11{x^2} = 11{x^2} + 5x - 1$

Như vậy, các hệ số của tam thức bậc hai này là: $a = 11$, $b = 5$, $c = - 1$.

Đáp án đúng là: B

Xét $f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 1$ có:

$a = 3 > 0$

$\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 48 > 0$

Do đó, $f\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt là

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) + \sqrt {48} }}{{2 \cdot 3}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}$;

${x_2} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) - \sqrt {48} }}{{2 \cdot 3}} = 1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}$.

Như vậy, $f\left( x \right) > 0$ trên các khoảng $\left( { - \infty ;1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)$ và $\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)$

Mà $\left( { - 4; - 2} \right) \subset \left( { - \infty ;1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)$ nên $f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 1$ mang dấu dương trên khoảng $\left( { - 4; - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Xét tam thức $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2$ và $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.2 = 1 > 0$, do đó tam thức $f\left( x \right)$ có hai nghiệm ${x_1} = 1,\,{x_2} = 2$.

Mặt khác có $a = 1 > 0$, nên ta có bảng xét dấu sau:

Do đó, ${x^2} - 3x + 2 > 0$ khi $x \in \left( { - \infty ;\,1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)$,

${x^2} - 3x + 2 \ge 0$ khi $x \in \left( { - \infty ;\,1} \right] \cup \left[ {2;\,\, + \infty } \right)$, ${x^2} - 3x + 2 \le 0$ khi $x \in \left[ {1;\,\,2} \right]$,

${x^2} - 3x + 2 < 0$ khi $x \in \left( {1;\,\,2} \right)$.

Vậy đáp án C sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${x^2} + 2x - 3 \ge 2{x^2} + x \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 \le 0$, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án đúng là: D

Thay $x = 0$ vào các bất phương trình ở từng đáp án, ta thấy chỉ có bất phương trình D thỏa mãn: ${0^2} - 3.0 - 1 = - 1 < 0$.

Đáp án đúng là: B

Với $x = 0$, ta có: $- {2.0^2} + 0 + 1 = 1 > 0$;

Với $x = - 1$, ta có: $- 2.{\left( { - 1} \right)^2} + \left( { - 1} \right) + 1 = - 2 < 0$;

Với $x = 1$, ta có: $- {2.1^2} + 1 + 1 = 0$;

Với $x = \frac{1}{2}$, ta có: $- 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} + 1 = 1 > 0$;

Vậy $x = - 1$ không là một nghiệm của bất phương trình $- 2{x^2} + x + 1 \ge 0$.

Đáp án đúng là: D

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = \;{x^2} - 2x + 4$ có

$a = 1 > 0$

$\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = - 12 < 0$

Như vậy $f\left( x \right) = \;{x^2} - 2x + 4 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Vậy bất phương trình ${x^2} - 2x + 4 < 0$ vô nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Phương trình $- {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta ' > 0$

$\Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right).\left( {m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 2\end{array} \right.$.

Vậy $m \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

Khi $x = 1$ thì $\sqrt {{1^2} - 3 \cdot 1 + 6} = 2 \ne 1 - 2 = - 1$, do đó, $x = 1$ không là nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2$.

Khi $x = - 2$ thì $\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3 \cdot \left( { - 2} \right) + 6} = 4 \ne - 2 - 2 = - 4$, do đó, $x = - 2$ không là nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2$.

Khi $x = 2$ thì $\sqrt {{2^2} - 3 \cdot 2 + 6} = 2 \ne 2 - 2 = 0$, do đó, $x = 2$ không là nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2$.

Vậy không có giá trị nào trong các giá trị trên là nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 3x + 6} = x - 2$.

Đáp án đúng là: A

Thay $x = - 2$ vào hai vế phương trình $\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = x + 3$ ta thấy:

$\sqrt {2 \cdot {{\left( { - 2} \right)}^2} + 5 \cdot \left( { - 2} \right) + 3} = 1 = - 2 + 3$.

Do đó, $x = - 2$ là nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} = x + 3$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f}$ là phương trình quy về phương trình bậc hai nên nó chỉ có tối đa 2 nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow v = 5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j = 5\overrightarrow i + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j$.

Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $\overrightarrow v = \left( {5;\, - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_N}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_N}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {13}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $- 2\overrightarrow z = - 2\left( { - \frac{1}{2};\,1} \right) = \left( {1;\, - 2} \right) = \overrightarrow x \,\,\,{\rm{hay}}\,\,\overrightarrow x = - 2\overrightarrow z$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow z$ cùng phương.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {BA} = \left( {2 - 4;\,\, - 1 - 1} \right) = \left( { - 2;\,\, - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: D

$G\left( {x;\,y + 6} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 + 3 + x - 1}}{3} = x\\\frac{{9 + 7 + y}}{3} = y + 6\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình trên ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow c = \frac{1}{2}\overrightarrow a - 5\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {2;\,\, - 1} \right) - 5\left( {3;\,4} \right) = \left( { - 14;\,\, - \frac{{41}}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $2x - 3y + 1 = 0$ có các hệ số: $a = 2$, $b = - 3$, $c = 1$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right) = \left( {2; - 3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm $A\left( {1;3} \right)$ vào phương trình đường thẳng $x - 3y + 8 = 0$ ta có:

$1 - 3 \cdot 3 + 8 = 0$

Do đó, $A\left( {1;3} \right)$ thuộc đường thẳng $x - 3y + 8 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Ta có hai đường thẳng $d:ax + by + c = 0$ và $d':a'x + b'y + c' = 0$.

Nếu hệ $\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\a'x + b'y + c' = 0\end{array} \right.$ có vô số nghiệm thì $d$ và $d'$ trùng nhau.

Đáp án đúng là: C

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {3;4} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 + 5t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;3 - 5} \right) = \left( {1; - 2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là: $\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $d$đi qua hai điểm $A\left( {1;5} \right)$, $B\left( {2;3} \right)$ là

$2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d$ và $d'$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 2 = 0\\2x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5y = - 2\\2x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{13}}{9}\\y = \frac{1}{9}\end{array} \right.$.

Như vậy hai đường thẳng $d$ và $d'$ cắt nhau tại điểm $\left( { - \frac{{13}}{9};\frac{1}{9}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$, bán kính $R > 0$ có dạng:

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$.

Vậy ${x^2} + {y^2} = 6$ là phương trình đường tròn với tâm $I\left( {0;0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 6$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16$$\Leftrightarrow {\left( {x - \left( { - 5} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {4^2}$.

Do đó, đường tròn đã cho có tâm $I\left( { - 5;2} \right)$ và bán kính là $R = 4$.

Đáp án đúng là: B

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $A\left( {3;6} \right)$ và có bán kính $R = 5$, phương trình của đường tròn $\left( C \right)$ là: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 25$.

Đáp án đúng là: D

Do đường tròn $\left( C \right)$ có đường kính $AB$ với $A\left( {3;7} \right)$ và $B\left( {1;1} \right)$ nên tâm $I$ của đường tròn là trung điểm của $AB$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{7 + 1}}{2} = 4\end{array} \right.$

Do đó, $I\left( {2;4} \right)$.

Mặt khác, $AB = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 - 7} \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \Rightarrow R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {10}$.

Vậy phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có đường kính $AB$ với $A\left( {3;7} \right)$ và $B\left( {1;1} \right)$ là:

${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10$.

Đáp án đúng là: D

Do đường tròn có tâm là $I\left( { - 1;4} \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:2x + 5y - 4 = 0$ nên bán kính là: $R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 \cdot 4 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} }} = \frac{{14}}{{\sqrt {29} }}$.

Vậy phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu là:

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\frac{{14}}{{\sqrt {29} }}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{196}}{{29}}$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$.

Do đó, ta loại ngay đáp án B và C.

Xét đáp án A, ta có $2 < 4$, do đó phương trình ở đáp án A không thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a,\,\,b > 0} \right)$.

Do đó, trong các phương trình đã cho thì $\frac{{{x^2}}}{{20}} - \frac{{{y^2}}}{{15}} = 1$ là phương trình chính tắc của hypebol.

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của parabol có dạng ${y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)$.

Vì parabol đã cho đi qua điểm $A\left( {1;\,\,2} \right)$ nên ta có: ${2^2} = 2p.1 \Rightarrow p = 2$.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là ${y^2} = 4x$.

Đáp án đúng là: D

Từ $\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$, ta suy ra a = 5, b = 3, do đó $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4$.

Tiêu cự của $\left( E \right)$ là $2c = 2 \cdot 4 = 8$.

Đáp án đúng là: D

Xét hypebol $\left( H \right)$ có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,\,b > 0} \right)$.

Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{a} = 2\\2c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3$.

Vậy $\left( H \right)$ có phương trình là: $\frac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = 1\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,{x^2} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1$.

Diện tích hình chữ nhật bên trong khung ảnh (không bao gồm viền) là 7 . 13 = 91 (cm2).

Vì độ rộng viền xung quanh là $x$ cm nên $x > 0$ và kích thước của khung ảnh là

$\left( {7 + 2x} \right)\,{\rm{cm}}\,\, \times \,\,\left( {13 + 2x} \right)$cm.

Diện tích viền khung ảnh là: $\left( {7 + 2x} \right)\left( {13 + 2x} \right) - 91 = 4{x^2} + 40x$ (cm2).

Theo bài ra ta có: $4{x^2} + 40x \le 44$.

Giải bất phương trình trên ta được $x \in \left[ { - 11;\,\,1} \right]$. Do $x > 0$ nên $x \in \left( {0;\,\,1} \right]$.

Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 cm.

Gọi $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B},{y_B}} \right)$.

Do điểm $M\left( {2;2} \right)$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} - 1}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 5\\{y_B} = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {5;2} \right)$.

Do $G\left( {3;1} \right)$ là trọng tâm của tam giác nên ta có:

$AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow AG = 2GM \Rightarrow \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM}$

Mà: $\overrightarrow {AG} = \left( {3 - {x_A};1 - {y_A}} \right)$; $\overrightarrow {GM} = \left( {2 - 3;2 - 1} \right) = \left( { - 1;\,\,1} \right)$

Do đó, $\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - {x_A} = 2 \cdot ( - 1)\\1 - {y_A} = 2 \cdot 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right)$.

Đường thẳng $AB$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {5 - 5;2 - ( - 1)} \right) = \left( {0;3} \right)$

Do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n = \left( { - 3;0} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { - 3;0} \right)$ là $- 3\left( {x - 5} \right) + 0.\left( {y - ( - 1)} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0$.

Gọi bán kính của vòng tròn và hai nửa hình tròn tương ứng là $x$, $y$ (m) $\left( {x,y > 0} \right)$.

Chu vi của vòng tròn là: $2 \cdot 3{,}14 \cdot x = 6{,}28x$ (m).

Vì hai nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai nửa này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính $y$ (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai nửa hình tròn là: $2 \cdot 3{,}14 \cdot y + 4y = 10{,}28y$ (m).

Tổng chu vi của chúng là 36 m nên ta có:

$6{,}28x + 10{,}28y = 36 \Rightarrow 6{,}28x + 10{,}28y - 36 = 0 \Leftrightarrow 1{,}57x + 2{,}57y - 9 = 0$.

Diện tích của vòng tròn là: $3{,}14{x^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Diện tích của hai nửa hình tròn là: $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3{,}14 \cdot {y^2} = 3{,}14{y^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Gọi tổng diện tích của chúng là $S\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$. Khi đó ta có:

$S = 3{,}14{x^2} + 3{,}14{y^2}\, \Rightarrow {x^2} + {y^2}\, = \frac{S}{{3{,}14}}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} = \frac{S}{{3{,}14}}$ có tâm $O\left( {0;0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {\frac{S}{{3{,}14}}}$ và đường thẳng $\Delta :1{,}57x + 2{,}57y - 9 = 0$.

Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm $R$ nhỏ nhất để $\left( C \right)$ và $\Delta$ có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Bài toán trên tương đương với $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$, đồng thời khi đó điểm $M$ trùng với điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\Delta$.

Ta có: $OH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1{,}57;2{,}57} \right)$

Suy ra đường thẳng $OH$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_{OH}}} = \left( { - 2{,}57;1{,}57} \right)$

Phương trình đường thẳng $OH$ là:

$- 2{,}57\left( {x - 0} \right) + 1{,}57\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{,}57x - 1{,}57y = 0$.

Điểm $H$ là giao điểm của đường thẳng $OH$ và đường thẳng $\Delta$ nên tọa độ của $H$là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}2{,}57x - 1{,}57y = 0\\1{,}57x + 2{,}57y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \approx 1{,}56\\y \approx 2{,}55\end{array} \right.$.

Vậy bán kính vòng tròn xấp xỉ bằng 1,56 m và bán kính hai nửa hình tròn xấp xỉ bằng 2,55 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.