Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 9

Đáp án đúng là: B

Để chọn một học sinh của tổ đó đi trực nhật có thể tiến hành theo hai phương án:

- Phương án 1: Chọn học sinh nữ có 5 cách chọn;

- Phương án 2: Chọn học sinh nam có 6 cách chọn;

Áp dụng quy tắc cộng, ta có $5 + 6 = 11$ cách.

Đáp án đúng là: B

Để tạo một mật khẩu, có 2 trường hợp:

+ Trường hợp 1: mật khẩu có độ dài là 4 kí tự

- Chọn kí tự đầu tiên là chữ cái: có 26 cách chọn;

- Chọn 3 kí tự tiếp theo là số: có $10.10.10 = {10^3}$ cách chọn.

Do đó, có ${26.10^3} = 26\,\,000$ mật khẩu có 4 kí tự.

+ Trường hợp 2: mật khẩu có độ dài là 5 kí tự

- Chọn kí tự đầu tiên là chữ cái: có 26 cách chọn;

- Chọn 4 kí tự tiếp theo là số: có $10.10.10.10 = {10^4}$ cách chọn.

Do đó, có ${26.10^4} = 260\,\,000$ mật khẩu có 4 kí tự.

Vì hai trường hợp là rời nhau nên tổng cộng có $26\,\,000 + 260\,\,000 = 286\,000$ mật khẩu.

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách xếp 9 quyển sách thành một dãy trên giá sách là một hoán vị của 9 quyển sách này. Do đó, có $9! = 362\,\,880$ cách xếp.

Đáp án đúng là: D

Mỗi cách chọn 3 đường nhánh và bố trí nhánh đỗ cho 3 đoàn tàu là một chỉnh hợp chập 3 của 6 đường nhánh. Do đó, số cách bố trí là $A_6^3 = 120$ cách.

Đáp án đúng là: B

Một số tự nhiên nằm trong khoảng từ 3 000 đến 4 000 và chia hết cho 5 và có các chữ số được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 phải có chữ số hàng đơn vị là 5 và chữ số hàng nghìn là 3. Như vậy các số thoả mãn yêu cầu của bài toán có dạng $\overline {3ab5}$, trong đó $a,\,\,b$ là 2 chữ số khác nhau chọn trong các chữ số 1; 2; 4; 6 (có sắp xếp). Do đó, số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là số các chỉnh hợp chập 2 của 4 và là: $A_4^2$.

Đáp án đúng là: D

Mỗi cách chọn 3 người bất kì trong 30 người là một tổ hợp chập 3 của 30 phần tử.

Vậy có $C_{30}^3$ cách chọn.

Đáp án đúng là: B

Để chọn mua một cây bút mực và một cây bút chì, ta tiến hành hai công đoạn liên tiếp:

- Chọn một cây bút mực trong 8 cây bút mực khác màu, có $C_8^1$ cách.

- Chọn một cây bút chì trong 8 cây bút chì khác màu, có $C_8^1$ cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là $S = C_8^1.C_8^1 = 64.$

Đáp án đúng là: B

Vì cần chọn ra 4 học sinh có đủ cả 3 lớp nên ta có các trường hợp:

Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C có: $C_4^1.C_3^1.C_2^2 = 12$.

Trường hợp 2: Chọn 1 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp 12C có: $C_4^1.C_3^2.C_2^1 = 24$.

Trường hợp 3: Chọn 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp 12C có: $C_4^2.C_3^1.C_2^1 = 36$.

Áp dụng quy tắc cộng có: $12 + 24 + 36 = 72$ cách chọn.

Đáp án đúng là: D

Công thức khai triển của (1 + x)4 là:

${\left( {1 + x} \right)^4} = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.x + C_4^2{.1^2}.{x^2} + C_4^3.1.{x^3} + C_4^4.{x^4}$

$= 1 + 4x + 6{x^2} + 4{x^3} + {x^4}$

Do đó, tổng các hệ số của các đơn thức bằng: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}$

$= {\left( {{x^3}} \right)^5} + 5.{\left( {{x^3}} \right)^4}.\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 10.{\left( {{x^3}} \right)^3}.{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} + 10.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + 5.\left( {{x^3}} \right).{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}$$= {x^{15}} - 5{x^{10}} + 10{x^5} - 10 + \frac{5}{{{x^5}}} - \frac{1}{{{x^{10}}}}$

Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là – 10.

Bình phương của số hạng này là 100.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - \frac{3}{2}\overrightarrow j$. Khi đó, tọa độ vectơ $\overrightarrow u$ là $\left( {2;\,\, - \frac{3}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $- 3\overrightarrow a = - 3\left( {1;\,\, - \frac{7}{3}} \right) = \left( { - 3;\,7} \right) = \overrightarrow u$.

Do đó, vectơ $\overrightarrow a$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow u$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow u = 2\overrightarrow m - \overrightarrow n = 2\left( {2;\,\, - 4} \right) - \left( { - 5;\,\,3} \right) = \left( {9;\,\, - 11} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Cách 1: Gọi $D\left( {a;\;b} \right)$. Vì $G\left( {0; - \frac{{13}}{3}} \right)$ là trọng tâm tam giác $ADC$ nên

$\overrightarrow {BD} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BG} \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}a - 4 = \frac{3}{2} \cdot \left( {0 - 4} \right)\\b - 5 = \frac{3}{2} \cdot \left( {\frac{{ - 13}}{3} - 5} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 9\end{array} \right.$$\Rightarrow D\left( { - 2;\; - 9} \right)$.

Cách 2: Gọi $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ suy ra $I$ là trung điểm $BG$$\Rightarrow I\left( {2;\;\frac{1}{3}} \right)$.

Lại có $G\left( {0; - \frac{{13}}{3}} \right)$ là trung điểm $DI$ nên suy ra $D\left( { - 2;\; - 9} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {4;\,\, - 6} \right)$.

Do đó, nó nhận $\overrightarrow u = \left( {6;\,\,4} \right)$ hoặc $\overrightarrow {u'} = \frac{1}{3}\overrightarrow u = \frac{1}{2}\left( {6;\,\,4} \right) = \left( {3;\,\,2} \right)$ là vectơ chỉ phương.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\,3} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 7 + 3t\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 4 + 3t\end{array} \right.$.

Ngoài ra đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow u = - \overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\, - 3} \right)$ là một vectơ chỉ phương nên ta có phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 7 - 3t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 9 - 2t\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x - 5\\y = - 9 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow y = - 9 - 2.\left( {x - 5} \right) \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Thay $\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.$ vào phương trình đường thẳng ${d_1}$ ta được:

$2\left( {22 + 2t} \right) + 3\left( {55 + 5t} \right) - 19 = 0$

$\Leftrightarrow 19t = - 190 \Leftrightarrow t = - 10$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t = 22 + 2.\left( { - 10} \right) = 2\\y = 55 + 5t = 55 + 5.\left( { - 10} \right) = 5\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là $\left( {2;\,\,5} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d\left( {A,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.2 - 2.1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt {29} }}$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng ${d_1}:2x + 2\sqrt 3 y + 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,2\sqrt 3 } \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:y - 6 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;\,\,1} \right)$.

Ta có: $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.0 + 2\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $\varphi= 30^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ${d_1}:2x - 3y + 19 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, - 3} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 4 - 4mt\end{array} \right.$ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;\,\, - 4m} \right)$, nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4m;\,\, - 3} \right)$.

Hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0$

$\Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 8m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{8}$.

a) Để có một cách sơn, ông An cần chọn ra một bộ 4 màu sơn khác nhau, có sắp thứ tự (tương ứng với màu sơn của tầng 1, tầng 2, tầng 3 và tầng 4).

Do có 10 màu sơn nên số cách sơn là số các chỉnh hợp chập 4 của 10 và là:

$A_{10}^4 = 5040$ (cách).

b) Để có một cách sơn nhà, ông An cần chọn ra 4 màu khác nhau từ 10 màu xanh rồi với mỗi bộ 4 màu đã chọn ra, ông An sắp thứ tự từ đậm nhất đến nhạt nhất để sơn các tầng từ thấp lên cao theo mong muốn.

Nói cách khác, với mỗi bộ 4 màu khác nhau, ông An có một cách sơn. Ngược lại, rõ ràng mỗi cách sơn phải dùng 4 màu khác nhau. Như vậy, số cách sơn bằng số cách chọn ra 4 màu sơn từ 10 màu sơn chính là số các tổ hợp chập 4 của 10 và là: $C_{10}^4 = 210$ (cách).

Áp dụng công thức khai triển của ${\left( {a + b} \right)^5}$ cho $a = {x^2},b = \frac{r}{x}$ ta được:

${\left( {{x^2} + \frac{r}{x}} \right)^5}$

$= C_5^0.{\left( {{x^2}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {{x^2}} \right)^4}.\frac{r}{x} + C_5^2.{\left( {{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^2} + C_5^3.{\left( {{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^3} + C_5^4.{x^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}$

$= {\left( {{x^2}} \right)^5} + 5{\left( {{x^2}} \right)^4}.\frac{r}{x} + 10{\left( {{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^2} + 10{\left( {{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^3} + 5{x^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}$

$= {x^{10}} + 5r{x^7} + 10{r^2}{x^4} + 10{r^3}x + \frac{{5{r^4}}}{{{x^2}}} + \frac{{{r^5}}}{{{x^5}}}$

Theo đề bài, ta có hệ số của $x$ trong khai triển của ${\left( {{x^2} + \frac{r}{x}} \right)^5}$bằng 640 nên:

$10{r^3} = 640 \Leftrightarrow {r^3} = 64 \Leftrightarrow r = 4$.

Giả sử $A\left( {a;0} \right),\,\,B\left( {0;b} \right)$

Vì $OA = OB$ nên $\left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow a = \pm b$

Phương trình $AB:\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Vì $M\left( { - 2; - 4} \right) \in AB$ nên

$$- \frac{2}{a} - \frac{4}{b} = 1 \quad (*)$$

Nếu $a = b$ thì $\left( * \right) \Leftrightarrow - \frac{6}{a} = 1 \Rightarrow a = b = - 6$

Vậy phương trình $AB:\frac{x}{{ - 6}} + \frac{y}{{ - 6}} = 1 \Leftrightarrow x + y + 6 = 0$

Nếu $a = - b$ thì $\left( * \right) \Leftrightarrow - \frac{2}{a} + \frac{4}{a} = 1 \Rightarrow \frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = - 2$

Vậy phương trình $AB:\frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0$.