Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 8

Đáp án đúng là: D

Số cách lấy một cái bút trong hộp là $2 + 3 + 2 = 7$ cách.

Đáp án đúng là: C

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$

Vì $a,b$ đều là số chẵn nên

$a$ có $4$ cách chọn (vì $a$ được chọn từ một trong bốn số $2;4;6;8$)

$b$ có $5$ cách chọn (vì $b$ được chọn từ một trong năm số $0;2;4;6;8$)

Như vậy, ta có $4.5 = 20$ số cần tìm.

Đáp án đúng là: D

Số cách sắp xếp là ${P_{18}} = 18!$.

Đáp án đúng là: D

Lấy ra 3 số từ 6 số và sắp xếp có $A_6^3 = 120$ số.

Đáp án đúng là: A

Số cách sắp xếp ba hành khách ngồi theo hướng tàu chạy là $A_4^3.$

Số cách sắp xếp hai hành khách ngồi ngược hướng tàu chạy là $A_4^2.$

Số cách sắp xếp ba hành khách còn lại là $3!.$

Vậy cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của hành khách là $A_4^3.A_4^2.3! = 1728$ cách.

Đáp án đúng là: B

Có tất cả 3 + 4 + 5 = 12 viên bi, chọn 3 viên bi trong 12 viên bi có $C_{12}^3 = 220$ cách chọn.

Đáp án đúng là: D

Chọn 2 học sinh nam, có $C_6^2$ cách.

Chọn 4 học sinh nữ, có $C_9^4$ cách.

Vậy có $C_6^2.C_9^4$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: B

Gọi số học sinh tham gia hội nghị là $n\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Theo đề bài ta có

$$C_n^2 = 120 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 120 \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 240$$

$\Leftrightarrow {n^2} - n - 240 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 16\\n = - 15\end{array} \right. \Rightarrow n = 16$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$${\left( {3x - y} \right)^4} = {\left( {3x} \right)^4} + 4.{\left( {3x} \right)^3}.\left( { - y} \right) + 6.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( { - y} \right)^2} + 4.3x.{\left( { - y} \right)^3} + {\left( { - y} \right)^4}$$

$= 81{x^4} - 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} - 12x{y^3} + {y^4}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có

$${\left( {a + 2b} \right)^5}\, = \,C_5^0.{a^5} + C_5^1.{a^4}.\left( {2b} \right) + C_5^2.{a^3}.{\left( {2b} \right)^2} + C_5^3.{a^2}.{\left( {2b} \right)^3} + C_5^4.a.{\left( {2b} \right)^4} + C_5^5.{\left( {2b} \right)^5}$$

$= {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}$

Suy ra hệ số của số hạng chứa ${a^3}{b^2}$ trong khai triển trên là: 40.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $AB = \sqrt {{{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {5 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {61}$.

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta có vectơ $\overrightarrow a = - 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j$. Vậy $\overrightarrow a = \left( { - 2;\,\,4} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow m = 3\overrightarrow u - 2\overrightarrow v = 3\left( {1;\,\, - 3} \right) - 2\left( { - 2;\,\,5} \right) = \left( {7;\,\, - 19} \right)$.

Suy ra $a = 7,\,\,b = - 19$. Khi đó $S = {a^2} + {b^2} = {7^2} + {\left( { - 19} \right)^2} = 410$.

Đáp án đúng là: B

$P$ là trung điểm của $MN$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5 + x}}{2} = x - 4\\\frac{{3 + y}}{2} = y + 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 2x - 8\\3 + y = 2y + 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 1\end{array} \right.$.

Vậy $x = 13;\,\,y = 1$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d:5x + 3y - 8 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {5;\,\,3} \right)$.

Do đó, nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;\,\, - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$. Do đó, đường thẳng $AB$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 6} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là:

$1\left( {x - 4} \right) - 6\left( {y + 2} \right) = 0$ hay $x - 6y - 16 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d:x + 2y - 6 = 0$ nên đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;\,\,2} \right)$. Do đó đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 1} \right)$.

Lại có điểm $A\left( {0;\,\,3} \right) \in d$. Vậy phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng ${d_1}:2x + 3y - 19 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,3} \right)$ và đường thẳng ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;\,\,5} \right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\, - 2} \right)$.

Ta thấy $\frac{2}{5} \ne \frac{3}{{ - 2}}$ và $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 2.5 + 3.\left( { - 2} \right) = 4 \ne 0$.

Vậy ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - 8.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {65} }}$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng ${d_1}:x + \sqrt 3 y = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,\sqrt 3 } \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:x + 10 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\,0} \right)$.

Ta có: $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \sqrt 3 .0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}$. Do đó, $\varphi = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Do $BH \bot AC$ nên đường cao $BH$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \overrightarrow {CA} = \left( {5;\,\, - 3} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường cao $BH$: $5\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 5} \right) = 0$ hay $5x - 3y - 5 = 0$.

Để chọn một đội hình ra sân gồm 11 cầu thủ sao cho Quang Hải và Đức Chinh không cùng có mặt có thể thực hiện theo hai phương án sau:

+ Phương án 1: Chọn Quang Hải hoặc Đức Chinh có 2 cách

Chọn thủ môn có $C_2^1$ cách

Chọn 9 cầu thủ còn lại có $C_{26}^9.$

Theo quy tắc nhân, ta có $2.C_2^1.C_{26}^9$ cách.

+ Phương án 2: Cả hai đều không ra sân

Chọn thủ môn có $C_2^1$ cách

Chọn 10 cầu thủ còn lại có $C_{26}^{10}$

Theo quy tắc nhân, ta có $C_2^1.C_{26}^{10}$ cách.

Vậy số cách chọn cần tìm là $2.C_2^1.C_{26}^9 + C_2^1.C_{26}^{10}$ cách.

a) Ta có $\overrightarrow {MA} = \left( { - 2 - x;1 - y} \right)$ và $\overrightarrow {MB} = \left( {4 - x;3 - y} \right)$

Do đó $\overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \left( {2 - 2x;4 - 2y} \right)$ và $\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \left( { - 6; - 2} \right)$.

b) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 2 + 4}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI} = \left( {1;2} \right)$.

Hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow {OI}$ cùng phương $\Leftrightarrow \overrightarrow u = k\overrightarrow {OI} ,\,\,\,k \in \mathbb{R},k \ne 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 2x = k.1\\4 - 2y = k.2\end{array} \right. \Rightarrow 4 - 2y = 2\left( {2 - 2x} \right) \Leftrightarrow y = 2x$

Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = 2x$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm; $\overrightarrow n = \left( {A;\,\,B} \right)$ là VTPT của $\Delta$ $\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)$.

Đường thẳng $\left( d \right)$: $x + 3y - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;\,\,3} \right)$.

Để $\Delta$ tạo với $\left( d \right)$ một góc $45^\circ$ thì:

$\cos 45^\circ = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $\Leftrightarrow 2{\left( {A + 3B} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2B\\B = - 2A\end{array} \right.$ .

+ Với $A = 2B$, chọn $B = 1 \Rightarrow A = 2$ ta được phương trình $\Delta :\,2x + y + 4 = 0$.

+ Với $B = - 2A$, chọn $A = 1 \Rightarrow B = - 2$ ta được phương trình $\Delta :\,x - 2y + 2 = 0$.