Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: A

Số cách bạn Linh chọn một quyển truyện cho bạn Hằng mượn là 5 cách.

Số cách bạn Linh chọn một quyển tạp chí cho bạn Hằng mượn là 7 cách.

Vậy bạn Linh có $5 + 7 = 12$ cách chọn một quyển truyện hoặc một quyển tạp chí để cho bạn Hằng mượn.

Đáp án đúng là: C

Mỗi mật khẩu điện thoại của bạn Hùng là một dãy gồm 4 ký tự, mỗi ký tự là một chữ số (từ 0 đến 9) nên số cách đặt mật khẩu của bạn Hùng là ${10^4} = 10\,\,000$.

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách xếp 5 bạn gồm 2 bạn nam và 3 bạn nữ thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 phần tử nên ta có $5!$ cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Một hoán vị của một tập hợp có $n$ phần tử là cách sắp xếp có thứ tự $n$ phần tử đó (với $n$ là số tự nhiên, $n \ge 1$).

Đáp án đúng là: C

Gọi $\overline {abcde}$ là số cần tìm.

+) Trường hợp 1: $e = 0$, chọn $\overline {abcd}$ có $A_7^4$ cách.

+) Trường hợp 2: $e = 5$, chọn $\overline {abcd}$ có $6.A_6^3$ cách (do $a \ne 0$).

Vậy có $A_7^4 + 6.A_6^3 = 1\,\,560$ số cần tìm.

Đáp án đúng là: D

Số tập con gồm 3 phần tử của tập $K$ là $C_{20}^3$.

Đáp án đúng là: C

Cứ hai đội gặp nhau cho ta một trận đấu nên số trận đấu một lượt là $C_{20}^2.$

Số trận đấu hai lượt là $C_{20}^2.2 = 380$ trận.

Đáp án đúng là: B

Cách chọn ra 5 học sinh sao cho có đủ nam, nữ và số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ gồm các phương án sau:

Phương án 1: Chọn 1 nam và 4 nữ có $C_{15}^1.C_{20}^4$.

Phương án 2: Chọn 2 nam và 3 nữ có $C_{15}^2.C_{20}^3$.

Áp dụng quy tắc cộng, có tất cả $C_{15}^1.C_{20}^4 + C_{15}^2.C_{20}^3 = 192\,\,375$ cách.

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\left( {x - 4} \right)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.\left( { - 4} \right) + 6.{x^2}.{\left( { - 4} \right)^2} + 4x.{\left( { - 4} \right)^3} + {\left( { - 4} \right)^4}$

$= {x^4} - 16{x^3} + 96{x^2} - 256x + 256$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\left( {3x + k} \right)^4} = C_4^0.{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.k + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{k^2} + C_4^3.\left( {3x} \right).{k^3} + C_4^4.{k^4}$

$= 81{x^4} + 108.{x^3}.k + 54.{x^2}.{k^2} + 12.x.{k^3} + {k^4}$

Suy ra hệ số của $x$ trong khai triển là $12{k^3}$ nên $12{k^3} = 12 \Leftrightarrow {k^3} = 1 \Leftrightarrow k = 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1;\, - 6 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;\,\, - 4} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Cho các vectơ $\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)$; $\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)$ nên ta có: $\overrightarrow u = 3\overrightarrow v$.

Vậy $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương cùng hướng.

Đáp án đúng là: A

$G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + 4 + x}}{3} = 2x\\\frac{{3 + \left( { - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)}}{3} = y + 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 6x\\y = 3y + 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right.$.

Vậy $x = 1;\,\,y = - 3$.

Đáp án đúng là: A

Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 2m - 3\left( {m - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow - m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 6$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {5 - 1;\,\,4 - 2} \right) = \left( {4;\,\,2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$, nên $\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 4} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$.

Do đó, đường thẳng $AB$ cũng có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {u'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\left( {2;\,\, - 4} \right) = \left( { - 1;\,\,2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {2;\, - 1} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;\, - 3} \right)$ là $2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0$ hay $2x - 3y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d:x + 2y - 6 = 0$ nên đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;\,\,2} \right)$. Do đó đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 1} \right)$.

Lại có điểm $A\left( {0;\,\,3} \right) \in d$. Vậy phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng ${d_1}:2x + 3y + 15 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,3} \right)$ và đường thẳng ${d_2}:x - 2y - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 2} \right)$.

Ta thấy $\frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 2}}$ và $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 2.1 + 3.\left( { - 2} \right) = - 4 \ne 0$.

Vậy ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 4} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{24}}{5}$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng ${d_1}:3x + 4y - 2 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;\,4} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {a;\,\, - 2} \right)$, do đó đường thẳng ${d_2}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;\,\,a} \right)$.

Ta có: $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}$$\Leftrightarrow \cos 45^\circ = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }} \Leftrightarrow 5\sqrt {{a^2} + 4} = \sqrt 2 \left| {3a - 8} \right|$$\Leftrightarrow 25{a^2} + 100 = 18{a^2} - 96a + 128$

$\Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 14\\a = \frac{2}{7}\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d: - 3x + y - 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( { - 3;\,\,1} \right)$, nên nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;\,\,3} \right)$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$. Đường thẳng này có dạng $x + 3y + m = 0$.

Vì $M\left( { - 2;\,\,1} \right) \in \Delta$ nên $- 2 + 3.1 + m = 0 \Rightarrow m = - 1$.

Do đó, phương trình của $\Delta$ là $x + 3y - 1 = 0$.

Tọa độ hình chiếu vuông góc của $M$ trên $d$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\ - 3x + y - 5 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{7}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.$.

- Xếp để $A$ và $B$ luôn ngồi cạnh nhau, ta có:

Coi $AB$ như 1 phần tử, trường hợp này có 2 cách thỏa mãn là $AB$ và $BA$.

Ứng với 1 phần tử $AB$ và 8 đại biểu còn lại có $9!$ cách xếp.

Do đó có $2.9!$ cách xếp.

- Xếp để $A$ luôn ngồi cạnh cả $B$ và $C$ là:

Coi $ABC$ như 1 phần tử, do đó có thể có 2 cách thỏa mãn là $CAB$ và $BAC$.

Ứng với 1 phần tử $ABC$ và 7 đại biểu còn lại có $8!$ cách xếp.

Do đó có $2.8!$ cách xếp.

Vậy có $2.9!\, - \,\,2.8! = 645\,\,120$ cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: ${\left( {1 - k.x} \right)^5} = 1 - 5kx + 10{k^2}{x^2} - 10{k^3}{x^3} + 5{k^4}{x^4} - {k^5}{x^5}$

Khi hệ số của $x$ và ${x^3}$ trong khai triển lần lượt là: $- 5k$ và $- 10{k^3}$.

Do đó ta có: $\left( { - 5k} \right) + \left( { - 10{k^3}} \right) = 15 \Leftrightarrow 2{k^3} + k + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} - 2k + 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow k = - 1$.

Vậy hệ số của $x$ và ${x^2}$ trong khai triển lần lượt là: 5 và 10.

Ta có: $\frac{1}{2} \ne \frac{3}{{ - 5}}$, do đó hai đường thẳng $x + 3y - 6 = 0$ và $2x - 5y - 1 = 0$ cắt nhau.

Giả sử hình bình hành $ABCD$ có hai cạnh $AB:x + 3y - 6 = 0$ và $AD:2x - 5y - 1 = 0$.

Khi đó, tọa độ đỉnh $A$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\2x - 5y - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;1} \right)$.

Vì tâm của hình bình hành là điểm $I\left( {3;5} \right)$ nên $I$ là trung điểm của $AC$, do đó:

$\left\{ \begin{array}{l}2{x_I} = {x_A} + {x_C}\\2{y_I} = {y_A} + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 = 3 + {x_C}\\10 = 1 + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} = 9\end{array} \right.$$\Rightarrow C\left( {3;9} \right)$.

Vì $DC\,\,{\rm{//}}\,\,AB$ nên phương trình $DC:x + 3y + n = 0$ $\left( {n \ne - 6} \right)$.

$C\left( {3;9} \right) \in DC \Rightarrow 3 + 27 + n = 0 \Rightarrow n = - 30$ (t/m).

$\Rightarrow$ Phương trình $DC:x + 3y - 30 = 0$.

Vì $BC\,\,{\rm{//}}\,AD$ nên phương trình $BC:2x - 5y + m = 0\,\,\,\left( {m \ne - 1} \right)$.

$C\left( {3;9} \right) \in BC \Rightarrow 6 - 45 + m = 0 \Rightarrow m = 39$ (t/m).

$\Rightarrow$ Phương trình $BC:2x - 5y + 39 = 0$.