Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 6

Đáp án đúng là: A

+ Nếu chọn một cái quần thì sẽ có 4 cách.

+ Nếu chọn một cái áo thì sẽ có 6 cách.

+ Nếu chọn một cái cà vạt thì sẽ có 3 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có $4 + 6 + 3 = 13$ cách chọn.

Đáp án đúng là: B

Cách để đi từ thành phố $A$ đến thành phố $C$ phải đi qua thành phố $B$ gồm 2 giai đoạn:

- Giai đoạn 1: Đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ có 4 cách.

- Giai đoạn 2: Ứng với mỗi cách của giai đoạn 1, từ thành phố $B$ đến thành phố $C$ có 3 cách.

Áp dụng quy tắc nhân có $4.3 = 12$ cách để đi từ thành phố $A$ đến thành phố $C$.

Đáp án đúng là: D

Số các chỉnh hợp chập $k$ của một tập hợp có $n$ phần tử $\left( {1 \le k \le n} \right)$ là $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}$.

Đáp án đúng là: D

Mỗi số gồm ba chữ số khác nhau được lập từ 3 chữ số $1;\,\,2;\,\,3$ là một hoán vị của 3 phần tử nên có $3! = 6$ số các số thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án đúng là: B

Số các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối từ các điểm đã cho là số các chỉnh hợp chập 2 của 5 và là $A_5^2$.

Đáp án đúng là: B

Mỗi đoàn được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 (người). Vì vậy, số đoàn đại biểu có thể có là $C_{10}^5 = \frac{{10!}}{{5!.5!}} = 252.$

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.

Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là $C_{52}^2 = 1326.$

Đáp án đúng là: C

Số cách chọn 2 số chẵn trong tập hợp $\left\{ {2;4;6;8} \right\}$ là: $C_4^2$ cách.

Số cách chọn 2 số lẻ trong tập hợp $\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}$ là: $C_5^2$ cách.

Số cách hoán vị 4 chữ số đã chọn lập thành 1 số tự nhiên là: $4!$ cách.

Vậy có $4!\;.C_4^2.C_5^2$ số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

${\left( {3x + y} \right)^5} = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{\left( {3x} \right)^4}.y + 10.{\left( {3x} \right)^3}.{y^2} + 10.{\left( {3x} \right)^2}.{y^3} + 5.\left( {3x} \right).{y^4} + {y^5}$

$= 243{x^5} + 405{x^4}y + 270{x^3}{y^2} + 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} + {y^5}$

Số hạng có chứa ${x^3}{y^2}$ là $270{x^3}{y^2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow v = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j$. Khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $\overrightarrow v = \left( { - 2;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách giữa $A$ và $B$ là $AB = \sqrt {{{\left( { - 5 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = 5\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 7 \cdot 3 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 29$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)$, $G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 5} \right) + 0}}{3}\\0 = \frac{{1 + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g = - 2\\c = 2\end{array} \right.$.

Vậy $C\left( {0;\,\,2} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - \frac{1}{2}t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - \frac{1}{2};\,\,3} \right)$, nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right)$.

Do đó, nó cũng có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {n'} = 2\overrightarrow n = 2\left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right) = \left( {6;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $AB$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,6} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {2;\, - 1} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,6} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 0t\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{3 - x}}{5}\\t = \frac{{y - 1}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{3 - x}}{5} = \frac{{y - 1}}{4} \Leftrightarrow 4x + 5y - 17 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $2x - 5y + 3 = 0$ và $5x + 2y - 3 = 0$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 3 = 0\\5x + 2y - 3 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{{29}}\\y = \frac{{21}}{{29}}\end{array} \right.$.

Giao điểm của hai đường thẳng đã cho có tọa độ là $\left( {\frac{9}{{29}};\,\frac{{21}}{{29}}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d\left( {O,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.0 - 3.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{5}$.

Đáp án đúng là: D

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}:6x - 5y + 15 = 0$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;\,\, - 5} \right)$.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.$ là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;\,\,5} \right)$, do đó đường thẳng ${d_2}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\,\,6} \right)$.

Ta thấy $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 6.5 + \left( { - 5} \right).6 = 0$. Do đó, hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau.

Vậy $\alpha = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ${d_1}:3mx + 2y - 6 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3m;\,\,2} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:\left( {{m^2} + 2} \right)x + 2my - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{m^2} + 2;\,\,2m} \right)$.

Với $m = 0$ ta có: $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;\,\,2} \right)$, $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;\,\,0} \right)$, khi đó hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ không song song với nhau. Vậy $m = 0$ không thỏa mãn.

Với $m \ne 0$, ${d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2} \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 2}}{{3m}} = \frac{{2m}}{2} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 6}}$$\Leftrightarrow m = \pm 1$.

Để tạo đề kiểm tra gồm 5 câu hỏi sao cho có đủ ba loại câu hỏi và có đúng 2 câu hỏi dễ sẽ có các phương án sau:

- Phương án 1: Đề gồm 2 câu hỏi dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó có $C_{10}^2.C_6^2.C_4^1 = 2700$ đề.

- Phương án 2: Đề gồm $2$ câu hỏi dễ, $1$ câu trung bình và $2$ câu khó có $C_{10}^2.C_6^1.C_4^2 = 1620$ đề.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có $2700 + 1620 = \,4\,\,320$ đề.

Ta có: $T = C_4^0 + 2C_4^1 + 4C_4^2 + 8C_4^3 + 16C_4^4$

$= C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.2 + C_4^2{.1.2^2} + C_4^3{.1.2^3} + C_4^4{.1.2^4}$

$= {\left( {1 + 2} \right)^4}$

$= {3^4}$

$= 81$.

a) Ta có: $2 + 2.5 - 2 = 10 \ne 0 \Rightarrow M \notin \Delta$.

Đường thẳng $d$ qua $M$ và vuông góc $\Delta$ có dạng: $2x - y + m = 0$.

Do $M\left( {2;5} \right) \in d \Rightarrow 4 - 5 + m = 0 \Rightarrow m = 1$.

Phương trình $d:2x - y - 1 = 0$.

Gọi giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$và $d$ là $H$. Tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x + 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5}} \right)$.

Vì $M$ và $M'$ đối xứng qua $H$ nên $H$ là trung điểm của $MM'$.

$\left. \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \frac{8}{5} - 2 = - \frac{2}{5}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \frac{6}{5} - 5 = - \frac{{19}}{5}\end{array} \right\} \Rightarrow M'\left( { - \frac{2}{5}; - \frac{{19}}{5}} \right)$.

b) Cho $x = 0 \Rightarrow 0 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow I\left( {0;1} \right) \in \Delta$;

Cho $x = 1 \Rightarrow 1 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \Rightarrow J\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in \Delta$.

Gọi $I'$ là điểm đối xứng của $I$ qua $M,\,\,J'$ là điểm đối xứng của $J$ qua $M$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_M} - {x_I} = 4 - 0 = 4\\{y_{I'}} = 2{y_M} - {y_I} = 10 - 1 = 9\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {4;9} \right)$;

$\left\{ \begin{array}{l}{x_{J'}} = 2{x_M} - {x_J} = 4 - 1 = 3\\{y_{J'}} = 2{y_M} - {y_J} = 10 - \frac{1}{2} = \frac{{19}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow J'\left( {3;\frac{{19}}{2}} \right)$.

Phương trình $\Delta ' \equiv$ phương trình $I'J':\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 9}}{{\frac{1}{2}}} \Rightarrow x + 2y - 22 = 0$.