Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: A

+ Nếu chọn cỡ áo 39 thì sẽ có 5 cách.

+ Nếu chọn cỡ áo 40 thì sẽ có 4 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có $5 + 4 = 9$ cách chọn mua áo.

Đáp án đúng là: D

Để chọn một hộp hình hộp chữ nhật và một hộp hình trụ, ta có:

+ Có 12 cách chọn hộp hình hộp chữ nhật;

+ Có 18 cách chọn hộp hình trụ.

Vậy theo quy tắc nhân, ta có $12.18 = 216$ cách.

Đáp án đúng là: A

+ Nếu đi bằng ô tô có 10 cách.

+ Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách.

+ Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách.

+ Nếu đi bằng máy bay có 2 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có $10 + 5 + 3 + 2 = 20$ cách chọn.

Đáp án đúng là: C

Việc chọn ba viên bi khác màu phải tiến hành ba hành động liên tiếp:

+) Chọn một bi đỏ trong 7 bi đỏ nên có 7 cách chọn.

+) Chọn một bi xanh trong 8 bi xanh nên có 8 cách chọn.

+) Chọn một bi vàng trong 5 bi vàng nên có 5 cách chọn.

Theo quy tắc nhân ta có: $7.8.5 = 280$ cách.

Đáp án đúng là: B

$A_7^3$ là kí hiệu của số các chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.

Đáp án đúng là: B

Mỗi cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ là một hoán vị của 10 phần tử nên có $10!$ cách.

Đáp án đúng là: A

Số cách cắm 3 bông hoa vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Suy ra có $A_5^3 = 60$ cách.

Đáp án đúng là: B

Ta thấy ở đây xếp các vị trí theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí một bạn.

Ta chọn cố định vị trí của $A$, sau đó xếp vị trí cho 7 bạn còn lại có $7!$ cách.

Vậy có $7! = 5\,\,040$cách.

Đáp án đúng là: C

Số cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ đá 5 quả 11 mét là số các chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử. Vậy có $A_{11}^5 = 55\,440$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$.

Đáp án đúng là: D

Số cách chọn 10 bông trong đó có đúng 3 bông đỏ là: $C_8^3.C_{11}^7 = 18\,\,480$.

Đáp án đúng là: B

Coi 2 bạn nam ngồi cạnh nhau là 1 phần tử, 2 bạn nữ ngồi cạnh nhau là 1 phần tử. Vậy có tất cả $2.2.2.C_4^2 = 48$ cách.

Đáp án đúng là: D

Có 4 bì thư khác nhau, chọn 2 bì thư có $C_4^2$ cách chọn.

Có 6 con tem khác nhau, chọn 2 con tem thì có $C_6^2$ cách chọn.

Dán 2 con tem lên 2 bì thư có $2!$ cách dán khác nhau.

Theo quy tắc nhân ta có $2!.C_4^2.C_6^2$ cách dán 2 con tem lên 2 bì thư.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$${\left( {3a + 2} \right)^4} = C_4^0.{\left( {3a} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3a} \right)^3}.2 + C_4^2.{\left( {3a} \right)^2}{.2^2} + C_4^3.\left( {3a} \right){.2^3} + C_4^4{.2^4}$$

$= 81{a^4} + 216{a^3} + 216{a^2} + 96a + 16$.

Vậy ba số hạng đầu của khai triển lần lượt là $81{a^4};\,\,216{a^3};\,\,216{a^2}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

${\left( {x - 2} \right)^5}$$= C_5^0.{x^5}.{\left( { - 2} \right)^0} + C_5^1.{x^4}.{\left( { - 2} \right)^1} + C_5^2.{x^3}.{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{x^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{x^1}.{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{x^0}.{\left( { - 2} \right)^5}$

Hệ số của ${x^3}$ trong khai triển của biểu thức ${\left( {x - 2} \right)^5}$ là $C_5^2.{\left( { - 2} \right)^2} = C_5^2{.2^2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$${\left( {3x + xy} \right)^4}$$

$$= C_4^0.{\left( {3x} \right)^4}.{\left( {xy} \right)^0} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.{\left( {xy} \right)^1} + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( {xy} \right)^2} + C_4^3.{\left( {3x} \right)^1}.{\left( {xy} \right)^3} + C_4^4.{\left( {3x} \right)^0}.{\left( {xy} \right)^4}$$

Khai triển ${\left( {3x + xy} \right)^4}$ có tất cả 5 số hạng nên số hạng đứng giữa là số hạng thứ 3: $C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( {xy} \right)^2} = C_4^2.9{x^4}.{y^2}$.

Vậy số hạng đứng giữa cần tìm là $C_4^2.9{x^4}.{y^2}$.

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta có vectơ $\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + \left( { - 5} \right)\overrightarrow j$. Vậy $\overrightarrow b = \left( {3; - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( {3;\,\,4} \right)$và $B\left( {3;\,\,7} \right)$.

Khi đó, tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 3;7 - 4} \right) = \left( {0;\,\,3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

$ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 2 = 5 - 0\\{y_D} - 3 = - 4 - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3\\{y_D} = - 5\end{array} \right.$$\Rightarrow D\left( {3; - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

+ Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục hoành là $H\left( {1;\,0} \right)$. Đáp án A đúng.

+ Điểm đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ là $P\left( { - 1;\,3} \right)$. Đáp án B sai.

+ Điểm đối xứng với $M$ qua trục hoành là $N\left( {1;3} \right)$. Đáp án C đúng.

+ Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục tung là $K\left( {0; - 3} \right)$. Đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: C

Giả sử $\overrightarrow a = \left( {x;y} \right)$$\Rightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} = \overrightarrow a .\overrightarrow a = {x^2} + {y^2}$ và $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

Đáp án A sai vì $\sqrt {{x^2} + {y^2}} \ne \left( {x;y} \right)$

Đáp án B sai vì $\overrightarrow a \ne \pm \left| {\overrightarrow a } \right|$

Đáp án C đúng vì $\sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$

Đáp án D sai vì $\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}}$.

Đáp án đúng là: A

Cho các vectơ $\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)$; $\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)$ nên ta có: $\overrightarrow u = 3\overrightarrow v$.

Vậy $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương cùng hướng.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $FE = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 9 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = 5\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 8$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)$, $G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 5} \right) + 0}}{3}\\0 = \frac{{1 + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g = - 2\\c = 2\end{array} \right.$.

Vậy $C\left( {0;\,\,2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 6 - 2t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 2} \right)$, do đó nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $3.0 + 5.\frac{7}{5} - 7 = 0$. Do đó $D\left( {0;\,\,\frac{7}{5}} \right) \in \Delta$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( { - 4;\,\,2} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 5} \right)$ làm vectơ chỉ phương là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 2t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left( {1;\,\, - 5} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( { - 2;\,\,1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là $- 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 5} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,2x - y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d:x + 2y - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;\,\,2} \right)$, do đó nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)$, suy ra loại đáp án B và D.

Ở đáp án C, ta thấy khi $t = 0$ thì $x = 2$ và $y = 1$, thay vào phương trình $d$ ta thấy không thỏa mãn nên loại đáp án C, vậy chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 6t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {4;\,\, - 6} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = 4 + 3t'\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;\,\,3} \right)$.

Nhận thấy $\overrightarrow {{u_1}} = - 2\overrightarrow {{u_2}}$. Do đó hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lại có $A\left( {1;\,\,4} \right)$ thuộc ${\Delta _2}$ nhưng không thuộc ${\Delta _1}$. Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Đáp án đúng là: B

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.

Đường thẳng $a:2x - y - 10 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)$;

Đường thẳng $b:x - 3y - 9 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)$.

Ta có: $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó, $\varphi = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\Delta :\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$$\Leftrightarrow 24\left( {\frac{x}{6} + \frac{y}{8}} \right) = 24 \Leftrightarrow 4x + 3y - 24 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ đến $\Delta$ là $d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 24} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{24}}{5}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A\left( {2;\,\,1} \right)$ và song song với đường thẳng $\Delta$.

Khi đó, $\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {2;\,\,3} \right)$.

Phương trình đường thẳng $d$ là: $2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,2x + 3y - 7 = 0$.

Ta thấy với bài toán này nếu làm trực tiếp thì sẽ khá khó, nên ta sẽ làm theo cách gián tiếp. Tìm bài toán đối đó là tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có một môn hết sách.

+ TH1: Môn Toán hết sách:

Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách.

Số cách chọn 1 cuốn trong 6 cuốn còn lại là 6 cách.

Vậy có 6 cách chọn sách.

Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là $A_5^5 = 120$ cách.

Vậy có $6.120 = 720$ cách.

+ TH2: Môn Lí hết sách:

Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách.

Số cách chọn 2 cuốn trong 7 cuốn còn lại là $C_7^2$ cách.

Vậy có 21 cách chọn sách.

Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là $A_5^5 = 120$ cách.

Vậy có $21.120 = 2\,\,520$ cách.

+ TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp 2 thì có 2 520 cách.

Số cách chọn 5 cuốn bất kì trong 10 cuốn và tặng cho 5 em là $C_{10}^5.A_5^5 = 30\,240$ cách.

Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là: $30\,240 - 720 - 2\,520 - 2\,520 = 24\,480$ cách.

Ta có: $A_n^2 - C_n^2 = 105$ (điều kiện $n \ge 2$)

$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105$$

$$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105$$

$$\Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105$$

$$\Leftrightarrow {n^2} - n - 210 = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 14\\n = 15\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$$

Thay $n = 15$ vào biểu thức, ta được:

$${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{{15 - 7}}{2}}} = {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^3}.\left( { - \frac{1}{x}} \right) + C_4^2.{x^2}.{\left( { - \frac{1}{x}} \right)^2} + C_4^3.x.{\left( { - \frac{1}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( { - \frac{1}{x}} \right)^4}$$

Do đó, ${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = {x^4} - 4{x^2} + 6 - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}$.

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển của biểu thức đã cho là 6.

Giả sử đường thẳng $d$ có dạng: $y = ax + b\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,d:ax - y + b = 0$.

Ta có: $d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.\left( { - 1} \right) - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 8$. Suy ra $\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \sqrt {{a^2} + 1}$.

Lại có: $d\left( {B,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.0 - 2 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 2$. Suy ra $\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{a^2} + 1}$ (*).

Do đó, $\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }}$$\Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = \sqrt 8 \left| {b - 2} \right|$

$\Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = 2\sqrt 2 \left| {b - 2} \right|$

$\Leftrightarrow \left| { - a + b - 1} \right| = 2\left| {b - 2} \right|$

Trường hợp 1: $- a + b - 1 = 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a + b - 3 = 0$$\Leftrightarrow a = 3 - b$.

Thay $a = 3 - b$ vào (*) ta được: $\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3 - b} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} - 6b + 10}$

$\Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {{b^2} - 6b + 10} \right)$$\Leftrightarrow {b^2} - 8b + 16 = 0 \Leftrightarrow b = 4$.

Suy ra $a = 3 - 4 = - 1$.

Vậy $d: - x - y + 4 = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,d:x + y - 4 = 0$.

Trường hợp 2: $- a + b - 1 = - 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0$$\Leftrightarrow a = 3b - 5$.

Thay $a = 3b - 5$ vào (*) ta được: $\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3b - 5} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {9{b^2} - 30b + 26}$

$\Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {9{b^2} - 30b + 26} \right)$$\Leftrightarrow 17{b^2} - 56b + 48 = 0$ (vô nghiệm).

Vậy phương trình đường thẳng $d$ cần lập có dạng: $x + y - 4 = 0$.