Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: A

Vì công việc được tiến hành theo hai công đoạn $A$ và $B$ nên theo quy tắc nhân ta có công việc có thể được thực hiện bằng $m.n$ cách.

Đáp án đúng là: B

Để đi từ $A$ đến $C$ (qua $B$)

Bước 1: Đi từ $A$ đến $B$ có 3 cách chọn con đường.

Bước 2: Đi từ $B$ đến $C$ có 4 cách chọn con đường.

Do đó theo quy tắc nhân có 3 . 4 = 12 cách chọn đường từ $A$ đến $C$ (qua $B$).

Đáp án đúng là: D

Chọn một học sinh nữ có 23 cách;

Chọn một học sinh nam có 17 cách.

Theo quy tắc cộng có: $23 + 17 = 40$ cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi.

Đáp án đúng là: B

Muốn lấy được hai viên bi khác màu từ trong túi đã cho xảy ra các trường hợp sau:

+) Lấy một bi đỏ và một bi xanh: có 7 cách để lấy một bi đỏ và 8 cách để lấy một bi xanh. Do đó có $7.8 = 56$ cách lấy.

+) Lấy một bi đỏ và một bi vàng: có 7 cách lấy một bi đỏ và 5 cách lấy một bi vàng. Do đó co $7.5 = 35$ cách lấy.

+) Lấy một bi xanh và một bi vàng: có 8 cách để lấy một bi xanh và 5 cách để lấy một bi vàng. Do đó có $8.5 = 40$ cách để lấy.

Áp dụng quy tắc cộng cho 3 trường hợp trên, ta có $56 + 35 + 40 = 131$ cách.

Đáp án đúng là: C

Một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ là một cách sắp xếp có thứ tự $k$ phần tử từ một tập hợp $n$ phần tử (với $k,\,n$ là các số tự nhiên, $1 \le k \le n$).

Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu là $A_n^k$ và được tính bằng công thức: $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}$.

Đáp án đúng là: B

Xếp bạn Chi ngồi giữa có 1 cách.

Số cách xếp bốn bạn An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại, mỗi cách xếp là một hoán vị của 4 phần tử nên có số cách xếp là: $4! = 24$ cách.

Vậy có: $1.24 = 24$ cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: D

Mỗi cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có $A_6^4 = 360$ cách.

Đáp án đúng là: C

Vì hai học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp nên mỗi cặp ghế đối diện nhau sẽ được xếp bởi một học sinh lớp A và một học sinh lớp B.

Số cách xếp 5 học sinh lớp A vào 5 cặp ghế là $5!$ cách. Số cách xếp 5 học sinh lớp B vào 5 cặp ghế là $5!$ cách. Số cách xếp chỗ ở mỗi cặp ghế là 2 cách.

Theo quy tắc nhân thì có ${\left( {5!} \right)^2}{.2^5} = 460\,\,800$ cách.

Đáp án đúng là: D

Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm $\left( {A,\,B} \right)$ cho ta một vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ và ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho. Suy ra có $A_6^2 = 30$ cách.

Đáp án đúng là: A

Lấy 2 phần tử trong 20 phần tử có $C_{20}^2$ cách.

Vậy tập hợp $A$ có $C_{20}^2$ tập con có 2 phần tử.

Đáp án đúng là: A

Mỗi nhóm học sinh 3 người được chọn (không phân biệt nam, nữ - công việc) là một tổ hợp chập 3 của 40 (học sinh).

Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh là $C_{40}^3 = \frac{{40!}}{{37!.3!}} = 9880.$

Đáp án đúng là: C

Đa giác lồi 10 cạnh thì có 10 đỉnh. Lấy hai điểm bất kỳ trong 10 đỉnh của đa giác lồi ta được số đoạn thẳng gồm cạnh và đường chéo của đa giác lồi.

Vậy số đường chéo cần tìm là $C_{10}^2 - 10 = \frac{{10!}}{{8!.2!}} - 10 = 35.$

Đáp án đúng là: B

Số cách chọn ra nhóm có 5 học sinh từ 10 học sinh là: $C_{10}^5$ cách.

Số cách chọn ra nhóm 3 học sinh từ 5 học sinh còn lại là: $C_5^3$ cách.

Số cách chọn ra nhóm 2 học sinh từ 2 học sinh còn lại là: $C_2^2$ cách.

Vậy có $C_{10}^5.C_5^3.C_2^2 = 2\,520$ cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Tổng số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi hạng tử khi khai triển ${\left( {a + b} \right)^5}$ bằng 5.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left( {x + 1} \right)^5} = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1$.

Hệ số của ${x^2}$ là 10.

Đáp án đúng là: D

$$T = C_4^0 + \frac{1}{2}C_4^1 + \frac{1}{4}C_4^2 + \frac{1}{8}C_4^3 + \frac{1}{{16}}C_4^4$$

$$= C_4^0{.1^4}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} + C_4^1{.1^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} + C_4^2{.1^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + C_4^3.1.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}$$

$= {\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{{81}}{{16}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow u = \,2\overrightarrow i + 13\overrightarrow j$, khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $\overrightarrow u = \left( {2;\,\,13} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {NM} = \left( { - 1 - 3;\,2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4;\,\,3} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Gọi $M\left( {x;\,\,y} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( {x + 1;\,y - 2} \right)$. Vì $\overrightarrow {AM} = \left( {5;\,\, - 10} \right)$.

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 5\\y - 2 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 8\end{array} \right.$. Vậy $M\left( {4;\,\, - 8} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Tứ giác $BCAD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 - 5 = - 2 - {x_D}\\1 + 4 = 0 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 5\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3;7} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {5;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {3 + 5;\,7 + 4} \right) = \left( {8;11} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $FE = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2}} = 2\sqrt {10}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $E$ đối xứng với $C$ qua $B \Rightarrow$$B$ là trung điểm đoạn thẳng $EC$

Do đó, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}5 = \frac{{{x_E} + 3}}{2}\\ - 4 = \frac{{{y_E} + 7}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 7\\{y_E} = - 15\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {7; - 15} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)$, $G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{1 + 5 + 0}}{3}\\0 = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g = 2\\c = 4\end{array} \right.$.

Vậy $C\left( {0;\,\,4} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $AB$ với $A\left( {2;3} \right)$ và $B\left( {3;5} \right)$ có một vectơ chỉ phương là:

$\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {3 - 2;5 - 3} \right) = \left( {1;2} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Xét điểm $D\left( { - 1; - 2} \right)$ ta có: $4.\left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right) + 2 = 0$

Do đó, điểm $D\left( { - 1; - 2} \right)$ thuộc đường thẳng $d:4x - y + 2 = 0$ hay đường thẳng $d:4x - y + 2 = 0$ đi qua điểm $D\left( { - 1; - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $C\left( { - 1;2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2 - t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {1;3} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 5 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $CD$ đi qua hai điểm $C\left( {2;4} \right)$ và $D\left( { - 5;3} \right)$ nên nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {CD} = \left( { - 5 - 2;3 - 4} \right) = \left( { - 7; - 1} \right)$.

Do đó, $CD$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 7} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $CD$ là:

$1.\left( {x - 2} \right) - 7\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 7y + 26 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Cho hai đường thẳng ${d_1}:ax + by + c = 0$ và ${d_2}:mx + ny + p = 0$, biết ${d_1} \bot {d_2}$ hay ${d_1}$ cắt ${d_2}$ tại 1 điểm, do đó, hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.$ có duy nhất một nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng ${d_1}:ax + by + c = 0$ và ${d_2}:mx + ny + p = 0$ được xác định bởi công thức:

$\cos \alpha = \frac{{\left| {am + bn} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $B\left( {1;2} \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 2;2 - 4} \right) = \left( { - 1; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là:

$2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 0$.

Khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $AB$ là:

$d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {2.3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Giao điểm của hai đường thẳng ${d_1}:5x - y + 4 = 0$ và ${d_2}:x - y + 3 = 0$ có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x - y + 4 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = - 4\\x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{4}\\y = \frac{{11}}{4}\end{array} \right.$.

Vậy giao điểm của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là $M\left( { - \frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)$.

Gọi số tạo thành có dạng $x = \overline {abc}$ với $a,\,b,\,c$ đôi một khác nhau và lấy từ $A$.

Chọn một vị trí $a,\,b$ hoặc $c$ cho số $3$ có $3$ cách chọn.

Chọn hai chữ số khác $3$ từ $A$ và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của $x$ có $A_4^2$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân có: $3.A_4^2 = 36$ cách chọn.

Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có 36 số cần tìm.

Ta có: $3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2$ (điều kiện $n \ge 2,n \in \mathbb{N}$)

$$\Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2\left( {n - 1} \right)!}} + 2n = 4.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}$$

$$\Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + 4n = 8.\frac{{n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}$$

$$\Leftrightarrow 3n.\left( {n + 1} \right) + 4n = 8n.\left( {n - 1} \right)$$

$$\Leftrightarrow 5{n^2} - 15n = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 3\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.$$

Với $n = 3$, ta có:

$${\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}} = {\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}$$

$$= {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4} + 4x.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + 6{x^2}.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4{x^3}.\left( {\frac{1}{x}} \right) + {x^4}$$

$= \frac{1}{{{x^4}}} + 4.\frac{1}{{{x^2}}} + 6 + 4{x^2} + {x^4}$.

Vậy số hạng chứa ${x^2}$ là: $4{x^2}$.

Vì $BC$ vuông góc với $\left( {{d_1}} \right)$ nên đường thẳng $BC$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {3;2} \right)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là: $3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0$.

Điểm $A$ là giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ nên ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 12 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;2} \right)$.

Đường thẳng $AC$ nhận vectơ $\overrightarrow {AC} = \left( {4 + 3; - 1 - 2} \right) = \left( {7; - 3} \right)$ là một vectơ chỉ phương, do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {3;7} \right)$.

Phương trình đường thẳng $AC$ là:

$3\left( {x + 3} \right) + 7\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y - 5 = 0$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó điểm $M$ là giao điểm của ${d_2}$ và $BC$

Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 10 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {6; - 4} \right)$.

Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2.6 - 4 = 8\\{y_B} = 2.( - 4) - ( - 1) = - 7\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {8; - 7} \right)$.

Đường thẳng $AB$ nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {11; - 9} \right)$ là vectơ chỉ phương và nhận vectơ $\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {9;11} \right)$ là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình của đường thẳng $AB$ là:

$9\left( {x - 8} \right) + 11\left( {y + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 9x + 11y + 5 = 0$.