Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: C

Vì hai phương án là rời nhau nên theo quy tắc cộng ta có công việc có thể thực hiện bằng $m + n$ cách.

Đáp án đúng là: D

Có thể coi việc tung một con xúc xắc hai lần liên tiếp là một công việc gồm hai công đoạn, mỗi công đoạn là một lần tung. Mỗi lần tung đều có 6 khả năng khác nhau xảy ra. Do đó, theo quy tắc nhân ta có 6 . 6 = 36 kết quả khác nhau có thể xảy ra.

Đáp án đúng là: B

Chọn một học sinh nữ có 5 cách chọn.

Chọn một học sinh nam có 6 cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng ta có: chọn một học sinh đi trực nhật có $5 + 6 = 11$ cách.

Đáp án đúng là: D

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là: $\overline {abc} ,{\rm{ }}a \ne 0$, khi đó:

Chọn $c$ có 3 cách (vì là số chẵn nên $c$ có thể chọn một trong các số $2;4;6$)

Chọn $a$ có 6 cách (vì $a$ có thể chọn một trong các số $2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7$)

Chọn $b$ có 6 cách (vì $b$ có thể chọn một trong các số $2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7$)

Vậy có: $3.6.6 = 108$ số.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $A_5^2$ là kí hiệu của số các chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử.

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách chọn 3 người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên là một chỉnh hợp chập 3 của 12 phần tử $A_{12}^3 = 1320$.

Đáp án đúng là: B

Số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là $5!$.

Đáp án đúng là: D

Số các số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $A$ là $A_5^3 = 60$ số.

Vậy có 60 số cần tìm.

Đáp án đúng là: B

Ta có $6! = 720 \Rightarrow {P_6} = 720$ nên $n = 6.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}$, do đó đáp án B sai.

Đáp án đúng là: A

Chọn 8 em học sinh từ một tổ có 10 em học sinh có $C_{10}^8 = 45$ cách chọn.

Đáp án đúng là: B

Chọn ra 3 người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn 1 nhà vật lý nam, 2 nhà toán học nữ có $C_4^1.C_3^2 = 12$ cách chọn.

Trường hợp 2: Chọn 1 nhà vật lý nam, 1 nhà toán học nữ và 1 nhà toán học nam có $C_4^1.C_3^1.C_5^1 = 60$ cách chọn.

Trường hợp 3: Chọn 2 nhà vật lý nam, 1 nhà toán học nữ có $C_4^2.C_3^1 = 18$ cách chọn.

Vậy, có $12 + 60 + 18 = 90$ cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Số tam giác có thể tạo ra từ $n$ điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: $C_n^3\left( {n \ge 3} \right)$.

Số đoạn thẳng có thể tạo ra từ $n$ điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: $C_n^2$.

Vì số tam giác gấp đôi số đoạn thẳng được tạo ra nên ta có:

$C_n^3 = 2C_n^2\left( {n \in \mathbb{N},n \ge 3} \right)$

$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}$$

$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$

$\Rightarrow n - 2 = 6$ (do $n \ge 3$)

$\Leftrightarrow n = 8$ (thỏa mãn điều kiện).

Đáp án đúng là: B

${\left( {1 - 3x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1{\left( { - 3x} \right)^1} + C_5^2{\left( { - 3x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - 3x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - 3x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 3x} \right)^5}$$= 1 - 15x + 90{x^2} - 270{x^3} + 405{x^4} - 243{x^5}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có

${\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4} = C_4^0{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}{\left( {{x^3}} \right)^0} + C_4^1{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}{\left( {{x^3}} \right)^1} + C_4^2{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2}{\left( {{x^3}} \right)^2} + C_4^3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^1}{\left( {{x^3}} \right)^3} + C_4^4{\left( {\frac{1}{x}} \right)^0}{\left( {{x^3}} \right)^4}$$= \frac{1}{{{x^4}}} + 4 + 6{x^4} + 4{x^8} + {x^{12}}$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển của biểu thức ${\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}$ là 4.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $n \in \mathbb{N},n \ge 3$

$A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 48$

$\Leftrightarrow$$n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2.n\left( {n - 1} \right) = 48$

$\Leftrightarrow$${n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4$

Ta có

${\left( {1 - 3x} \right)^4} = C_4^0{.1^4}.{\left( { - 3x} \right)^0} + C_4^1{.1^3}.{\left( { - 3x} \right)^1} + C_4^2{.1^2}.{\left( { - 3x} \right)^2} + C_4^3{.1^1}.{\left( { - 3x} \right)^3} + C_4^4{.1^0}.{\left( { - 3x} \right)^4}$

$= 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}$

Vậy hệ số của ${x^3}$ trong khai triển biểu thức ${\left( {1 - 3x} \right)^4}$ là $- 108$ và $- 108 \in \left( { - \infty ;50} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow a = \left( { - 4;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow a = - 4\overrightarrow i + 0\overrightarrow j = - 4\overrightarrow i$.

Đáp án đúng là: C

Ta có vectơ đối của $\overrightarrow {AB}$ là $\overrightarrow {BA} = \left( {1 - 0;0 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {1;2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 = 3\\2n + 1 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = - \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B$ là điểm đối xứng của $A$ qua trục hoành $\Rightarrow B\left( {2;1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Trung điểm của đoạn thẳng AB là

$I = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{1 + 0}}{2};\frac{{0 + \left( { - 2} \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right),\,\overrightarrow {CD} = \left( { - 8; - 6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} = - 2\overrightarrow {AB}$.

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD}$ cùng phương và ngược hướng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 6} \right) = 10$.

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó, $\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $FE = \sqrt {{{\left( {2 - 5} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {58}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow m = \frac{1}{3}\overrightarrow u - \overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow t$$= \frac{1}{3}\left( { - 3;\,\, - 3} \right) - \left( {5;\, - 2} \right) + \frac{1}{2}\left( { - 4;\,\,1} \right) = \left( { - 8;\,\,\frac{3}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d: - y + 5x + 5 = 0\,\,{\rm{hay}}\,\,d:5x - y + 5 = 0$ là: $\overrightarrow n = \left( {5; - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $\Delta$ nhận vectơ $\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm $C\left( { - 2;5} \right)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $C\left( {2;0} \right)$ và nhận vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)$. Phương trình tổng quát của $d$ là $1\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $C\left( {2; - 1} \right)$ và $B\left( { - 3;5} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {CB} = \left( { - 3 - 2;5 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 5;6} \right)$, do đó, $d$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n = \left( {6;5} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:

$6\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 4t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$ đi qua điểm $A\left( {5;1} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 4;2} \right)$, do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;4} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:

$2\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 14 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: hai đường thẳng ${d_1}:ax + by + c = 0$ và ${d_2}:mx + ny + p = 0$, khi hệ $\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.$ có vô số nghiệm thì ${d_1}$ và ${d_2}$ trùng nhau.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính khoảng cách từ một điểm $A\left( {3; - 4} \right)$ tới một đường thẳng $\Delta :dx + ey + f = 0$ là: $d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3d - 4e + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 2.\left( { - 1} \right) + 3.4 = 10$;

$\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$;

$\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {17}$.

Công thức tính góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}$ và ${d_2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}$là: $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {17} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {221} }}$.

Đáp án đúng là: C

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 1 = 0\\4x + 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{{13}}\\y = - \frac{1}{{13}}\end{array} \right.$.

Hệ phương trình trên có duy nhất một nghiệm là cặp số $\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)$, do đó, ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ là $\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

${d_1}:2x - y + 12 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right)$.

${d_2}:4mx + my - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4m;m} \right)$.

Để ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau thì:

$\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 1} \right).m = 0 \Leftrightarrow 8m - m = 0 \Leftrightarrow 7m = 0 \Leftrightarrow m = 0$.

Vậy $m = 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.

- Số cách chọn 1 nữ: 5 cách

- Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^2$

- Số cách chọn 2 nam còn lại: $C_{13}^2$

Suy ra có $5A_{15}^2.C_{13}^2$ cách chọn cho trường hợp này.

+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.

- Số cách chọn 2 nữ: $C_5^2$ cách.

- Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^2$cách.

- Số cách chọn 1 nam còn lại: 13 cách.

Suy ra có $13A_{15}^2.C_5^2$ cách chọn cho trường hợp này.

+ Trường hợp 3: Chọn 3 nữ và 2 nam.

- Số cách chọn 3 nữ : $C_5^3$ cách.

- Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^2$ cách.

Suy ra có $A_{15}^2.C_5^3$ cách chọn cho trường hợp 3.

Vậy có $5A_{15}^2.C_{13}^2 + 13A_{15}^2.C_5^2 + A_{15}^2.C_5^3 = 111\,\,300$ cách.

Ta có: ${\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)^5} - {\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)^5}$

$= \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^5} + 5.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^4}.\sqrt 5 + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^3}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 5.\sqrt 7 .{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5}} \right]$

$- \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^5} - 5.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^4}.\sqrt 5 + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^3}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 5.\sqrt 7 .{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5}} \right]$

$= 10.{\left( {\sqrt 7 } \right)^4}.\sqrt 5 + 20.{\left( {\sqrt 7 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 5 } \right)^3} + 2.{\left( {\sqrt 5 } \right)^5}$

$= 490\sqrt 5 + 700\sqrt 5 + 50\sqrt 5 = 1240\sqrt 5$.

Ta có $A = AB \cap AC \Rightarrow A\left( {0;3} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {1; - 2} \right)$.

Ta có $BH \bot AC \Rightarrow BH:7x - 4y + d = 0$

Mà $H\left( {1;\,\,1} \right) \in BH \Rightarrow d = - 3$, do đó $BH:7x - 4y - 3 = 0$.

Có $B = AB \cap BH \Rightarrow B\left( { - 5; - \frac{{19}}{2}} \right)$.

Đường thẳng $BC$ nhận $\overrightarrow {AH} = \left( {1; - 2} \right)$ là VTPT và đi qua $B\left( { - 5; - \frac{{19}}{2}} \right)$.

Suy ra phương trình $BC:\left( {x + 5} \right) - 2\left( {y + \frac{{19}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 14 = 0$.