Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: C

Có tất cả $31 + 16 = 47$ cách chọn một học sinh làm lớp trưởng của lớp.

Đáp án đúng là: C

Để chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây có hai công đoạn:

Công đoạn thứ nhất: Chọn mặt đồng hồ có 3 cách chọn.

Công đoạn thứ hai: Chọn dây có 4 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân ta có $3.4 = 12$ cách.

Đáp án đúng là: B

Từ sơ đồ hình cây ta thấy có 4 cách chọn phương tiện.

Đáp án đúng là: D

Từ hình vẽ ta thấy có 4 con đường đi từ $A$ đến $B$, có 2 con đường đi từ $B$ đến $C$ và có 3 con đường đi từ $C$ đến $D$.

Vậy theo quy tắc nhân có $4\,\,.\,\,3\,\,.\,\,2 = 24$ cách đi từ $A$ đến $D$ mà qua $B$ và $C$ chỉ một lần.

Đáp án đúng là: B

Tập $A$ có $n$ phần tử $\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)$, $k$ là số nguyên thỏa mãn $1 \le k \le n$. Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử trên là: $n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Số các hoán vị của $n$ phần tử trong $A$ là: $n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...2.1$.

Đáp án đúng là: A

Tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử $\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$. Mỗi hoán vị của $n$ phần tử đó là một kết quả của sự sắp xếp thứ tự $n$ phần tử của tập hợp $A$.

Đáp án đúng là: B

Xếp 3 bạn nữ trước có $3!$ cách xếp.

Xếp 4 bạn nam vào 4 khoảng trống còn lại có $4!$ cách xếp.

Vậy có $3!.4! = 144$ cách xếp để các bạn nữ không ngồi cạnh nhau.

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách chọn ra 2 học sinh từ một tổ có 10 học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử.

Do đó số cách chọn là $A_{10}^2$ cách.

Đáp án đúng là: B

Cách tìm số giao điểm của 5 đường tròn phân biệt được chia làm 2 công đoạn:

- Công đoạn thứ 1: Chọn 2 đường tròn trong 5 đường tròn có $C_5^2$ cách.

- Công đoạn thứ 2: Ứng với 2 đường tròn có tối đa 2 giao điểm.

Vậy số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là $2.C_5^2 = 20$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$, do đó đáp án B sai.

Đáp án đúng là: D

Chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ trong 13 học sinh tùy ý có $C_{13}^3$ cách.

Chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ trong 7 học sinh nữ có $C_7^3$ cách.

Vậy chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam có $C_{13}^3 - C_7^3 = 251$.

Đáp án đúng là: D

Đa giác lồi $n$ đỉnh thì có $n$ cạnh.

Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp đỉnh trong $n$ đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.

Do đó để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh.

Bằng cách lấy ra 2 điểm bất kỳ trong $n$ điểm ta được số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập 2 của $n$ phần tử.

Như vậy, tổng số đoạn thẳng là $C_n^2$.

Số cạnh của đa giác lồi là $n$.

Suy ra số đường chéo của đa giác đều $n$ đỉnh là

$$C_n^2 - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}$$

Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 135\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n - 270 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 18$.

Đáp án đúng là: A

Trong khai triển nhị thức Newton ${\left( {a + b} \right)^n}$ có $n + 1$ số hạng

Vậy trong khai triển của ${\left( {2x - 3} \right)^5}$ có $5 + 1 = 6$ số hạng.

Đáp án đúng là: C

Ta có

${\left( {1 - 2x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1{\left( { - 2x} \right)^1} + C_5^2{\left( { - 2x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - 2x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - 2x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 2x} \right)^5}$$= 1 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} + 80{x^4} - 32{x^5}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$${\left( {\frac{x}{2} + \frac{4}{x}} \right)^4} = C_4^0.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^4} + C_4^1.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^3}.\left( {\frac{4}{x}} \right) + C_4^2.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}.{\left( {\frac{4}{x}} \right)^2} + C_4^3.\left( {\frac{x}{2}} \right).{\left( {\frac{4}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{4}{x}} \right)^4}$$

$= \frac{{{x^4}}}{{16}} + 2{x^2} + 24 + \frac{{128}}{{{x^2}}} + \frac{{256}}{{{x^4}}}$.

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển đã cho là 24.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow v = - 7\overrightarrow i + 8\overrightarrow j$, khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $\overrightarrow v = \left( { - 7;\,8} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {BA} = \left( {2 - \left( { - 5} \right);\, - 3 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( {7;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Từ gốc tọa độ $O$, dựng vectơ $\overrightarrow {OA}$ sao cho $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a$.

Ta xác định được tọa độ điểm $A$ là $\left( {3;\,\,2} \right)$. Do đó, $\overrightarrow {OA} = \left( {3;\,\,2} \right)$. Vậy $\overrightarrow a = \left( {3;\,\,2} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $D\left( {x;\,\,y} \right)$. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\,1} \right),\,\,\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x;\,\,2 - y} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = - 1 - x\\1 = 2 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 1\end{array} \right.$.

Vậy $D\left( { - 3;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $AB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 1} \right)}^2}} = 5$.

Đáp án đúng là: C

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 - \left( { - 3} \right) = - 6\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3 \cdot 1 - 1 - 5 = - 3\end{array} \right.$. Vậy $C\left( { - 6;\, - 3} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Vì điểm $M$ nằm trên tia $Ox$ nên gọi tọa độ điểm $M$ là $M\left( {x;\,\,0} \right)$.

Khi đó, $\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,2} \right),\,\,\overrightarrow {MB} = \left( {5 - x;\, - 2} \right)$.

Ta có: $\widehat {AMB} = 90^\circ$ $\Leftrightarrow MA \bot MB \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {5 - x} \right) + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 1\end{array} \right.$.

Vậy $M\left( {1;\,\,0} \right)$ hoặc $M\left( {6;\,\,0} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Cách 1:

$\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)$$= {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left( {\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} } \right)^2} + 2\left( {1 \cdot 2 + \left( { - 3} \right) \cdot 5} \right) = - 16$.

Cách 2: $2\overrightarrow b = \left( {2 \cdot 2;\,2 \cdot 5} \right) = \left( {4;\,10} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( {1 + 4;\, - 3 + 10} \right) = \left( {5;\,7} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = 1 \cdot 5 + \left( { - 3} \right) \cdot 7 = 5 - 21 = - 16$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a - 5\overrightarrow b = 2\left( {3;\,\,7} \right) - 5\left( { - 2;\,\,1} \right) = \left( {16;\,\,9} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d:x - 3y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)$.

Do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Xét điểm $D\left( {4; - 5} \right)$ ta có: $2.4 - ( - 5) + 3 = 16 \ne 0$

Do đó, điểm $D\left( {4; - 5} \right)$ không thuộc đường thẳng $d:2x - y + 3 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)$ và đi qua điểm $B\left( {0;3} \right)$, phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( {2;5} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {0;1} \right)$ có phương trình tổng quát là: $0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,y - 5 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d:4x - y + 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {4; - 1} \right)$, do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;4} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 1;1} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $d:4x - y + 5 = 0$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Do đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_2}$.

Mà vectơ pháp tuyến của ${d_1}$ cũng vuông góc với vectơ chỉ phương của ${d_1}$.

Do đó, vectơ pháp tuyến của ${d_1}$ song song hoặc trùng với vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_2}$.

Vậy ${d_1}$ song song hoặc trùng với ${d_2}$.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính khoảng cách từ một điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ tới một đường thẳng $\Delta :dx + ey + f = 0$ là: $d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {d{x_A} + e{y_A} + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}$.

Đáp án đúng là: D

Công thức tính góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}$ và ${d_2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}$là: $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.( - 5) + 5.3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}}$.

Vậy ${d_1}$ vuông góc với ${d_2}$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $\Delta :4x - 3y + 6$ có vectơ pháp tuyến có $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4; - 3} \right)$ và đường thẳng $d:x - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;0} \right)$.

Ta có: $\cos \alpha = \frac{{\left| {4.1 + ( - 3).0} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{4}{5} \Rightarrow \alpha \approx 37^\circ$.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abcd}$ với $a,b,c,d \in A = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}$.

Vì $\overline {abcd}$ là số chẵn $\Rightarrow \,\,d \in \left\{ {0;\,\,2;\,\,4} \right\}$

+ Trường hợp 1: Nếu $d = 0$ thì $d$ có một cách chọn

$a$ có 5 cách chọn (vì $a$ được chọn từ một trong các số $1;2;3;4;5$).

$b$ có 4 cách chọn (vì $a \ne b$ nên $b$ được chọn từ một trong các số $1;2;3;4;5$ nhưng bỏ đi số mà $a$ đã chọn).

$c$ có 3 cách chọn (vì $a \ne c;\,b \ne c$ nên $c$ được chọn từ một trong các số $1;2;3;4;5$ nhưng bỏ đi số mà $a,b$ đã chọn).

Như vậy, ta có $5.4.3.1 = 60$ số.

+ Trường hợp 2: Nếu $d \ne 0$ thì $d$ có $2$ cách chọn là số 2 hoặc 4

$a$ có 4 cách chọn (vì $a$ được chọn từ một trong các số $1;2;3;4;5$ bỏ đi số mà $d$ đã chọn).

$b$ có 4 cách chọn (vì $a \ne b;b \ne d$ nên $b$ được chọn từ một trong các số $0;1;2;3;4;5$ nhưng bỏ đi số mà $a,d$ đã chọn).

$c$ có 3 cách chọn (vì $a \ne c;\,b \ne c;d \ne c$ nên $c$ được chọn từ một trong các số $0;1;2;3;4;5$ nhưng bỏ đi số mà $a,b,d$ đã chọn).

Như vậy, ta có $2.4.4.3 = 96$ số.

Vậy có tất cả $60 + 96 = 156$ số cần tìm.

Ta có : $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11 \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 11\,\,\left( {n \ge 2} \right)$

$\Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 11$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n = - 5\end{array} \right.$ .

Do đó có $n = 4$ thỏa mãn điều kiện.

Khi đó:

${\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} = {\left( {{x^3}} \right)^4} + 4.{\left( {{x^3}} \right)^3}.\frac{1}{{{x^2}}} + 6.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} + 4.{x^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4}$

$= {x^{12}} + 4{x^7} + 6{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^8}}}$.

Vậy hệ số của ${x^2}$ trong khai triển đã cho là 6.

Do $BH$ là đường cao nên $AC \bot BH$ nên đường thẳng $AC$có một vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow {{u_{AC}}} = \overrightarrow {{n_{BH}}} = \left( {5; - 2} \right)$.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AC$ là: $\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {2;5} \right)$.

Đường thẳng $AC$ đi qua điểm $A\left( { - 1;2} \right)$ có phương trình là:

$2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 8 = 0$.

Do đường thẳng $AC$ giao đường thẳng $CM$ tại $C$ nên tọa độ của $C$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 8 = 0\\5x + 7y - 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;0} \right)$.

Đặt tọa độ điểm $B\left( {a;b} \right)$. Do $B \in BH$ nên $5a - 2b - 4 = 0$

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên$M\left( {\frac{{ - 1 + a}}{2};\frac{{2 + b}}{2}} \right) \in CM$

$\Leftrightarrow 5.\frac{{ - 1 + a}}{2} + 7.\frac{{2 + b}}{2} - 20 = 0 \Leftrightarrow 5a + 7b - 31 = 0$.

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}5a - 2b - 4 = 0\\5a + 7b - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2;3} \right)$.

Đường thẳng $BC$ có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 3} \right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;2} \right)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là: $3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0$.