Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là: B

Dựa vào sơ đồ hình cây, ta thấy có 6 cách đi từ Phú Thọ vào Đà Nẵng mà qua Hà Nội.

Đáp án đúng là: B

Việc chọn thực đơn gồm ba công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn một món chính, có 5 cách chọn.

Công đoạn 2: Chọn một loại quả tráng miệng, có 5 cách chọn.

Công đoạn 3: Chọn một loại nước uống, có 3 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả $5.5.3 = 75$ cách chọn thực đơn.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Kí hiệu số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử $\left( {1 \le k \le n} \right)$ là $A_n^k$.

Ta có: $A_n^k = n\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Trước hết, xét mỗi cặp vợ chồng như là một khối.

Số cách xếp 3 khối vào 3 vị trí có 3! = 6 cách xếp.

Bây giờ, với mỗi cách xếp như vậy, mỗi cặp vợ chồng (của một khối) có thể đổi chỗ cho nhau để có một cách xếp mới. Số cách đổi chỗ mỗi cặp vợ chồng là: 2! = 2 cách.

Như vậy, tổng số cách xếp chỗ cho 6 người với yêu cầu của bài toán là:

6 . 2 . 2 . 2 = 48 (cách).

Đáp án đúng là: D

Bước 1: Chọn người vào vị trí lễ tân.

Do ở đây được sắp theo thứ tự nên ta sẽ sử dụng chỉnh hợp. Số cách chọn ra 9 người vào vị trí lễ tân là $A_{39}^9$ cách.

Bước 2: Chọn người vào vị trí khách mời. Số cách chọn là 12 thành viên trong số các thành viên còn lại để xếp vào khách mời là $A_{30}^{12}$ cách.

Vậy theo quy tắc nhân thì số cách chọn các hội viên để đi dự hội thảo theo đúng quy định là $A_{39}^9.A_{30}^{12}$ cách.

Đáp án đúng là: A

Số tập hợp con có 6 phần tử của một tập hợp có 10 phần tử là số các tổ hợp chập 6 của 10 phần tử. Vậy có $C_{10}^6$ tập hợp con.

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách chọn 4 trong 15 học sinh (không phân biệt thứ tự) là một tổ hợp chập 4 của 15.

Vậy có $C_{15}^4 = 1\;365$ cách chọn.

Đáp án đúng là: A

Ta có $8 + 3 = 11$ cặp anh em trong đó 8 cặp họ Nguyễn và 3 cặp họ Trần.

Chọn bất kì 2 người trong số 36 người thì có $C_{36}^2 = 630$ cách chọn.

Vậy có tất cả $630 - 11 = 619$ cách chọn các cặp sao cho không có cặp anh em nào.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}$.v

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức khai triển của ${\left( {a + b} \right)^5}$ lần lượt cho $a = \sqrt 5$ và $b = 1$, rồi cho $a = \sqrt 5$ và $b = - 1$, ta có

${\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^5} - {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^5}$

$= \left( {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5\sqrt 5 + 1} \right)$

$- \left( {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} - 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} - 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5\sqrt 5 - 1} \right)$

$= 10.{\left( {\sqrt 5 } \right)^4} + 20.{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2$

$= 10\,\,.\,25 + 20\,\,.\,\,5 + 2 = 352$

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho vectơ $\overrightarrow u = - 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow i = \left( { - 3} \right)\overrightarrow i + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j$.

Vậy tọa độ của $\overrightarrow u = \left( { - 3; - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)$, $\overrightarrow c = \left( { - 1;2} \right)$.

Do đó, $\overrightarrow a = - \overrightarrow c$.

Vậy $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow c$ ngược hướng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3} = \frac{{3 + 2 + 1}}{3} = 2 = {x_G}\\\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3} = \frac{{1 + 2 + \left( { - 6} \right)}}{3} = - 1 = {y_G}\end{array} \right.$.

Vậy $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left( {2m - 1} \right) \cdot 3 + 4 \cdot 7 = 6m - 3 + 28 = 6m + 25$

Để $\overrightarrow u \bot \overrightarrow v$ thì $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 6m + 25 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 25}}{6}$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - \frac{1}{2}t\\y = - 10 + 3t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - \frac{1}{2};\,\,3} \right)$, do đó đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 7;\,\,8} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$, do đó $AB$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {8;\,\,7} \right)$.

Phương trình đường thẳng $AB$ là: $8\left( {x + 2} \right) + 7\left( {y + 6} \right) = 0$ hay $8x + 7y + 58 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d:5x + 2y - 4 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {5;\,\,2} \right)$, nên nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 5} \right)$. Các vectơ chỉ phương của đường thẳng này đều có dạng $k\overrightarrow u$, nên ta loại đáp án A và D.

Lại có $A\left( {2;\,\,3} \right)$ thuộc đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.$ nhưng không thuộc đường thẳng $d$ nên loại đáp án C.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng ${d_1}:6x - 5y + 9 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;\,\, - 5} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 12t\\y = 5 + 10t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 12;\,10} \right)$, nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {10;\,\,12} \right)$.

Nhận thấy: $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 6.10 + \left( { - 5} \right).12 = 0$. Do đó, hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $d\left( {A,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 5} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt 5 }} = 4\sqrt 5$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng ${d_1}:2x + y - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,1} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:x - 2 = 1 - y \Leftrightarrow x + y - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\,1} \right)$.

Ta có: $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$.

Lại có ${\sin ^2}\varphi + {\cos ^2}\varphi = 1 \Rightarrow \sin \varphi = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\varphi } = \sqrt {1 - \frac{9}{{10}}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\,\,\,$(do $\varphi$ là góc nhọn).

Vậy $A = \sin \varphi + \cos \varphi = \frac{3}{{\sqrt {10} }} + \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $\Delta :x - y = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 1} \right)$ nên nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,\,1} \right)$.

Giả sử $H$ là hình chiếu vuông góc của $M\left( {1;\,\,2} \right)$ lên đường thẳng $\Delta$, vì $H \in \Delta$ nên $H\left( {t;\,\,t} \right)$.

Vì $MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} \bot \overrightarrow u \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow t - 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$.

Vậy $H\left( {\frac{3}{2};\,\frac{3}{2}} \right)$.

Số cách chọn 4 học sinh bất kì từ 12 học sinh là $C_{12}^4 = 495$ cách.

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:

$*$ TH1: Lớp $A$ có 2 học sinh, các lớp $B,C$ mỗi lớp có 1 học sinh:

Chọn 2 học sinh trong 5 học sinh lớp $A$ có $C_5^2$ cách.

Chọn 1 học sinh trong 4 học sinh lớp $B$ có $C_4^1$ cách.

Chọn 1 học sinh trong 3 học sinh lớp $C$ có $C_3^1$ cách.

Suy ra số cách chọn là $C_5^2.C_4^1.C_3^1 = 120$ cách.

$*$ TH2: Lớp $B$ có 2 học sinh, các lớp $A,C$ mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là $C_5^1.C_4^2.C_3^1 = 90$ cách.

$*$ TH3: Lớp $C$ có 2 học sinh, các lớp $A,B$ mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là $C_5^1.C_4^1.C_3^2 = 60$ cách.

Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là $120 + 90 + 60 = 270$ cách.

Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên là $495 - 270 = 225$ cách.

Xét phương trình $A_n^3 = 12n$ (điều kiện $n \ge 3$)

$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} = 12n$

$\Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12n$

$\Rightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12$ (do $n \ge 3$)

$\Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 2\end{array} \right.$

Do đó chỉ có $n = 5$ thỏa mãn điều kiện.

Khi đó ${\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}$

$= {\left( {2{x^2}} \right)^5} + 5.{\left( {2{x^2}} \right)^4}.\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right) + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^3}$$+ 5.\left( {2{x^2}} \right).{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}$

$= 32{x^{10}} + 80{x^5} + 80 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{10}}{{{x^{10}}}} + \frac{1}{{{x^{15}}}}$.

Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển của biểu thức đã cho là $80{x^5}$.

a) Do $ABCD$ là hình vuông nên $AB$ và $BC$ vuông góc với nhau tại $B$.

Do đó, đường thẳng $BC$ nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\,2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Chọn điểm $B\left( {1;\,\,2} \right)$ thuộc đường thẳng $BC$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $BC$ là: $2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0$ hay $x + y - 3 = 0$.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng $BC$: $x + y - 3 = 0$.

b) Từ phương trình đường thẳng $BC$ là $x + y - 3 = 0$, ta có: $y = 3 - x$.

Điểm $C$ thuộc đường thẳng $BC$ nên tọa độ của nó có dạng: $\left( {t;\,\,3 - t} \right)$.

$\overrightarrow {BC} = \left( {t - 1;\,\,1 - t} \right)$

$BC = \sqrt {{{(t - 1)}^2} + {{(1 - t)}^2}}$

$AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2$

Do $ABCD$ là hình vuông nên ta có: $BC = AB$

$\Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 1\end{array} \right.$

Với $t = 3$, ta có: $C\left( {3;\,\,0} \right)$

Với $t = - 1$, ta có: $C\left( { - 1;\,4} \right)$

Mà hoành độ của điểm $C$ là số dương nên $C\left( {3;\,\,0} \right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.