Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: B

Vì ba hành động là rời nhau nên theo quy tắc cộng ta có số cách để hoàn thành công việc đó là $m + n + k$ (cách).

Đáp án đúng là: A

Vì ba hành động liên tiếp nên theo quy tắc nhân cộng ta có số cách để hoàn thành công việc đó là $mnk$ (cách).

Đáp án đúng là: B

Việc chọn một đồ vật duy nhất được chia thành 3 phương án:

Phương án 1: Chọn một cây bút chì thì sẽ có 8 cách.

Phương án 2: Chọn một cây bút bi thì sẽ có 6 cách.

Phương án 3: Chọn một cuốn tập thì sẽ có 10 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có $8 + 6 + 10 = 24$cách chọn.

Đáp án đúng là: D

Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập $A = \left\{ {3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}} \right\}.$ Từ tập $A$ có thể lập được 6 số có một chữ số.

Gọi số có hai chữ số có dạng $\overline {ab}$ với $\left( {a,b} \right) \in A.$

Trong đó:

$a$ có $6$ cách chọn (vì $a$ có thể chọn một trong các số $3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}$);

$b$ có $6$ cách chọn (vì $b$ có thể chọn một trong các số $3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}$).

Như vậy, ta có $6.6 = 36$ số có hai chữ số.

Vậy, từ $A$ có thể lập được $36 + 6 = 42$ số tự nhiên bé hơn $100$.

Đáp án đúng là: B

Tập $A$ có $n$ phần tử $\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)$, $k$ là số nguyên thỏa mãn $1 \le k \le n$.

Mỗi chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho là một kết quả của việc lấy $k$ phần tử từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

Đáp án đúng là: D

Số các hoán vị của 5 phần tử là 5!.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $A_n^k = n\left( {n - 1} \right)....\left( {n - k + 1} \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} \ne \frac{{n!}}{{k!}}$, do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: D

Xếp 5 người ngồi vào một dãy ghế gồm có 6 chiếc ghế (mỗi người ngồi vào một ghế) thì có số cách xếp chính bằng số các chỉnh hợp chập 5 của 6 phần tử và bằng $A_6^5 = 720$ (cách).

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách sắp xếp $6$ học sinh theo một hàng dọc là một hoán vị của $6$ phần tử.

Vậy có ${P_6} = 6! = 720$ cách.

Đáp án đúng là: B

Một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử của $H$ là một tập con gồm 3 phần tử của tập $H$.

Xét các đáp án ta thấy $\left\{ {1;\,\,5;\,\,9} \right\} \subset H$. Vậy chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Ta chọn ba điểm bất kỳ trong tám điểm sẽ được một tam giác.

Vậy có $C_8^3 = 56$ tam giác.

Đáp án đúng là: C

Chọn $5$ học sinh bất kỳ từ tổ $11$ học sinh có số cách chọn là: $C_{11}^5$.

Số cách chọn $5$ học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là: $C_5^5 + C_6^5$.

Số cách chọn ngẫu nhiên $5$ học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là $C_{11}^5 - \left( {C_5^5 + C_6^5} \right) = 455$.

Đáp án đúng là: D

Gọi số vận động viên nam là $n$ (vận động viên) $\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là $2.C_n^2 = n(n - 1)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là $C_2^1.C_n^1.2 = 4n$.

Khi đó ta có $n\left( {n - 1} \right) - 4n = 84 \Rightarrow n = 12$ (loại $n = - 7$).

Vậy tổng số ván các vận động viên chơi là $2.C_{14}^2 = 182$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}$.

Do vậy có tất cả 5 số hạng.

Đáp án đúng là: D

${\left( {3x + 4} \right)^5} = C_5^0{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1{\left( {3x} \right)^4}.4 + C_5^2{\left( {3x} \right)^3}{.4^2} + C_5^3{\left( {3x} \right)^2}{.4^3} + C_5^4{\left( {3x} \right)^1}{.4^4} + C_5^5{.4^5}$$= 243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024$.

Đáp án đúng là: A

Ta xét khai triển ${\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4}$ (với $x \ne 0$), ta có:

${\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4} = C_4^0.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^4} + C_4^1.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^3}.\left( {2x} \right) + C_4^2.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^2}.{\left( {2x} \right)^2} + C_4^3.\left( {\frac{3}{x}} \right).{\left( {2x} \right)^3} + C_4^4.{\left( {2x} \right)^4}$

$= \frac{{81}}{{{x^4}}} + \frac{{216}}{{{x^2}}} + 216 + 96{x^2} + 16{x^4}$.

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là 216.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow v = 5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j = 5\overrightarrow i + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j$.

Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $\overrightarrow v = \left( {5;\, - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_N}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_N}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {13}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {BA} = \left( {2 - 4;\,\, - 1 - 1} \right) = \left( { - 2;\,\, - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow x = \overrightarrow y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2a - 3\\ - 2a + 3b = 4b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 3\\2a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $- 2\overrightarrow z = - 2\left( { - \frac{1}{2};\,1} \right) = \left( {1;\, - 2} \right) = \overrightarrow x \,\,\,{\rm{hay}}\,\,\overrightarrow x = - 2\overrightarrow z$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow z$ cùng phương.

Đáp án đúng là: D

$G\left( {x;\,y + 6} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 + 3 + x - 1}}{3} = x\\\frac{{9 + 7 + y}}{3} = y + 6\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình trên ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương $\Leftrightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = k\left( {2m + 6} \right)\\ - m = k\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 2\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {4;\,\, - 3} \right)$.

Do đó, $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right) \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 8 + 3 = - 5$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow c = \frac{1}{2}\overrightarrow a - 5\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {2;\,\, - 1} \right) - 5\left( {3;\,4} \right) = \left( { - 14;\,\, - \frac{{41}}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $2x - 3y + 1 = 0$ có các hệ số: $a = 2$, $b = - 3$, $c = 1$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right) = \left( {2; - 3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm $A\left( {1;3} \right)$ vào phương trình đường thẳng $x - 3y + 8 = 0$ ta có:

$1 - 3 \cdot 3 + 8 = 0$

Do đó, $A\left( {1;3} \right)$ thuộc đường thẳng $x - 3y + 8 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {3;4} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 4 + 5t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua điểm $C\left( {1;3} \right)$và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3;3} \right)$ là

$3\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 3y - 12 = 0 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua điểm $C\left( {1;3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3;3} \right)$ là $x + y - 4 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;3 - 5} \right) = \left( {1; - 2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là: $\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $d$đi qua hai điểm $A\left( {1;5} \right)$, $B\left( {2;3} \right)$ là

$2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 7 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Ta có hai đường thẳng $d:ax + by + c = 0$ và $d':a'x + b'y + c' = 0$.

Nếu hệ $\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\a'x + b'y + c' = 0\end{array} \right.$ có vô số nghiệm thì $d$ và $d'$ trùng nhau.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính khoảng cách từ điểm $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến $\Delta :ax + by + c = 0$ là:$d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Đáp án đúng là: D

Công thức xác định góc $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ và $\Delta ':a'x + b'y + c' = 0$ là: $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {a \cdot a' + b \cdot b'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}$.

Đáp án đúng là: A

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d$ và $d'$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 2 = 0\\2x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5y = - 2\\2x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{13}}{9}\\y = \frac{1}{9}\end{array} \right.$.

Như vậy hai đường thẳng $d$ và $d'$ cắt nhau tại điểm $\left( { - \frac{{13}}{9};\frac{1}{9}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $\Delta :3x - my + 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {3; - m} \right)$.

Đường thẳng $\Delta ':x + 5y = 0$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} = \left( {1;5} \right)$.

Để $\Delta \bot \Delta '$ thì ${n_\Delta } \bot {n_{\Delta '}} \Leftrightarrow 3 \cdot 1 + \left( { - m} \right) \cdot 5 = 0 \Leftrightarrow 3 - 5m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{5}$.

Gọi $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}}$ là số cần tìm

Ta có ${a_6} \in \left\{ {1;\,3;\,5} \right\}$ và $\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5} + {a_6}} \right) = 1$

+ Với ${a_6} = 1$ thì $\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 2$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;3;6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {4;\,5} \right\}\end{array} \right.$

hoặc $\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,4;\,5} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {3;\,6} \right\}\end{array} \right.$.

+ Với ${a_6} = 3$ thì $\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 4$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,4;\,5} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {1;\,6} \right\}\end{array} \right.$

hoặc $\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {1;\,4;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {2;\,5} \right\}\end{array} \right.$.

+ Với ${a_6} = 5$ thì $\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 6$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,3;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {1;\,4} \right\}\end{array} \right.$

hoặc $\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {1;\,4;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {2;\,3} \right\}\end{array} \right.$.

Mỗi trường hợp có $3!.2! = 12$ số thỏa mãn yêu cầu

Vậy có tất cả $6.12 = 72$ số cần tìm.

Gọi $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B},{y_B}} \right)$.

Do điểm $M\left( {2;2} \right)$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} - 1}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 5\\{y_B} = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {5;2} \right)$.

Do $G\left( {3;1} \right)$ là trọng tâm của tam giác nên ta có:

$AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow AG = 2GM \Rightarrow \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM}$

Mà: $\overrightarrow {AG} = \left( {3 - {x_A};1 - {y_A}} \right)$; $\overrightarrow {GM} = \left( {2 - 3;2 - 1} \right) = \left( { - 1;\,\,1} \right)$

Do đó, $\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - {x_A} = 2 \cdot ( - 1)\\1 - {y_A} = 2 \cdot 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right)$.

Đường thẳng $AB$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {5 - 5;2 - ( - 1)} \right) = \left( {0;3} \right)$

Do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n = \left( { - 3;0} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { - 3;0} \right)$ là $- 3\left( {x - 5} \right) + 0.\left( {y - ( - 1)} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0$.

Vì $5 = 5 + 0 = 4 + 1 = 3 + 2 = 2 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1$ nên ta có các trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 chữ số 0 đứng sau: Có 1 số.

+) Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4, một chữ số 1 và 2016 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 4 đứng đầu thì chữ số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì chữ số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

+) Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3, một chữ số 2 và 2016 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 3 đứng đầu thì chữ số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^1$ số.

+) Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2, một chữ số 1 và 2015 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $A_{2017}^2$ số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong $2017$ vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^2$ số.

+) Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số $1$, một chữ số 3 và 2015 chữ số 0 thì tương tự như trường hợp 4 ta có $A_{2017}^2 + C_{2017}^2$ số.

+) Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2, ba chữ số 1 và 2014 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^3$số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà không có chữ số 1 nào khác đứng trước nó thì hai chữ số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có $C_{2016}^2$ số.

- Khả năng 3: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai chữ số 1 thì hai chữ số 1 và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có $A_{2016}^2$ số.

+) Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và $2013$ chữ số 0, vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ số 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^4$ số.

Áp dụng quy tắc cộng ta có $1 + 4C_{2017}^1 + 2\left( {C_{2017}^2 + A_{2017}^2} \right) + \left( {C_{2017}^3 + A_{2016}^2 + C_{2016}^2} \right) + C_{2017}^4$ số cần tìm.