Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10

Hướng dẫn giải

a) Đúng. Phương trình $\left( * \right)$ có các hệ số là $a = 2\,;\,\,b = - 5\,;\,\,c = 1.$

b) Sai. Để phương trình có dạng $ax + by = c$ là phương trình bậc nhất hai ẩn thì $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0.$

Do đó, phương trình $\left( * \right)$ là phương trình bậc nhất hai ẩn $x,{\rm{ }}y$ vì $a = 2 \ne 0$; $b = - 5 \ne 0.$

c) Sai. Thay $x = 0\,;{\rm{ }}y = 5$ vào phương trình $\left( * \right)$, ta được: $4 \cdot 0 - 7 \cdot 5 = --\,35 \ne - 1.$

Do đó cặp số $\left( {0\,;\,\,5} \right)$ không phải là nghiệm của phương trình $\left( * \right)$.

d) Đúng. Ta có $4x - 7y = - 1$ suy ra $7y = 4x + 1$ nên $y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}$.

Do đó, biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ là đường thẳng $y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}.$

Bất phương trình có dạng $ax + b < 0$ (hoặc $ax + b > 0\,;\,\,ax + b \le 0\,;\,\,ax + b \ge 0\,)$ trong đó $a\,,\,\,b$ là hai số đã cho, $a \ne 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x.$</>

Bất phương trình $2x + y \le 8$ có hai ẩn $x\,,\,\,y$ nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình $0x - 2 < 0$ có dạng $ax + b \le 0$ và $a = 0$ nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình ${x^2} - 5x + 4 > 0$ có vế trái là đa thức bậc hai, vế phải là 0 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ta có $\frac{2}{3}x--1 \ge 5$ hay $\frac{2}{3}x--6 \ge 0$. Bất phương trình $\frac{2}{3}x--6 \ge 0$ có dạng $ax + b \ge 0$ và $a = 2$ nên là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy chọn đán án D.

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta DEF$ vuông tại $D,$ ta có:

$\cot E = \frac{{EH}}{{DH}}$ hay $\cot \alpha = \frac{{EH}}{{DH}}.$

Vậy chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Tam giác $ABC$ có cạnh huyền $BC$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}$. Suy ra $\frac{{AC}}{{BC}} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.$

Vậy tỉ số giữa cạnh đối $AC$ và cạnh huyền $BC$ bằng $\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Cách 2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\2x - y = 11\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $5x = 15$, suy ra $x = 3.$

Thay $x = 3$ vào phương trình $3x + y = 4,$ ta được: $3 \cdot 3 + y = 4,$ hay $9 + y = 4,$ suy ra $y = - 5.$

Do đó ${x^2} - {y^2} = {3^2} - {\left( { - 5} \right)^2} = 9 - 25 = - 16.$

Vậy điền đáp án là: $- 16.$

Hướng dẫn giải

Ta có $\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) = \left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)$

$$\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)$$

$$\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)} \right]$$

$$\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$$

$x - 2 = 0$ hoặc $x + 3 = 0$

$x = 2$ hoặc $x = - 3$.

Do đó phương trình có hai nghiệm $x = 2$; $x = - 3$ nên có 2 giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy điền đáp án là: 2.

Hướng dẫn giải

Do biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển, nên theo hình vẽ thì tốc độ của ô tô đi trên đường đó không nhỏ hơn $60{\rm{ km/h,}}$ tức là $a \ge 60.$

Vậy điền đáp án là: $a \ge 60.$

Hướng dẫn giải

Theo định lí Pythagore, ta có: $A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}$

Suy ra $AB = \sqrt {0,{9^2} + 1,{2^2}} = 1{,}5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có:

$\sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0{,}9}}{{1{,}5}} = \frac{3}{5} = 0{,}6$;

$\cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1{,}2}}{{1{,}5}} = \frac{4}{5} = 0{,}8.$

Do đó $\sin B + \cos B = 0{,}6 + 0{,}8 = 1{,}4.$

Vậy điền đáp án là: $1{,}4.$

Hướng dẫn giải

1)

a) $\frac{{x + 3}}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

Điều kiện xác định $x \ne 0$ và $x + 1 \ne 0$ hay $x \ne 0$ và $x \ne - 1.$

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được

$\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

Suy ra $x\left( {x + 3} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 5x + 1$

${x^2} + 3x - \left( {{x^2} - 1} \right) = {x^2} + 5x + 1$

$${x^2} + 3x - {x^2} + 1 = {x^2} + 5x + 1$$

$3x + 1 = {x^2} + 5x + 1$

$${x^2} + 2x = 0$$

$$x\left( {x + 2} \right) = 0$$

$x = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = - 2$

Đối chiếu ĐKXĐ suy ra $x = - 2$ là nghiệm của phương trình.

b) $1 + \frac{{x + 4}}{5} \le x - \frac{{x + 3}}{3}$

$\frac{{5 + x + 4}}{5} \le \frac{{3x - x - 3}}{3}$

$\frac{{x + 9}}{5} \le \frac{{2x - 3}}{3}$

$$3\left( {x + 9} \right) \le 5\left( {2x - 3} \right)$$

$$3x + 27 \le 10x - 15$$

$$10x - 3x \le 27 + 15$$

$$7x \ge 42$$

$$x \ge 6$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge 6.$

Hướng dẫn giải

Gọi $x,\,\,y$ lần lượt là số sản phẩm mà tổ I và tổ II làm được trong tháng 2 $\left( {0 < x,{\rm{ }}y < 700} \right)$.

Tháng 2 hai tổ làm được 700 sản phẩm nên ta có: $x + y = 700$ (sản phẩm) $\left( 1 \right)$

Số sản phẩm tổ I làm được trong tháng 3 là: $x + 20\% \cdot x = 1{,}2x$ (sản phẩm).

Số sản phẩm tổ II làm được trong tháng 3 là: $y + 15\% \cdot y = 1{,}15y$ (sản phẩm).

Tháng 3 hai tổ làm được 830 sản phẩm nên ta có: $1{,}2x + 1{,}15y = 830$ (sản phẩm) $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 700\\1{,}2x + 1{,}15y = 830\end{array} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất ta có $x + y = 700$ suy ra $x = 700 - y$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

$1{,}2\left( {700 - y} \right) + 1{,}15y = 830$, suy ra $0{,}05y = 10$ hay $y = 200$ (thỏa mãn).

Từ đó $x = 700 - y = 700 - 200 = 500$ (thỏa mãn).

Vậy trong tháng 2 tổ I làm được 500 sản phẩm, tổ II làm được 200 sản phẩm.

Hướng dẫn giải

1) Từ $B$ kẻ $BK \bot AC$ tại $K.$

Xét tam giác $BCK$ vuông tại $K$ nên

$BK = BC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat {BAK}$ là góc ngoài nên

$\widehat {BAK} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .$

Tam giác $ABK$ vuông tại $K$ nên $\widehat {BAK} + \widehat {ABK} = 90^\circ$.

Do đó

$\widehat {ABK} = 90^\circ - \widehat {BAK} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ .$

Ta có $\cos \widehat {ABK} = \frac{{BK}}{{AB}}$ suy ra $AB = \frac{{BK}}{{\cos \widehat {ABK}}} = \frac{8}{{\cos 15^\circ }} \approx 8{,}28\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Tam giác $ANB$ vuông cân tại $N$ nên $\widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 45^\circ$; $\sin \widehat {ABN} = \frac{{AN}}{{AB}}$.

Suy ra $AN = AB \cdot \sin \widehat {ABK} \approx 8{,}28 \cdot \sin 45^\circ \approx 5{,}85\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy $AN \approx 5{,}85\,\,{\rm{cm}}\,.$

Hướng dẫn giải

Với hai số thực $a,\,\,b$ thỏa mãn $a + b \ne 0$, ta có:

${a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2$

$$\left( {{a^2} + {b^2}} \right){\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {ab + 1} \right)^2} \ge 2{\left( {a + b} \right)^2}$$

$${\left( {a + b} \right)^2}\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right] + {\left( {ab + 1} \right)^2} - 2{\left( {a + b} \right)^2} \ge 0$$

$${\left( {a + b} \right)^4} - 2ab{\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {ab + 1} \right)^2} - 2{\left( {a + b} \right)^2} \ge 0$$

$${\left( {a + b} \right)^4} - 2{\left( {a + b} \right)^2}\left( {ab + 1} \right) + {\left( {ab + 1} \right)^2} \ge 0$$

${\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]^2} \ge 0$ (luôn đúng với mọi số thực $a,\,\,b$).

Vậy ta có điều phải chứng minh.