Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Phương trình $2x + \frac{y}{2} - 1 = 0$ viết thành $2x + \frac{1}{2}y = 1$, đây là phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 2$ và $b = \frac{1}{2}.$

Đáp án đúng là: C

• Thay $x = 0\,;{\rm{ }}y = 1$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$, ta có: $0 - 5 \cdot 1 + 7 = 2 \ne 0$.

Suy ra $\left( {0;\,\,1} \right)$ không phải là nghiệm của phương trình $x - 5y + 7 = 0$.

• Thay $x = - 1\,;{\rm{ }}y = 2$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$, ta có: $- 1 - 5 \cdot 2 + 7 = - 4 \ne 0$.

Suy ra $\left( { - 1;\,\,2} \right)$ không phải là nghiệm của phương trình $x - 5y + 7 = 0$.

• Thay $x = 3\,;{\rm{ }}y = 2$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$, ta có: $3 - 5 \cdot 2 + 7 = 0$.

Suy ra $\left( {3;\,\,2} \right)$ là nghiệm của phương trình $x - 5y + 7 = 0$.

• Thay $x = 1;{\rm{ }}y = 1$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$, ta có: $1 - 5 \cdot 1 + 7 = 3 \ne 0.$

Suy ra $\left( {2;\,\,4} \right)$ không phải là nghiệm của phương trình $x - 5y + 7 = 0$.

Do đó, ta chọn phương án C.

Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

Trên màn hình cho kết quả $x = 6,$ ta bấm tiếp phím = màn hình cho kết quả $y = 6.$

Vậy cặp số $\left( {6;\,\,6} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Cách 2. Thay $x = 6;\,\,y = - 6$ vào hệ phương trình đã cho, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot 6 + 4 \cdot \left( { - 6} \right) = - 6\,\,\left( { \ne 42} \right)\\10 \cdot 6 - 9 \cdot \left( { - 6} \right) = 114\,\,\left( { \ne 6} \right).\end{array} \right.$

Tương tự, thay giá trị của $x$ và $y$ lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số $\left( {6;\,\,6} \right)$ là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số $\left( {6;\,\,6} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Cách 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $10$ và nhân hai vế của phương trình thứ hai với $3,$ ta được hệ phương trình mới $\left\{ \begin{array}{l}30x + 40y = 420\\30x - 27y = 18.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:

$67y = 402$, suy ra $y = 6$.

Thay $y = 6$ vào phương trình $3x + 4y = 42,$ ta được:

$3x + 4 \cdot 6 = 42$ hay $3x = 18$ suy ra $x = 6.$

Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {6;\,\,6} \right)$.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{{x - 3}} - 3 = \frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}$ là $x - 3 \ne 0$ và $x + 4 \ne 0,$ hay $x \ne 3$ và $x \ne - 4$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

⦁ Do $5 > 3$ nên $5a > 3a$ khi $a > 0$ và $5a < 3a$ khi $a < 0$. Do đó phương án A và B là sai.

⦁ $5 > 3$ nên $5 + a > 3 + a.$ Do đó phương án C là đúng.

⦁ Do $- 3 > - 6$ nên $- 3a > - 6a$ khi $a > 0$. Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\alpha + \beta = 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$ nên $\alpha$ và $\beta$ là hai góc nhọn phụ nhau, do đó:

$\sin \alpha = \cos \beta$ và $\tan \alpha = \cot \beta$.

a) $9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0$

$9{x^2} = 0$ hoặc $2x - 3 = 0$

${x^2} = 0$ hoặc $2x = 3$

$x = 0$ hoặc $x = \frac{3}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là $x = 0;$ $x = \frac{3}{2}$.

b) Điều kiện xác định $x \ne 0;\,\,x \ne 3.$

$\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}$

$\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}$

$\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3$

${x^2} + 3x = 3 + x - 3$

${x^2} + 2x = 0$

$x\left( {x + 2} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = - 2$.

c) $3x - 8 > 4x - 12$

$3x - 4x > - 12 + 8$

$- x > - 4$

$x < 4$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < 4.$

d) $\frac{{x - 1}}{2} - \frac{{7x + 3}}{{15}} \le \frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3 - 2x}}{5}$

$\frac{{15\left( {x - 1} \right)}}{{30}} - \frac{{2\left( {7x + 3} \right)}}{{30}} \le \frac{{10\left( {2x + 1} \right)}}{{30}} + \frac{{6\left( {3 - 2x} \right)}}{{30}}$

$$15\left( {x - 1} \right) - 2\left( {7x + 3} \right) \le 10\left( {2x + 1} \right) + 6\left( {3 - 2x} \right)$$

$$15x - 15 - 14x - 6 \le 20x + 10 + 18 - 12x$$

$$x - 21 \le 8x + 28$$

$$- 7x \le 49$$

$$x \ge - 7.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \ge - 7.$

a) Vì số nguyên tử của ${\rm{Ag}}$ và ${\rm{Cl}}$ ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2y = 2\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.$

Vậy $x = 2,\,\,y = 1.$ Khi đó ta hoàn thiện được phương trình phản ứng hóa học sau cân bằng như sau:

$2{\rm{Ag}} + {\rm{C}}{{\rm{l}}_2} \to 2{\rm{AgCl}}{\rm{.}}$

b) Để cặp số $\left( { - 2;\,\,1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2mx + y = m\\x - my = - 1 - 6m\end{array} \right.$ thì $x = - 2$ và $y = 1$ phải thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Thay $x = - 2$ và $y = 1$ vào hệ phương trình đã cho, ta được $\left\{ \begin{array}{l}2m \cdot \left( { - 2} \right) + 1 = m\\ - 2 - m \cdot 1 = - 1 - 6m\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} - 4m + 1 = m\\ - 2 - m = - 1 - 6m\end{array} \right.$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}1 = 5m\\5m = 1\end{array} \right.$, suy ra $m = \frac{1}{5}$.

Vậy để cặp số $\left( { - 2\,;\,1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho thì $m = \frac{1}{5}.$

c) Gọi số có hai chữ số cần tìm là $\overline {xy} {\rm{ }}\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,y \in \mathbb{N}*,\,\,0 < x \le 9,\,\,0 \le y \le 9} \right).$

Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới là $\overline {yx}$.

Ta có: $\overline {xy} = 10x + y$ và $\overline {yx} = 10y + x$.

Theo bài, nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới lớn hơn số đã cho là $63$ nên ta có phương trình: $10y + x = \left( {10x + y} \right) + 63$ hay $- 9x + 9y = 63$ nên $x - y = - 7.$ (1)

Mặt khác, tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng $99$ nên ta có phương trình: $\left( {10x + y} \right) + \left( {10y + x} \right) = 99$ hay $11x + 11y = 99$ nên $x + y = 9.$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x - y = - 7\\x + y = 9.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$2x = 2,$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn).

Thay $x = 1$ vào phương trình $x + y = 9,$ ta được: $1 + y = 9,$ suy ra $y = 8$ (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là $18$.

a) $A = \cos 40^\circ - \sin 50^\circ + \tan 20^\circ \cot 20^\circ$

$= \cos 40^\circ - \cos 40^\circ + 1$

$= 0 + 1 = 1.$

b) $B = \frac{{\sin 10^\circ }}{{\cos 80^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\sin 70^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\cot 75^\circ }}$

$= \frac{{\sin 10^\circ }}{{\sin 10^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\cos 20^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\tan 15^\circ }}$

$= 1 - 1 + 1 = 1.$

Đổi $1{,}221{\rm{\;km}} = 1\,\,221{\rm{\;m}}.$

a) Do $Bx\,{\rm{//}}\,AC\;$ nên $\widehat {ACB} = \widehat {CBx}$ (so le trong).

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $AB = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {ACB} = 1\,\,221 \cdot {\rm{tan}}25^\circ \approx 569{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiều cao của đài quan sát khoảng: $3 + 569 = 572$ (m).

b) Đổi: $60$ km/h $= 1{\rm{ }}000$ m/phút.

Do $Bx\,{\rm{//}}\,AC\;$ và $AB \bot AC$ nên ta có $\widehat {ABx} = \widehat {BAC} = 90^\circ .$

Quãng đường $CD$ là: $CD = 1{\rm{ }}000 \cdot 1 = 1{\rm{ }}000$ (m).

Do đó: $AD = AC - CD = 1{\rm{ }}221\; - 1{\rm{ }}000 = 221$ (m).

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có: ${\rm{tan}}\widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}} \approx \frac{{221}}{{569}}.$ Suy ra $\widehat {ABD} \approx 21^\circ 14'.$

Mà $\widehat {DBx} + \widehat {ABD} = \widehat {ABx} = 90^\circ .$

Suy ra $\alpha = \widehat {DBx} = 90^\circ - \widehat {ABD} \approx 90^\circ - 21^\circ 14' = 68^\circ 46'.$

c) Vì $\Delta ABD$ vuông tại $A$ nên $AB = BD \cdot {\rm{cos}}\widehat {ABD}.$

Suy ra $BD = \frac{{AB}}{{{\rm{cos}}\widehat {ABD}}} \approx \frac{{569}}{{{\rm{cos}}\,21^\circ 14'}} \approx 610{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy khoảng cách từ mắt người quan sát đến vị trí $D$ khoảng $610$ mét.

⦁ Trước hết, ta chứng minh với $a > 0$ và $b > 0$ luôn có $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.$

Thật vậy, với $a > 0$ và $b > 0,$ ta có:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}} = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0.$

Do đó $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\,\,\,\left( * \right)$

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ cho hai số $2x > 0$ và $y + z > 0,$ ta có:

$$\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}} \ge \frac{4}{{2x + y + z}}$$

Suy ra $\frac{1}{{2x + y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}}} \right).$

Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ cho hai số $y > 0$ và $z > 0,$ ta có:

$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{4}{{y + z}}.$

Suy ra $\frac{1}{{y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}.$

Do đó: $\frac{1}{{2x + y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}}} \right) \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}} \right).$

Chứng minh tương tự, ta có:

$\frac{1}{{x + 2y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}}} \right);$ $\frac{1}{{x + y + 2z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right).$

Khi đó:

$\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right)$

$= \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right)$

$= \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$ (do $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4).$

Vậy $\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le 1.$