Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 9)

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Phương trình $2x + \frac{y}{2} - 1 = 0$ viết thành $2x + \frac{1}{2}y = 1$, đây là phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 2$ và $b = \frac{1}{2}.$

Từ phương trình thứ nhất ta có $y = 5 - x$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

$2x - \left( {5 - x} \right) = 4$, tức là $3x - 5 = 4$, suy ra $3x = 9$ hay $x = 3$.

Từ đó $y = 5 - 3 = 2.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {3\,;\,\,2} \right).$

Đáp án đúng là: B

Phát biểu “$a$ không nhỏ hơn $b$” tức là “$a$ lớn hơn hoặc bằng $b$” được biểu diễn như sau: $a \ge b.$

Vậy chọn đáp án B.

Ta có: $3x - 5 < 4x + 2$

$3x - 4x < 2 + 5$

$- x < 7$ hay $x > - 7.$</>

Vậy bất đẳng thức có nghiệm là $x > - 7.$

Đáp án đúng là: C

Với $a > b$ thì $a + \left( { - 3} \right) > b + \left( { - 3} \right)$ hay $a - 3 > b - 3.$

Đáp án đúng là: C

Ta có $\alpha + \beta = 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$ nên $\alpha$ và $\beta$ là hai góc nhọn phụ nhau, do đó:

$\sin \alpha = \cos \beta$ và $\tan \alpha = \cot \beta$.

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ ta có $\frac{{HA}}{{HC}} = \tan C$.

Mà $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ$ nên $\frac{{HA}}{{HC}} = \tan C = \cot B = \cot \alpha$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

a) $\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0$

$\frac{2}{3}x + 6 = 0$ hoặc $8 - 2x = 0$

$\frac{2}{3}x = - 6$ hoặc $2x = 8$

$x = - 9$ hoặc $x = 4$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 9;$ $x = 4$.

b) $\frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

Điều kiện xác định $x + 1 \ne 0$ và $x - 2 \ne 0$ hay $x \ne - 1$ và $x \ne 2$.

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được

$\frac{{3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

Suy ra $3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 4x - 2$

$3x - 6 - 2x - 2 = 4x - 2$

$$x - 8 = 4x - 2$$

$$3x = - 6$$

$x = - 2$.

Giá trị $x = - 2$ thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 2$.

c) $3\left( {x + 2} \right) \le x - 8$

Ta có: $3\left( {x + 2} \right) \le x - 8$

$$3x + 6 \le x - 8$$

$$3x - x \le - 8 - 6$$

$$2x \le \; - 14$$

$x \le - 7$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le - 7.$

d) $3\left( {x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) < 2{x^2}$

Ta có: $3\left( {x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) < 2{x^2}$

$3x + 3 + 2{x^2} - 2x < 2{x^2}$

$x + 3 + 2{x^2} - 2{x^2} < 0$

$x + 3 < 0$

$x < - 3$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - 3$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $4{,}2 < a < 4{,}3$

$3.4{,}2 < 3a < 3.4{,}3$

$12{,}6 < 3a < 12{,}9$

$12{,}6 + 1{,}2 < 3a + 1{,}2 < 12{,}9 + 1{,}2$

$13{,}8 < 3a + 1{,}2 < 14{,}1.$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Để cặp số $\left( { - 2;\,\,1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2mx + y = m\\x - my = - 1 - 6m\end{array} \right.$ thì $x = - 2$ và $y = 1$ phải thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Thay $x = - 2$ và $y = 1$ vào hệ phương trình đã cho, ta được $\left\{ \begin{array}{l}2m \cdot \left( { - 2} \right) + 1 = m\\ - 2 - m \cdot 1 = - 1 - 6m\end{array} \right.$

hay $\left\{ \begin{array}{l} - 4m + 1 = m\\ - 2 - m = - 1 - 6m\end{array} \right.$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}1 = 5m\\5m = 1\end{array} \right.$, suy ra $m = \frac{1}{5}$.

Vậy để cặp số $\left( { - 2\,;\,1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho thì $m = \frac{1}{5}.$

c) Gọi $x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$ là chiều rộng của khu vườn lúc đầu $\left( {x > 0} \right).$

$y\,\,\left( {\rm{m}} \right)$ là chiều rộng của khu vườn lúc đầu $\left( {y > 0} \right).$

Khu vườn lúc đầu có chu vi bằng $68{\rm{ m}}$ nên $2x + 2y = 68$ hay $x + y = 34\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Chiều rộng khu vườn sau khi tăng là $2x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$

Chiều dài khu vườn sau khi tăng là $3y\,\,\left( {\rm{m}} \right)$

Chu vi của khu vườn sau khi tăng là $2 \cdot 2x + 2 \cdot 3y = 178$ hay $2x + 3y = 89{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 34\\2x + 3y = 89\end{array} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất ta có $x = 34 - y$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

$2\left( {34 - y} \right) + 3y = 89$, tức là $2y = 42$, suy ra $y = 21\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$.

Từ đó $x = 34 - 21 = 13\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$.

Khi đó, chiều rộng lúc ban đầu là 13 m và chiều dài lúc ban đầu là 21 m.

Diện tích ban đầu của khu vườn là: $13 \cdot 21 = 273\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Vậy diện tích ban đầu của khu vườn là $273\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.$

Hướng dẫn giải

a) $A = \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \cos 23^\circ - \cos 55^\circ$

$= \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \sin \left( {90^\circ - 23^\circ } \right) - \sin \left( {90^\circ - 55^\circ } \right)$

$= \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \sin 67^\circ - \sin 35^\circ = 0.$

Vậy $A = 0.$

b) $B = \frac{{\sin 10^\circ }}{{\cos 80^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\sin 70^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\cot 75^\circ }}$

$= \frac{{\sin 10^\circ }}{{\sin 10^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\cos 20^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\tan 15^\circ }}$

$= 1 - 1 + 1 = 1.$

Hướng dẫn giải

a) Kẻ $CH \bot AB,\,\,H \in AB.$ Khi đó $CH$ là chiều cao của con dốc.

⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{tan}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$

Suy ra $AH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).$ (1)

⦁ Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{tan}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$

Suy ra $BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).$ (2)

⦁ Từ (1) và (2) ta có: $AH + BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}$ hay $AB = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)$

Do đó $762 = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)$

Suy ra $CH = \frac{{762}}{{\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}}} \approx 32{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiều cao của con dốc là 32 m.

b) ⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{sin}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}$

Suy ra $AC = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CAH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}$ (3)

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{sin}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{CB}}$

Suy ra $CB = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CBH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}$ (4)

⦁ Thời gian lên dốc $AC$ là: ${t_{AC}} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_{ld}}}} = \frac{{AC}}{{{v_{ld}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}:4 = \frac{1}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}$ (giờ).

Thời gian xuống dốc $CB$ là: ${t_{CB}} = \frac{{{S_{CB}}}}{{{v_{xd}}}} = \frac{{CB}}{{{v_{xd}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}:19 = \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }}$ (giờ).

Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là:

${t_{AB}} = {t_{AC}} + {t_{CB}} \approx \frac{1}{{125\sin 6^\circ }} + \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }} \approx 0{,}1007$ (giờ) ≈ 6 phút.

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.

Hướng dẫn giải

Vì $a,b,c \ge 0\,;\,\,a + b + c = 1$ nên $0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1$.

Suy ra $\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) \le 0$

$abc - \left( {ab + bc + ca} \right) + a + b + c - 1 \le 0$

$a + b + c - ab - bc - ac \le 1 - abc \le 1$.

Vì $0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1$ nên ${a^{2023}} \le a\,;\,\,{b^{2023}} \le b\,;\,\,{c^{2023}} \le c.$

Suy ra $T \le a + b + c - ab - bc - ca \le 1$ hay ${a^{2024}} + {b^{2023}} + {c^{2022}} - ab - bc - ca \le 1$.

Dấu xảy ra khi $\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right) \in \left\{ {\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,0} \right)\,;\,\,\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)} \right\}$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.