Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 9

Đáp án đúng là: C

Ta viết phương trình $\frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{{x^2} - 1}} + x = 0$ thành $\frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + x = 0$.

Khi đó mẫu thức chung khi quy đồng mẫu thức của phương trình trên là $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$3\left( {x - 5} \right) - 2x\left( {5 - x} \right) = 0$

$3\left( {x - 5} \right) + 2x\left( {x - 5} \right) = 0$

$\left( {x - 5} \right)\left( {3 + 2x} \right) = 0$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Phương trình $2x + \frac{y}{2} - 1 = 0$ viết thành $2x + \frac{1}{2}y = 1$, đây là phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 2$ và $b = \frac{1}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Theo bài, hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $3\;{\rm{m}}$ nên ta có phương trình $y - x = 3\,\,\,\left( 1 \right)$

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là $xy$ (m$^{2}$).

Nếu tăng chiều rộng $3\;{\rm{m}}$ thì chiều rộng mới là $x + 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Nếu tăng chiều dài $3\;{\rm{m}}$ thì chiều dài mới là $y + 3{\rm{\;(m)}}$.

Diện tích của hình chữ nhật lúc này là $\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right)$ (m$^{2}$).

Theo bài, diện tích hình chữ nhật tăng thêm $90\;{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ nên ta có phương trình:

$\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - xy = 90\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 3\\\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - xy = 90\end{array} \right.$.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta MNP$ vuông tại $M$, ta có: $\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{MN}}$.

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta ABC$ có $A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25;\,\,B{C^2} = {5^2} = 25$

Do đó $\Delta ABC$ vuông tại $A$ (định lí Pythagore đảo).

Khi đó $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đ;b) S;c) S; d) S.

⦁ Từ $a < b$ ta có $a + c < b + c$ với mọi số thực $c$. Do đó ý a) là đúng;

⦁ Với $c > 0$ thì $ac < bc$. Do đó ý b) là sai;

⦁ Với $c < 0$ thì $ac > bc$. Do đó ý c) là sai;</>

⦁ Với $x > 0$ thì $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$. Do đó ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp số: $\left( {2;\,\,1} \right).$

Nếu ta coi $\frac{1}{{2x - y}}$ và $\frac{1}{{x + y}}$ lần lượt là các ẩn $X,\,\,Y$ thì hệ phương trình đã cho trở thành:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3X - 6Y = - 1}\\{X - Y = 0}\end{array}} \right.$

Sử dụng máy tính cầm tay ta lượt lần ấn các phím:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {2;\,\,1} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp số: $x = 9$.

Giải bất phương trình:

$$3\left( {2{,}2 - 0{,}3x} \right) < 2{,}6 - \left( {4 - 0{,}1x} \right)$$

$6{,}6 - 0{,}9x < 2{,}6 - 4 + 0{,}1x$

$- x < - 8$

$x > 8$

Như vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm là $x > 8$.

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho là $x = 9$.

Hướng dẫn giải

Đáp số: $\cos \widehat {HAC} = \frac{8}{{17}}.$

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ có $\widehat {HAC} + \widehat {C\,} = 90^\circ$ nên hai góc $\widehat {HAC},\,\,\widehat {C\,}$ phụ nhau, do đó $\cos \widehat {HAC} = \sin C.$

Xét $\Delta ABC$ có $A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {15^2} = 289;\,\,B{C^2} = {17^2} = 289$

Theo định lí Pythagore đảo, ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$.

Khi đó: $\cos \widehat {HAC} = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{8}{{17}}$.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Gọi $x,\,\,y$ (calo) lần lượt là số calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga và Jumping jacks $\left( {x > y > 0} \right).$

Theo bài, anh Hoài đã đến phòng tập thể dục và tập Yoga trong 40 phút, sau đó nhảy Jumping jacks trong 10 phút và tiêu hao được tổng cộng 510 calo nên ta có phương trình:

$40x + 10y = 510$ hay $4x + y = 51{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Lần tiếp theo anh Hoài tập 30 phút Yoga và nhảy Jumping jacks trong 20 phút thì tổng lượng calo tiêu hao được là 470 calo nên ta có phương trình

$30x + 20y = 470$ hay $3x + 2y = 47{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 51\\3x + 2y = 47\end{array} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 2, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}8x + 2y = 102\\3x + 2y = 47\end{array} \right.$.

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$5x = 55$, suy ra $x = 11$ (thỏa mãn).

Thay $x = 11$ vào phương trình $4x + y = 51$, ta được:

$4 \cdot 11 + y = 51$ suy ra $y = 7$ (thỏa mãn).

Vậy số calo tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga là 11 calo và số calo tiêu hao trong mỗi phút nhảy Jumping jacks là 7 calo.

Hướng dẫn giải

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ sau:

Do mặt đất là phương ngang nên $\widehat {BCA} = \widehat {CBx} = 30^\circ$ và $\widehat {BDA} = \widehat {ABx} - \widehat {DBx} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = AB \cdot \cot 30^\circ = AB\sqrt 3$.

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$, ta có:

$AD = AB \cdot \cot \widehat {BDA} = AB \cdot \cot 60^\circ = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}$.

Suy ra $CD = AC - AD = AB\sqrt 3 - \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} = AB\left( {\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = AB \cdot \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2AB\sqrt 3 }}{3} = 2AD$.

Như vậy, quãng đường $CD$ gấp đôi quãng đường $DA.$ Mà thời gian di chuyển tỉ lệ thuận với quãng đường đi được khi vận tốc không đổi nên thời gian xe máy di chuyển từ $C$ đến $D$ gấp đôi thời gian xe máy di chuyển từ $D$ về $A$.

Vậy thời gian để xe máy chạy từ $D$ đến tòa nhà là $\frac{6}{2} = 3$ (phút).

Hướng dẫn giải

1. Xét $\Delta KEC$ vuông tại $K$, ta có:

$EK = EC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ có $AE = AB$ nên $\Delta ABE$ vuông cân tại $A.$ Do đó $\widehat {AEB} = 45^\circ .$

Xét $\Delta EBC$ có $\widehat {EBK}$ là góc ngoài nên $\widehat {EBK} = \widehat {AEB} + \widehat {C\,} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .$

Xét $\Delta KEB$ vuông tại $K$ , ta có $\sin \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{EB}}$.

Suy ra $EB = \frac{{EK}}{{\sin \widehat {EBK}}} = \frac{8}{{\sin 75^\circ }} \approx 8{,}3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ ta có $AB = EB \cdot \sin \widehat {AEB} \approx 8{,}3 \cdot \sin 45^\circ \approx 5{,}9{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

2. Xét $\Delta AEQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ = QE \cdot \sin \widehat {CEQ}.$

Xét $\Delta ACQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}$.

Suy ra $QE \cdot \sin \widehat {CEQ} = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}$

Do đó $\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$ (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$CK = CQ \cdot \sin \widehat {EQC} = EC \cdot \sin \widehat {CEQ}$

Suy ra $\frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$