Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{{x - 3}} - 3 = \frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}$ là $x - 3 \ne 0$ và $x + 4 \ne 0,$ hay $x \ne 3$ và $x \ne - 4$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $a < b$ và $ac > bc$ nên ta có $c < 0$, tức $c$ là số âm.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + 2y = 7.\end{array} \right.$

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

Trên màn hình cho kết quả $x = 3,$ ta bấm tiếp phím = màn hình cho kết quả $y = 2.$

Vậy cặp số $\left( {3;\,\,2} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + 2y = 7.\end{array} \right.$

Cách 2. Thay $x = 2,\,\,y = 3$ vào hệ phương trình đã cho, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}2 - 3 = - 1 \ne 1\\2 + 2 \cdot 3 = 8 \ne 7\end{array} \right..$

Tương tự, thay giá trị của $x$ và $y$ lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số $\left( {3;\,\,2} \right)$ là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số $\left( {3;\,\,2} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + 2y = 7.\end{array} \right.$

Cách 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + 2y = 7.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ phương trình trên, ta được:

$3y = 6$ nên $y = 2.$

Thay $y = 2$ vào phương trình $x - y = 1,$ ta được:

$x - 2 = 1,$ suy ra $x = 3.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {3;\,\,2} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Vận tốc tối đa mà xe máy đi trên quãng đường đó là $40$ km/h nên ta có $a \le 40$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $- x - 1 > 5$

$- 5 - 1 > x$

$x < - 5 - 1$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H,$ ta có $\frac{{AH}}{{AB}} = \sin B$ hay $\frac{{HA}}{{BA}} = \sin \alpha$.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha = \frac{4}{3}.$

1. Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}mx - ny = 1\\2nx - 5y = m\end{array} \right.$ có nghiệm là $\left( { - 1;\,\,1} \right)$ thì $x = - 1$ và $y = 1$ thỏa mãn hệ phương trình này, khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}m \cdot \left( { - 1} \right) - n \cdot 1 = 1\\2n \cdot \left( { - 1} \right) - 5 \cdot 1 = m\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} - m - n = 1\\m + 2n = - 5\end{array} \right.$.

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $n = - 4$.

Thay $n = - 4$ vào phương trình $- m - n = 1$ ta được:

$- m - \left( { - 4} \right) = 1$ nên $m = - 3.$

Vậy $m = - 3$ và $n = - 4$.

2. Gọi $x,\,\,y$ (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm của tổ I và tổ II theo kế hoạch cần sản xuất $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)$.

Theo bài, theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 600$ (1)

Khi tổ I vượt kế hoạch 18% thì số sản phẩm tổ I sản xuất được là: $x + 18\% x = 1{,}18x$ (sản phẩm).

Khi tổ II vượt kế hoạch 21% thì số sản phẩm tổ II sản xuất được là: $y + 21\% y = 1{,}21y$ (sản phẩm).

Theo bài, cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình:

$1{,}18x + 1{,}21y = 600 + 120$ hay $118x + 121y = 72\,\,000$ (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 118, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}118x + 118y = 70\,\,800\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.$

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$- 3y = - 1\,\,200$, suy ra $y = 400$ (thỏa mãn).

Thay $y = 400$ vào phương trình $x + y = 600$, ta được:

$x + 400 = 600$, suy ra $x = 200$ (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch, tổ I và tổ II cần sản xuất lần lượt là 200 sản phẩm và 400 sản phẩm.

a) $A = \cos 40^\circ - \sin 50^\circ + \tan 20^\circ \cot 20^\circ$

$= \cos 40^\circ - \cos 40^\circ + 1$

$= 0 + 1 = 1.$

b) $B = \frac{{\sin 10^\circ }}{{\cos 80^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\sin 70^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\cot 75^\circ }}$

$= \frac{{\sin 10^\circ }}{{\sin 10^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\cos 20^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\tan 15^\circ }}$

$= 1 - 1 + 1 = 1.$

a) Kẻ $CH \bot AB,\,\,H \in AB.$ Khi đó $CH$ là chiều cao của con dốc.

⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{tan}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$

Suy ra $AH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).$ (1)

⦁ Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{tan}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$

Suy ra $BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).$ (2)

⦁ Từ (1) và (2) ta có: $AH + BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}$ hay $AB = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)$

Do đó $762 = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)$

Suy ra $CH = \frac{{762}}{{\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}}} \approx 32{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiều cao của con dốc là 32 m.

b) ⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{sin}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}$

Suy ra $AC = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CAH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}$ (3)

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{sin}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{CB}}$

Suy ra $CB = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CBH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}$ (4)

⦁ Thời gian lên dốc $AC$ là: ${t_{AC}} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_{ld}}}} = \frac{{AC}}{{{v_{ld}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}:4 = \frac{1}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}$ (giờ).

Thời gian xuống dốc $CB$ là: ${t_{CB}} = \frac{{{S_{CB}}}}{{{v_{xd}}}} = \frac{{CB}}{{{v_{xd}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}:19 = \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }}$ (giờ).

Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là:

${t_{AB}} = {t_{AC}} + {t_{CB}} \approx \frac{1}{{125\sin 6^\circ }} + \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }} \approx 0{,}1007$ (giờ) ≈ 6 phút.

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.

⦁ Trước hết, ta chứng minh với $a > 0$ và $b > 0$ luôn có $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.$

Thật vậy, với $a > 0$ và $b > 0,$ ta có:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}} = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0.$

Do đó $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\,\,\,\left( * \right)$

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ cho hai số $2x > 0$ và $y + z > 0,$ ta có:

$$\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}} \ge \frac{4}{{2x + y + z}}$$

Suy ra $\frac{1}{{2x + y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}}} \right).$

Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ cho hai số $y > 0$ và $z > 0,$ ta có:

$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{4}{{y + z}}.$

Suy ra $\frac{1}{{y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}.$

Do đó: $\frac{1}{{2x + y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}}} \right) \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}} \right).$

Chứng minh tương tự, ta có:

$\frac{1}{{x + 2y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}}} \right);$ $\frac{1}{{x + y + 2z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right).$

Khi đó:

$\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right)$

$= \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right)$

$= \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$ (do $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4).$

Vậy $\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le 1.$