Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${x^3} + 27 = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)$ và ${x^2} - 3x + 9 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}.$

Do đó điều kiện xác định của phương trình đã cho là: $x + 3 \ne 0$ hay $x \ne - 3.$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $2{x^2} - 5x - 7 = 0$

$2{x^2} + 2x - 7x - 7 = 0$

$\left( {2{x^2} + 2x} \right) - \left( {7x + 7} \right) = 0$

$2x\left( {x + 1} \right) - 7\left( {x + 1} \right) = 0$

$\left( {2x - 7} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Nhân phương trình thứ nhất của hệ với 6, ta được phương trình mới $3x - 3y = - 6,$ cộng với phương trình thứ hai ta được phương trình: $0x = - 1$ (hoặc phương trình $0y = - 1$).

Phương trình trên vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Như vậy, có 2 khẳng định đúng là (ii), (iii). Ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Ta viết phương trình $2x - y = 1$ về dạng $y = 2x - 1$.

⦁ Xét cặp số $\left( {1;\,\,0} \right),$ thay $x = 1$ vào phương trình $y = 2x - 1$, ta được: $y = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \ne 0.$

Do đó, cặp số $\left( {1;\,\,0} \right)$ không phải là nghiệm của phương trình $2x - y = 1$, hay đường thẳng $y = 2x - 1$ không đi qua điểm $\left( {1;\,\,0} \right)$. Do đó đường thẳng ${d_1},\,\,{d_3}$ không thỏa mãn.

⦁ Xét cặp số $\left( {0;\,\, - 1} \right),$ thay $x = 0$ và $y = - 1$ vào phương trình $y = 2x - 1$, ta được:

$y = 2x - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = - 1$.

Do đó, cặp số $\left( {0;\,\, - 1} \right)$ là nghiệm của phương trình $2x - y = 1$, hay đường thẳng $y = 2x - 1$ đi qua điểm $\left( {0;\,\, - 1} \right)$.

Quan sát hình b) và hình d) ta thấy chỉ có đường thẳng ${d_4}$ thỏa mãn.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Do $\alpha ,\,\,\beta$ là số đo các góc nhọn của một tam giác vuông nên $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Khi đó $\sin \alpha = \cos \beta ,\,\,\cos \alpha = \sin \beta ,\,\,\tan \alpha = \cot \beta ,\,\,\cot \alpha = \tan \beta$ và $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.

Do đó $\tan \alpha - \cot \beta = \tan \alpha - \tan \alpha = 0.$

Đáp án đúng là: C

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, theo định lí Pythagore, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Suy ra $A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {15^2} - {5^2} = 200$

Do đó $AC = \sqrt {200} = \sqrt {100 \cdot 2} = \sqrt {{{10}^2} \cdot {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2}} = 10\sqrt 2$.

Khi đó $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{10\sqrt 2 }}{5} = 2\sqrt 2 .$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đ;b) Đ;c) S; d) S.

⦁ Từ $- 5a > 3$, ta có $a < - \frac{3}{5} < 0$ nên số $a$ có giá trị là một số âm. Do đó ý a) là đúng.

⦁ Từ $- 5a > 3$, ta có $3 - 5a > 6 > 0$ nên biểu thức $3 - 5a$ có giá trị là một số dương. Do đó ý b) là đúng.

⦁ Từ $a < - \frac{3}{5}$, ta có $a + \frac{3}{5} < 0$ nên biểu thức $a + \frac{3}{5}$ có giá trị là một số âm. Do đó ý c) là sai.

⦁ Từ $- 5a > 3$, ta có $- 10a > 6$ suy ra $- 10a - 10 > - 4$, khi đó giá trị của biểu thức $- 10a - 10$ chưa xác định được là dương hay âm. Do đó ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp số: $- \frac{1}{{27}}.$

Do đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $A\left( {2; - 2} \right)$ nên $x = 2$ và $y = - 2$ thỏa mãn hàm số $y = ax + b,$ tức là $- 2 = a \cdot 2 + b$ hay $2a + b = - 2$.

Do đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $B\left( { - 1;3} \right)$ nên $x = - 1$ và $y = 3$ thỏa mãn hàm số $y = ax + b,$ tức là $3 = a \cdot \left( { - 1} \right) + b$ hay $- a + b = 3$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 2\\ - a + b = 3\end{array} \right.$.

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

$3a = - 5$, suy ra $a = - \frac{5}{3}$.

Thay $a = - \frac{5}{3}$ vào phương trình $- a + b = 3$, ta được:

$- \left( { - \frac{5}{3}} \right) + b = 3$, suy ra $b = \frac{4}{3}$.

Như vậy $a = \frac{{ - 5}}{3}$; $b = \frac{4}{3}$ là giá trị cần tìm.

Ta có ${\left( {a + b} \right)^3} = {\left( { - \frac{5}{3} + \frac{4}{3}} \right)^3} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3} = - \frac{1}{{27}}.$

Vậy lập phương của tổng $a$ và $b$ bằng $- \frac{1}{{27}}.$

Chú ý: Bài toán này không cần trình bày chi tiết lời giải nên ta có thể sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 2\\ - a + b = 3\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp số: $x \in \mathbb{R}.$

Giải bất phương trình:

$$2{,}3x - 2\left( {0{,}7 + 2x} \right) < 3{,}6 - 1{,}7x$$

$$2{,}3x - 1{,}4 - 4x < 3{,}6 - 1{,}7x$$

$$- 1{,}4 - 1{,}7x < 3{,}6 - 1{,}7x$$

$0x < 5$.

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x \in \mathbb{R}.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: $S = 4{a^2}\sin \alpha \cdot \cos \alpha .$

Kẻ đường cao $AM$ của tam giác $ABC.$

⦁ Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M$, ta có:

$BM = AB \cdot \cos B = 2a \cdot \cos \alpha$ và $AM = AB \cdot \sin B = 2a \cdot \sin \alpha .$

⦁ Xét $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường đường cao nên đồng thời là trung tuyến của tam giác hay $M$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra $BC = 2BM = 2 \cdot 2a \cdot \cos \alpha = 4a \cdot \cos \alpha$.

Diện tích tam giác $ABC$ là:

$S = \frac{1}{2}AM \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \left( {2a \cdot \sin \alpha } \right) \cdot \left( {4a \cdot \cos \alpha } \right) = 4{a^2}\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Gọi $x{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng axit $X$ có trong dung dịch $A$ và $y{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng dung dịch chất $A$ $\left( {y > x > 0} \right)$.

Khi thêm $1$ kg nước vào dung dịch $A$ thì được dung dịch $B$ có khối lượng là: $y + 1{\rm{\;(kg)}}$.

Theo bài, nồng độ của dung dịch $B$ là $20\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{y + 1}} \cdot 100\% = 20\%$ hay $5x = y + 1$ suy ra $5x - y = 1$ (1)

Khi thêm $1$ kg axit vào dung dịch $B$ thì được dung dịch $C$ có khối lượng là: $y + 1 + 1 = y + 2{\rm{\;(kg)}}$ và khối lượng axit $X$ có trong dung dịch lúc này là $x + 1{\rm{\;(kg)}}$

Theo bài, nồng độ của dung dịch $C$ là $33\frac{1}{3}\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{{x + 1}}{{y + 2}} \cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\%$ hay $3\left( {x + 1} \right) = y + 2$ suy ra $3x - y = - 1$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 1\\3x - y = - 1\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2x = 2,$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn).

Thay $x = 1$ vào phương trình $5x = y + 1$ ta được:

$5 \cdot 1 = y + 1$, suy ra $y = 4$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ axit của dung dịch $A$ là: $\frac{x}{y} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% .$

Hướng dẫn giải

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ bên.

Khoảng cách từ gốc cây đến điểm bị gãy là $AB.$

Khoảng cách từ điểm thân tre bị gãy đến ngọn cây là $BC.$

Khoảng cách từ ngọn cây chạm đất đến gốc là $AC.$

Đặt độ dài $BC = x{\rm{\;(m)}}\,\,\left( {0 < x < 9} \right)$.

Suy ra: $AB = 9 - x.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có: $AB = BC \cdot \cos B$

Suy ra $9 - x = x \cdot \cos 32^\circ$

$9 - x \approx 0{,}85x$

$1{,}85x \approx 9$

$$x \approx 4{,}9{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$$

Vậy điểm gãy cách gốc khoảng 4,9 m.

Hướng dẫn giải

1. Do $\frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{2}$ nên $AH = 2HD$

Suy ra $AD = AH + HD = 2HD + HD = 3HD.$

Ta có $HD = \frac{1}{2}HA = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1{\rm{\;(cm)}}$ và $AD = 3HD = 3 \cdot 1 = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có:

⦁ $\tan B = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{3}{2},$ từ đó ta tìm được $\widehat {B\,} \approx 56^\circ 19'$.

⦁ $A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = {3^2} + {2^2} = \sqrt {13} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta HBD$ vuông tại $D$ ta có:

$\tan \widehat {HBD} = \frac{{HD}}{{BD}} = \frac{1}{2},$ từ đó ta tìm được $\widehat {B\,} \approx 26^\circ 34'$.

Suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {B\,} - \widehat {HBD} \approx 56^\circ 19' - 26^\circ 34' = 29^\circ 45'$.

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $E$ ta có:

$BE = AB \cdot \cos \widehat {ABE} \approx \sqrt {13} \cdot \cos 29^\circ 45' \approx 3{,}1{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

2. Xét $\Delta HBD$ và $\Delta CAD$ có:

$\widehat {HDB} = \widehat {CDA} = 90^\circ$ và $\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (do hai góc này cùng cộng với $\widehat {C\,}$ bằng $90^\circ )$

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{HD}}{{CD}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) hay $BD \cdot CD = HD \cdot AD$.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$ ta có: $\tan C = \frac{{AD}}{{CD}}.$

Khi đó $\tan B \cdot \tan C = \frac{{AD}}{{BD}} \cdot \frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{A{D^2}}}{{BD \cdot CD}} = \frac{{A{D^2}}}{{HD \cdot AD}} = \frac{{AD}}{{HD}} = \frac{{3HD}}{{HD}} = 3.$