Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \frac{{x + 1}}{x} - \frac{1}{{x - 2}}$ là $x \ne 0$ và $x - 2 \ne 0,$ hay $x \ne 0$ và $x \ne 2$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0.$

Phương trình $\frac{1}{x} + 2y = - 3$ không có dạng trên, có chứa ẩn $x$ dưới mẫu thức nên đây không phải phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

Trên màn hình cho kết quả $x = - 21,$ ta bấm tiếp phím màn hình cho kết quả $y = 15.$

Vậy cặp số $\left( { - 21;\,\,15} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Cách 2. Thay $x = 1;\,\,y = 1$ vào hệ phương trình đã cho, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5\,\,\left( { \ne 3} \right)\\ - 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = - 9\,\,\left( { \ne 9} \right)\end{array} \right..$

Tương tự, thay giá trị của $x$ và $y$ lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số $\left( { - 21;\,\,15} \right)$ là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số $\left( { - 21;\,\,15} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Cách 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $2,$ ta được hệ phương trình mới $\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 6\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $y = 15.$

Thay $y = 15$ vào phương trình $2x + 3y = 3,$ ta được:

$2x + 3 \cdot 15 = 3,$ hay $2x + 45 = 3,$ suy ra $2x = - 42,$ nên $x = - 21.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( { - 21;\,\,15} \right).$

Đáp án đúng là: C

Ta có:

⦁ Do $5 > 3$ nên $5a > 3a$ khi $a > 0$ và $5a < 3a$ khi $a < 0$. Do đó phương án A và B là sai.

⦁ $5 > 3$ nên $5 + a > 3 + a.$ Do đó phương án C là đúng.

⦁ Do $- 3 > - 6$ nên $- 3a > - 6a$ khi $a > 0$. Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình $2y \ge 10 - y$.

Bất phương trình $3 - \frac{2}{y} < 0$ có chứa ẩn $y$ dưới mẫu, bất phương trình $\frac{1}{2}x - y \le 3$ có hai ẩn $x$ và $y$, bất phương trình $1 + 0y > 5$ có hệ số $a = 0$ nên những bất phương trình này không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án đúng là: A

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Với $\alpha + \beta = 90^o ,$ ta có: $\sin \alpha = \cos \beta ;\,\,\cos \alpha = \sin \beta ;\,\,\tan \alpha = \cot \beta ;\,\,\cot \alpha = \tan \beta .$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Tam giác $MNP$ vuông tại $M$, ta có:

⦁ góc $P$ là góc nhọn nên $\tan P \cdot \cot P = 1$;

⦁ $\widehat {N\,} = 90^o - \widehat {P\,} = 90^o - 30^o = 60^\circ$;

⦁ $MN = MP \cdot \tan P = 4 \cdot \tan 30^o = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$;

⦁ $MP = NP \cdot \cos P,$ suy ra $NP = \frac{{MP}}{{\cos P}} = \frac{4}{{\cos 30^o }} = \frac{4}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}.$

Vậy phương án B là nhận định sai, ta chọn phương án B.

1. Vì đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua hai điểm $A\left( {1;\,\, - 1} \right)$ và $B\left( {4;\,\,5} \right)$ nên thay lần lượt từng cặp giá trị $x,\,\,y$ vào hàm số, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 = a \cdot 1 + b\\5 = a \cdot 4 + b\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 1\\4a + b = 5.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ phương trình trên, ta được:

$3a = 6,$ suy ra $a = 2.$

Thay $a = 2$ vào phương trình $a + b = - 1,$ ta được:

$2 + b = - 1,$ suy ra $b = - 3.$

Vậy hàm số cần tìm là $y = 2x - 3.$

2. Gọi $x$ (km/h) là vận tốc dự định của ôtô và $y$ (giờ) là thời gian dự định của ôtô để đi hết quãng đường AB $\left( {x > 10,\,\,y > 0} \right).$

– Quãng đường AB là $xy$ (km).

– Nếu ôtô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: $x + 10$ (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: $y - 3$ (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: $\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right)$ (giờ).

Ta có phương trình: $\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy$

$xy - 3x + 10y - 30 = xy$

$- 3x + 10y = 30$ (1)

– Nếu ôtô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi muộn hơn so với dự định là 5 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: $x - 10$ (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: $y + 5$ (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: $\left( {x + 10} \right)\left( {y + 5} \right)$ (giờ).

Ta có phương trình: $\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy$

$xy + 5x - 10y - 50 = xy$

$5x - 10y = 50$ (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 10y = 30\\5x - 10y = 50\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: $2x = 80,$ suy ra $x = 40$ (thỏa mãn).

Thay $x = 40$ vào phương trình (1), ta được:

$- 3 \cdot 40 + 10y = 30$ hay $10y = 150,$ suy ra $y = 15$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dự định của ôtô là 40 (km/h) và thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là 15 (giờ).

a) $A = \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \cos 23^\circ - \cos 55^\circ$

$= \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \sin \left( {90^\circ - 23^\circ } \right) - \sin \left( {90^\circ - 55^\circ } \right)$

$= \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \sin 67^\circ - \sin 35^\circ = 0.$

Vậy $A = 0.$

b) $B = \cot 20^\circ \cdot \cot 40^\circ \cdot \cot 50^\circ \cdot \cot 70^\circ$

$= \cot 20^\circ \cdot \cot 40^\circ \cdot \tan \left( {90^\circ - 50^\circ } \right) \cdot \tan \left( {90^\circ - 70^\circ } \right)$

$= \cot 20^\circ \cdot \cot 40^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 20^\circ$

$= \left( {\cot 20^\circ \cdot \tan 20^\circ } \right) \cdot \left( {\cot 40^\circ \cdot \tan 40^\circ } \right)$

$= 1 \cdot 1 = 1.$

Vậy $B = 1.$

Đổi $1{,}221{\rm{\;km}} = 1\,\,221{\rm{\;m}}.$

a) Do $Bx\,{\rm{//}}\,AC\;$ nên $\widehat {ACB} = \widehat {CBx}$ (so le trong).

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $AB = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {ACB} = 1\,\,221 \cdot {\rm{tan}}25^\circ \approx 569{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiều cao của đài quan sát khoảng: $3 + 569 = 572$ (m).

b) Đổi: $60$ km/h $= 1{\rm{ }}000$ m/phút.

Do $Bx\,{\rm{//}}\,AC\;$ và $AB \bot AC$ nên ta có $\widehat {ABx} = \widehat {BAC} = 90^\circ .$

Quãng đường $CD$ là: $CD = 1{\rm{ }}000 \cdot 1 = 1{\rm{ }}000$ (m).

Do đó: $AD = AC - CD = 1{\rm{ }}221\; - 1{\rm{ }}000 = 221$ (m).

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có: ${\rm{tan}}\widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}} \approx \frac{{221}}{{569}}.$ Suy ra $\widehat {ABD} \approx 21^\circ 14'.$

Mà $\widehat {DBx} + \widehat {ABD} = \widehat {ABx} = 90^\circ .$

Suy ra $\alpha = \widehat {DBx} = 90^\circ - \widehat {ABD} \approx 90^\circ - 21^\circ 14' = 68^\circ 46'.$

c) Vì $\Delta ABD$ vuông tại $A$ nên $AB = BD \cdot {\rm{cos}}\widehat {ABD}.$

Suy ra $BD = \frac{{AB}}{{{\rm{cos}}\widehat {ABD}}} \approx \frac{{569}}{{{\rm{cos}}\,21^\circ 14'}} \approx 610{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy khoảng cách từ mắt người quan sát đến vị trí $D$ khoảng $610$ mét.

Giải bất phương trình:

$$\frac{{x - ab}}{{a + b}} + \frac{{x - bc}}{{b + c}} + \frac{{x - ac}}{{a + c}} > a + b + c$$

$$\frac{{x - ab}}{{a + b}} + \frac{{x - bc}}{{b + c}} + \frac{{x - ac}}{{a + c}} - a - b - c > 0$$

$$\left( {\frac{{x - ab}}{{a + b}} - c} \right) + \left( {\frac{{x - bc}}{{b + c}} - a} \right) + \left( {\frac{{x - ac}}{{a + c}} - b} \right) > 0$$

$$\left( {\frac{{x - ab - ac - bc}}{{a + b}}} \right) + \left( {\frac{{x - bc - ab - ac}}{{b + c}}} \right) + \left( {\frac{{x - ac - ab - bc}}{{a + c}}} \right) > 0$$

$\left( {x - ab - ac - bc} \right)\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + c}}} \right) > 0$ (*)

Nhận thấy $\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + c}} > 0$ với $a,\,\,b,\,\,c > 0$.

Do đó, từ (*) ta suy ra $x - ab - ac - bc > 0$ suy ra $x > ab + bc + ac$$\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0} \right)$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > ab + bc + ac$ với $\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0} \right)$.