Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f(x)$ ta có hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right).$

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực tiểu của hàm số bằng $- 5.$

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$, ta có điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là $\left( { - 1; - 1} \right).$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $y = {x^3} - 3x$ $\Rightarrow y' = 3{x^2} - 3.$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y = {x^3} - 3x$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right).$

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số $y = 2\sqrt x - x$:

Tập xác định $D = \left[ {0; + \infty } \right)$.

Ta có $y' = \frac{1}{{\sqrt x }} - 1 = \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}$, $\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Bảng biến thiên của hàm số trên $D = \left[ {0; + \infty } \right)$ như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 4$ $\Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2.\end{array} \right.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, hàm số có giá trị cực đại bằng $4$ tại $x = 0$ và đạt giá trị cực tiểu bằng $0$ tại $x = 2.$

Vậy hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số là: $4 - 0 = 4.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $G\left( x \right) = 0{,}025{x^2}\left( {30 - x} \right) = 0{,}75{x^2} - 0{,}025{x^3}$, $\left( {x > 0} \right)$.

$G'\left( x \right) = 1{,}5x - 0{,}075{x^2}$

$G'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 20\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân nằm trong khoảng $\left( {0;20} \right)$ thì huyết áp bệnh nhân tăng.

Đáp án đúng là: C

Xét trên đoạn $\left[ { - 2;4} \right]$, hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng $7$ và đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- 4$.

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $\left[ { - 2;4} \right]$ bằng$7 + \left( { - 4} \right) = 3.$

Đáp án đúng là: A

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

$M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = - 1$ khi $x = - 1$ hoặc $x = 2.$

$m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = - 5$ khi $x = - 2$ hoặc $x = 1.$

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị hàm số, ta thấy: $\left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} f\left( x \right) = 3\\m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} f\left( x \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow M.m = 3.\left( { - 2} \right) = - 6.$

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho liên tục trên $\left[ {0;3} \right]$.

Ta có $y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0$ với $\forall x \in \left[ {0;3} \right]$.

Ta được: $y\left( 0 \right) = - 1,y\left( 3 \right) = \frac{1}{2}$.

Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = - 1.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $f'\left( x \right) = 2\left( {{x^2} - 2} \right){e^{2x}} + 2x{e^{2x}} = 2\left( {{x^2} + x - 2} \right){e^{2x}}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]\\x = - 2 \notin \left[ { - 1;2} \right]\end{array} \right.$

Và $f\left( { - 1} \right) = - {e^{ - 2}};f\left( 2 \right) = 2{e^4};f\left( 1 \right) = - {e^2}.$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right){e^{2x}}$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ bằng $- {e^2}$ tại $x = 1.$

Đáp án đúng là: B

Đặt $t = {\sin ^2}x$, $0 \le t \le 1$ $\Rightarrow f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 5$$\Rightarrow$$f'\left( t \right) = 2t - 4$.

$f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \notin \left[ {0;1} \right]$.

Ta có: $f\left( 0 \right) = 5,f\left( 1 \right) = 2$. Vậy $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = 2,\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = 5$.

Đáp án đúng là: A

Vận tốc của chuyển động là: $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 3{t^2} + 12t + 10.$

Gia tốc của chuyển động là: $a\left( t \right) = v'\left( t \right) = {t^2} - 6t + 12 = {\left( {t - 3} \right)^2} + 3.$

Nhận thấy ${t^2} - 6t + 12 = {\left( {t - 3} \right)^2} + 3 \ge 3$.

Dấu xảy ra khi $t = 3$.

Vậy gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = 3\left( s \right)$.

Khi đó vận tốc của vật bằng: $v\left( 3 \right) = 28\left( {m/s} \right).$

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty$ nên $x = 0$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1$ nên $y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 3$ nên $y = 3$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2x - 2}}{{x + 1}} = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x + 1}} = + \infty$ nên đường thẳng $x = - 1$là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án A, B, C, D, ta thấy:

Ở đáp án C, hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty .\end{array} \right.$

Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}$ không có tiệm cận ngang.

Đáp án đúng là: D

Để đồ thị $\left( C \right)$ nhận điểm $I\left( {2;1} \right)$ là tâm đối xứng thì đồ thị $\left( C \right)$ phải có đường tiệm cận đứng $x = 2.$

Do đó $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 3}}$.

Xét $2f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{3}{2}$.

Từ bảng biến thiên nhận thấy phương trình $f\left( x \right) = - \frac{3}{2}$ có hai nghiệm phân biệt${x_1} \in \left( { - \infty ;0} \right),$${x_2} \in \left( {0;1} \right)$.

Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 3}}$ có hai đường tiệm cận đứng.

Đáp án đúng là: B

Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì ${x^2} - 2mx + 1 = 0$ vô nghiệm.

Do đó $\Delta ' = {m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1.$

Đáp án đúng là: D

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ${d_1}:x = 1$ và tiệm cận ngang ${d_2}:y = 2.$

Giả sử $M\left( {{x_0};\frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 1}}} \right) \in \left( C \right)$ với ${x_0} \ne 1.$

Ta có: $d\left( {M,{d_1}} \right) = \left| {{x_0} - 1} \right|$; $d\left( {M,{d_2}} \right) = \left| {\frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right| = \frac{1}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}.$

Theo đề bài, ta có: $\left| {{x_0} - 1} \right| + \frac{1}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 2\left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{1}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 2$.

$\Leftrightarrow \left| {{x_0} - 1} \right| = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 0.\end{array} \right.$

Vậy có hai điểm $M$ thỏa mãn bài toán.

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y = {x^3} + x + 1$

$y' = 3{x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}.$

Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right).$ Chọn D.

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số $y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}$:

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$

Ta có: $y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}} = x + 2 + \frac{3}{{x - 1}}$

$y' = \frac{{{x^2} - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \\x = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận xiên $y = x + 2.$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 2 cực trị.

Quan sát các đồ thị đã cho, ta thấy đồ thị ở phương án A thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án A, B, C, D vào hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} - 1$, ta thấy đáp án A thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng $y = 0$ (trục hoành) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 4 điểm.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt khi $- \sqrt 2 < m < - 1.$

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$, ta có:

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\\x = 0\\x = b \in \left( {1;2} \right).\end{array} \right.$

Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ như sau:

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right).$

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: $D = \mathbb{R}.$

Ta có: $y' = 3{x^2} - 4x + m - 1$.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến tại $M$: $y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.$

Ta có: $k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 4{x_0} + m - 1$

$k' = 6{x_0} - 4$

$k' = 0 \Leftrightarrow {x_0} = \frac{2}{3} \Rightarrow k = \frac{{ - 7}}{3} + m.$

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ đây, hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ là ${k_{\min }} = \frac{{ - 7}}{3} + m$.

Tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng $d:y = 3x + 2024$ khi và chỉ khi

${k_{\min }} = \frac{{ - 1}}{{{k_d}}} = \frac{{ - 1}}{3}$ $\Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{3} + m = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow m = 2.$

Đáp án đúng là: A

Có 3 vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {BC}$, đó là: $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A'D'} ,\overrightarrow {B'C'}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $EG\,{\rm{//}}\,AC$ (do $ACGE$ là hình chữ nhật).

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).$

Mà theo giả thiết, ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$ $\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 1 \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ .$

Đáp án đúng là: B

Gọi $M$ là trung điểm $CD$ $\Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} .$

Ta có: $\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right).$

$= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).$

Đáp án đúng là: D

Vì $BB'C'C$ là hình bình hành nên

$\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AA'} .$

$= - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC}$

$= - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$

$= - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c .$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {A'A} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$$= \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A'D'} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {A'D'} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AB}$$

$= 0 - {\left( {\overrightarrow {AB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AD} } \right)^2} - 0 + 0 - 0 = 0$.

(Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = AD$).

Vậy $\overrightarrow {A'C} \bot \overrightarrow {BD}$ hay góc giữa $\overrightarrow {A'C}$ và $\overrightarrow {BD}$ bằng $90^\circ .$

Đáp án đúng là: B

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: $AH = A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ và $AH \bot BC,A'H \bot BC$ $\Rightarrow BC \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow BC \bot AA'$ hay $BC \bot BB'$. Do đó, $BCC'B'$ là hình chữ nhật.

Khi đó, $CC' = AA' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$ $\Rightarrow BM = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}.6}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt {22} }}{4}$.

Xét $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AA'} .\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CM} } \right) = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {CM} = 0 + \left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {CM} } \right|.\cos 0^\circ = \frac{{3{a^2}}}{4}.$

Suy ra $\cos \alpha = \cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BM} }}{{\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BM} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{a\sqrt {22} }}{4}}} = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}.$

Với $m = - 4$, ta có: $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}}$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} = + \infty .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} = - \infty .$

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} = - \infty ,$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} = + \infty$, do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = 1$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{x - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x - 4}}{{x - 1}} = - 2$.

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = x - 2$ làm tiệm cận xiên.

Ta có: $y' = \frac{{{x^2} - 2x + 7}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D.$

Từ đây ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right).$

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left( {0;4} \right).$

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $\left( {4;0} \right),\left( { - 1;0} \right).$

Đồ thị đi qua các điểm $\left( { - 2; - 2} \right);\left( {2; - 6} \right);\left( {3; - 2} \right);\left( {5;\frac{3}{2}} \right)$.

Đồ thị nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y = x - 2$ làm tiệm cận xiên.

Ta có đồ thị hàm số:

Với $m = 2$, ta có: $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$

Ta có: $y' = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 1 > 0,\forall x \in D.$

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {2;3} \right]$.

Xét trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$, ta tính được các giá trị sau: $y\left( 2 \right) = 0,y\left( 3 \right) = 1.$

Vậy với $m = 2$, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$ bằng $1$ và giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$ bằng $0.$

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} + {{\overrightarrow {BD} }^2}} \right)$

$= \frac{1}{4}\left( {2{a^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \right).$

Mà: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}$

$= \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos 60^\circ - \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos 60^\circ = 0.$

Suy ra ${\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = \frac{1}{4}.2{a^2} = \frac{{{a^2}}}{2}$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

Ta có: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{{a^2}}}{2}.$

Khi đó, $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {MN} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {MN} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Vậy $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {MN} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Gọi $x$ là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng $\left( {30000 \le x \le 50000} \right)$, đơn vị: đồng.

Theo đề ta có:

Nếu bán với giá $50000$ đồng thì bán được $40$ quả bưởi

Giảm giá $5000$ đồng thì bán được thêm $50$ quả.

Giảm giá $50000 - x$ thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Khi đó, số quả bưởi được bán thêm là: $\left( {50000 - x} \right)\frac{{50}}{{5000}} = \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right)$.

Do đó, số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán $x$:

$40 + \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}x + 540$.

Gọi $F\left( x \right)$ là hàm lợi nhuận thu được ($F\left( x \right)$: đồng).

Ta có: $F\left( x \right) = \left( {\frac{{ - 1}}{{100}}x + 540} \right)\left( {x - 30000} \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}{x^2} + 840x - 16200000$.

Lúc này, bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số:

$F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{100}}{x^2} + 840x - 16200000$ với $30000 \le x \le 50000$.

$F'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{50}}x + 840$

$F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{50}}x + 840 = 0 \Leftrightarrow x = 42000$.

Vì hàm $F\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {30000;\,50000} \right]$ nên ta có:

$F\left( {30000} \right) = 0$

$F\left( {42000} \right) = 1440000$

$F\left( {50000} \right) = 800000$.

Vậy với $x = 42000$ thì $F\left( x \right)$ đạt GTLN.

Vậy để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là $42000$ đồng.