Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 06

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$; nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = - 1$ và $x = 1$. Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực đại.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;7} \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2$ và hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $\left[ { - 5;7} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 2$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y = - 1$.

Đáp án đúng là: D

Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow v = \overrightarrow {B'A'} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {B'D}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow u = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - 7\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + \left( { - 7} \right)\overrightarrow k$.

Suy ra $\overrightarrow u = \left( {2;3; - 7} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Vì $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u$, mà $\overrightarrow u = \left( {1; - 6;2} \right)$ nên $\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 6;2} \right)$.

Suy ra tọa độ của điểm $A$ là $\left( {1; - 6;2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

TXĐ của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y' = - 3{x^2} + 6x - 6 = - 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 3 = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 3 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ và hàm số không có cực trị.

Đáp án đúng là: D

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $f'\left( x \right) = 4{x^3} - 24x$.

Trên khoảng $\left( {0;9} \right)$, $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt 6$.

$f\left( 0 \right) = - 1;\,f\left( {\sqrt 6 } \right) = - 37;\,f\left( 9 \right) = 5\,588$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;9} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 6 } \right) = - 37$.

Đáp án đúng là: A

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có: $y = \frac{{2{x^2} - x + 3}}{{2x + 1}} = x - 1 + \frac{4}{{2x + 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{2x + 1}} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{{2x + 1}} = 0$.

Vậy đường thẳng $y = x - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: A

Quan sát hình vẽ, ta thấy đây là dáng của đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất, do đó ta loại phương án B và D.

Mặt khác, ta thấy đường thẳng $x = 0$ (trục tung) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho, do vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC}$, suy ra $\left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {B'AC}$.

Lại có $AC = AB' = CB' = a\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 2a$ nên tam giác $ACB'$ là tam giác đều, suy ra $\widehat {B'AC} = 60^\circ$.

Vậy $\left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 60^\circ$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$. Vậy ý a) đúng.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Vậy ý b) sai.

– Trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$, ta có $1 > y$, tuy nhiên không tồn tại giá trị của $x$ để $y = 1$ nên hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất trên khoảng này. Do đó, ý c) sai.

– Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 2$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$ nên ta có hệ sau: $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{c}{b} = 2\\\frac{a}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 2b\\a = b\end{array} \right.$.

Khi đó, $a + b + c = b + b + \left( { - 2b} \right) = 0$.

Vậy ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

– Ta có $y' = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$; $y' = 0$ khi $x = - 2$ hoặc $x = 0$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$. Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$, ; đạt cực tiểu tại $x = - 2$, ${y_{CT}} = 5$.

Khi đó, điểm cực đại của đồ thị $\left( C \right)$ là $\left( {0;1} \right)$ thuộc trục tung. Vậy hai điểm cực trị của đồ thị $\left( C \right)$ không thể nằm ở hai phía đối với trục tung. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x = - 1$.

+) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $y = - x + 2$.

Vậy ý c) đúng.

– Đồ thị $\left( C \right)$ nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Với $x = - 1$ thì $y = - \left( { - 1} \right) + 2 = 3$.

Vậy điểm $I\left( { - 1;3} \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị $\left( C \right)$.

Do đó, ý d) đúng.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Vì $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ tam giác đều nên $\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {BB'}$.

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'}$. Vậy ý a) đúng.

– Ta có $ABB'A',\,\,BCC'B'$ là các hình chữ nhật có hai kích thước là $a$ và $a\sqrt 2$.

Do đó, $AB' = BC' = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 3$. Suy ra $\left| {\overrightarrow {AB'} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC'} } \right| = \sqrt 3$.

Vậy ý b) đúng.

– Ta có $\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)$

$= \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {CC'}$

$= - AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {BAC} + 0 + 0 + B{B'^2}$

$= - a \cdot a \cdot \cos 60^\circ + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}$$= \frac{{3{a^2}}}{2}$.

Suy ra $\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} \cdot \,\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right| \cdot \,\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 \cdot a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}$. Do đó, $\left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ$.

Vậy ý c) sai và ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {3; - 2; - 4} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j + \left( { - 4} \right)\overrightarrow k = 3\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k$.

Do đó, ý a) đúng.

– Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 3;0 - \left( { - 2} \right);5 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( { - 1;2;9} \right)$. Do đó, ý b) sai.

– Điểm $B\left( {2;0;5} \right)$ có hoành độ $x = 2 \ne 0$, tung độ $y = 0$ và cao độ $z = 5 \ne 0$ nên điểm $B$ nằm trong mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$. Do đó, ý c) đúng.

– Gọi tọa độ điểm $C$ là $\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$, ta có $\overrightarrow {AC} = \left( {{x_C} - 3;{y_C} + 2;{z_C} + 4} \right)$.

Khi đó, $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow u$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 3 = 1\\{y_C} + 2 = 3\\{z_C} + 4 = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4\\{y_C} = 1\\{z_C} = - 11\end{array} \right.$. Vậy $C\left( {4;1; - 11} \right)$.

Do đó, ý d) đúng.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 9$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$; đạt cực tiểu tại $x = 3$.

Suy ra $a = 1,b = 3$. Vậy $A = 2a + b = 5$.

Đáp số: $5$.

Vận tốc tức thời của chất điểm là $v = s' = - \pi \sin \left( {2\pi t} \right)$.

Gia tốc tức thời của chất điểm là $a = v' = - 2{\pi ^2}\cos \left( {2\pi t} \right)$.

Ta có: $- 1 \le \cos \left( {2\pi t} \right) \le 1$$\Leftrightarrow - 2{\pi ^2} \le - 2{\pi ^2}\cos \left( {2\pi t} \right) \le 2{\pi ^2}$ với mọi $t$.

Tức là $- 2{\pi ^2} \le a \le 2{\pi ^2}$. Vậy ${a_{\max }} = 2{\pi ^2} \approx 19{,}7$ với $\cos \left( {2\pi t} \right) = - 1 \Rightarrow t = \frac{1}{2} + k,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy gia tốc lớn nhất của chất điểm bằng khoảng $19{,}7$ m/s2.

Đáp số: $19{,}7$.

Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,\,BD$.

Khi đó, ta có $\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{AF}}{{AN}} = \frac{2}{3}$ (tính chất trọng tâm). Suy ra $EF\,{\rm{//}}\,MN$ và $EF = \frac{2}{3}MN$.

Vì hai vectơ $\overrightarrow {EF}$ và $\overrightarrow {MN}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {EF} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN}$. (1)

Lại có $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $MN\,{\rm{//}}\,CD$ và $MN = \frac{1}{2}CD$.

Vì hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}$. Do đó, $a = 1,b = 3$. Vậy $M = a - b = - 2$.

Đáp số: $- 2$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right),\,\,\overrightarrow {MC} = \left( { - 2 - a;3 - b;3 - c} \right)$.

Tứ giác $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - a = 1\\3 - b = - 3\\3 - c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 6\\c = - 1\end{array} \right.$.

Suy ra $P = {a^2} + {b^2} - {c^2} = {\left( { - 3} \right)^2} + {6^2} - {\left( { - 1} \right)^2} = 44$.

Đáp số: $44$.

Tại thời điểm $t$ (giờ) sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là $d$. Khi đó, tàu $A$ đang ở vị trí ${A_1}$ và tàu $B$ đang ở vị trí ${B_1}$ như hình vẽ trên.

Ta có: ${d^2} = AB_1^2 + AA_1^2 = {\left( {5 - B{B_1}} \right)^2} + AA_1^2 = {\left( {5 - 7t} \right)^2} + {\left( {6t} \right)^2}$.

Suy ra $d = \sqrt {85{t^2} - 70t + 25}$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = \sqrt {85{t^2} - 70t + 25}$ với $t > 0$.

Ta có $f'\left( t \right) = \frac{{170t - 70}}{{2\sqrt {85{t^2} - 70t + 25} }};\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{7}{{17}}$.

Bảng biến thiên của hàm số $f\left( t \right)$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = \frac{{6\sqrt {85} }}{{17}}$ tại $t = \frac{7}{{17}}$.

Vậy sau $\frac{7}{{17}} \approx 0{,}4$ giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất.

Đáp số: $0{,}4$.

Từ giả thiết, ta suy ra được:

$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b ;\,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$; $\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Giả sử lực tổng hợp là $\overrightarrow m$, tức là $\overrightarrow m = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c$.

Khi đó, ${\overrightarrow m ^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2}$$= {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 2\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c + 2\overrightarrow c \cdot \overrightarrow a$

$= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} + 0 + 2\left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) + 2\left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow a } \right)$

$= {10^2} + {10^2} + {20^2} + 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }}$

$= 600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}$.

Suy ra ${\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\overrightarrow m ^2} = 600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}$. Do đó, $\left| {\overrightarrow m } \right| = \sqrt {600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}} \approx 32{,}6$.

Vậy độ lớn hợp lực của các lực $\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c$ bằng khoảng $32{,}6$ N.

Đáp số: $32{,}6$.