Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 01

Đáp án đúng là: C

Từ bảng biến thiên, ta thấy: Trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$, $f'\left( x \right) > 0$, do đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng này.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x = 0$ nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$, giá trị cực tiểu ${f_{CT}} = 2$.

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ { - 1;\,3} \right]$ bằng $3$, đạt được tại $x = 3$.

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị, ta thấy: Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng $x = 0$ (trục hoành), đường tiệm cận ngang $y = - 1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{{10}}{{x + 2}}} \right) = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{{10}}{{x + 2}}} \right) = 0$.

Do đó, đường thẳng $y = x + 4$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số đã cho nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Dựa vào đồ thị, ta thấy, giao điểm này có tọa độ là $\left( {2;\,2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$.

Đáp án đúng là: B

TXĐ của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Ta có: $y' = 1 + \frac{1}{{{x^2}}}$; $y' > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {0;\, + \infty } \right)$.

Vậy đáp án B sai.

Đáp án đúng là: C

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có: $y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$. Khi đó, trên khoảng $\left( {2;\,\,4} \right)$, $y' = 0$ khi $x = 3$.

$y\left( 2 \right) = 7;\,\,y\left( 3 \right) = 6;\,\,y\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3}$.

Từ đó suy ra $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;\,4} \right]} y = y\left( 3 \right) = 6$.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$ và tiệm cận ngang là $y = 1$, do vậy ta loại hai đáp án là C và D.

Xét đáp án A có $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$, do đó đồ thị hàm số này đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng này, vậy loại đáp án A và chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có đồ thị cắt trục tung tại ${y_0} > 0$, suy ra $d > 0$.

Từ đồ thị, ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$, do đó hệ số $a > 0$.

Ta có $y' = 3a{x^2} + 2bx + c$.

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nên phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$ (giả sử ${x_1} < {x_2}$) thỏa mãn:

${x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow \frac{b}{a} < 0 \Rightarrow b < 0$;

${x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} < 0 \Rightarrow c < 0$.

Vậy $a > 0,\,b < 0,\,c < 0,\,d > 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$.

Suy ra $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}^2}}}{2} = \frac{{{4^2} + {3^2} - {4^2}}}{2} = \frac{9}{2}$.

Do đó, $\cos \alpha = \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{4 \cdot 3}} = \frac{3}{8}$, suy ra $\alpha \approx 68^\circ$.

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {1;\, + \infty } \right)$. Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$; đạt cực tiểu tại $x = 1$. Do đó, ý b) đúng.

– Ta có $- 2 < f\left( x \right)$ nhưng không tồn tại giá trị của $x$ để $f\left( x \right) = - 2$ nên hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất, vậy ý c) sai.

– Vì $- 2 < - \frac{3}{2} < - 1$ nên từ bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng $y = - \frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 1 điểm. Do đó, phương trình $f\left( x \right) = - \frac{3}{2}$ có duy nhất 1 nghiệm. Vậy ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{x + 1}} = x + 3 + \frac{4}{{x + 1}}$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

– Ta có $y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$; $y' = 0$ khi $x = - 3$ hoặc $x = 1$.

Bảng biến thiên của hàm số:

– Hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left( { - \infty ; - 3} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$; nghịch biến trên từng khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$ và $\left( { - 1;1} \right)$. Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 1$, ${y_{CT}} = 6$; đạt cực đại tại . Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$, tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 3$. Do đó, ý c) đúng.

– Giả sử đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là $\left( C \right)$.

Điểm $M\left( {x;\,y} \right) \in \left( C \right)$ có tọa độ nguyên khi $\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\\y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\\4\,\, \vdots \,\,\left( {x + 1} \right)\end{array} \right.$.

Vì Ư(4) = $\left\{ { \pm 1;\, \pm 2;\, \pm 4} \right\}$ nên ta có bảng sau:

Vậy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đi qua 6 điểm có tọa độ nguyên nên ý d) đúng.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

– Ta có: $\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC}$ nên $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC}$, do đó ý a) đúng.

– Ta có: $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'}$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AC'}$, do đó ý b) đúng.

– Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'}$, do đó:

$\left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {AA'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CC'} } \right)$.

Vậy ý c) đúng.

– Vì $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {B'A'}$ nên $\left( {\overrightarrow {B'C} ,\,\overrightarrow {BA} } \right) = \left( {\overrightarrow {B'C} ,\,\overrightarrow {B'A'} } \right) = \widehat {A'B'C}$.

Khi đó, $\overrightarrow {B'C} \cdot \overrightarrow {BA} = \left| {\overrightarrow {B'C} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {B'C} ,\,\overrightarrow {BA} } \right) = \left| {\overrightarrow {B'C} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \cos \widehat {A'B'C}$. Vậy ý d) sai.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Theo bài ra, ta có $AB = BC = a$ nên $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a$. Do đó, ý a) đúng.

– Ta có: $\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\,\overrightarrow {AB} } \right)$

$= \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \widehat {A'AB} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Do đó, ý b) sai.

– Ta có $\widehat {DAB} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 120^\circ$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABD$, ta có:

$DB = \sqrt {A{D^2} + A{B^2} - 2AD \cdot AB \cdot \cos \widehat {DAB}} = a\sqrt 3$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow {D'A'} + \overrightarrow {D'C'} = \overrightarrow {D'B'} = \overrightarrow {DB}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {D'A'} + \overrightarrow {D'C'} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = a\sqrt 3$. Vậy ý c) đúng.

– Ta có: $\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AD} = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right)$

$= \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \widehat {A'AD} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Khi đó, $\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AA'} \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} = {a^2}$.

Vậy ý d) đúng.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2\,024} \right\}$.

Ta có: $y' = \frac{{2\,024 - m}}{{{{\left( {x + 2\,024} \right)}^2}}}$.

Để hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó thì đạo hàm $y' > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2\,024} \right\}$, điều này xảy ra khi $2\,024 - m > 0$, tức là $m < 2\,024$.

Mà $m \in {\mathbb{Z}^ + }$, do đó $m \in \left\{ {1;\,2;\,...;\,2\,023} \right\}$. Vậy có $2\,023$ giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.

Đáp số: $2\,023$.

Đặt $t = \cos x \in \left[ { - 1;\,\,1} \right]$, khi đó $y = f\left( t \right) = 2{t^3} - \frac{9}{2}{t^2} + 3t + \frac{1}{2}$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = 2{t^3} - \frac{9}{2}{t^2} + 3t + \frac{1}{2}$ với $t \in \left[ { - 1;\,1} \right]$.

Ta có: $f'\left( t \right) = 8{t^2} - 9t + 3 = 8{\left( {t - \frac{9}{{16}}} \right)^2} + \frac{{15}}{{32}} > 0\,\,\forall t$.

Do đó, hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ { - 1;\,1} \right]$.

Suy ra $M = \max y = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 1$; $m = \min y = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { - 1} \right) = - 9$.

Vậy $3M - 2m = 3 \cdot 1 - 2 \cdot \left( { - 9} \right) = 21$.

Đáp số: $21$.

Đặt $\overrightarrow {PA} = x\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {BQ} = y\overrightarrow {BN}$.

Khi đó, $\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BQ} = x\overrightarrow {SA} + \left( {\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SA} } \right) + y\left( {\overrightarrow {SN} - \overrightarrow {SB} } \right)$

$= \left( {x - 1} \right)\overrightarrow {SA} + \left( {1 - y} \right)\overrightarrow {SB} + y\overrightarrow {SN}$$= \left( {x - 1} \right)\overrightarrow {SA} + \left( {1 - y} \right)\overrightarrow {SB} + \frac{y}{2}\overrightarrow {SC}$

$= \left( {x - 1} \right)\overrightarrow a + \left( {1 - y} \right)\overrightarrow b + \frac{y}{2}\overrightarrow c$.

Lại có $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SM} - \overrightarrow {SC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} } \right) - \overrightarrow {SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow c$.

Vì $PQ\,{\rm{//}}\,CM$ nên tồn tại số thực $k \ne 0$ sao cho $\overrightarrow {PQ} = k\overrightarrow {CM}$.

Suy ra $\frac{{x - 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{1 - y}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{y}{2}}}{{ - 1}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{4}{3}\end{array} \right.$.

Khi đó, $\overrightarrow {PQ} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{1}{3}\overrightarrow b + \frac{2}{3}\overrightarrow c$. Vậy $\frac{m}{n} + \frac{p}{q} + \frac{r}{z} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}3$.

Đáp số: $1{,}3$.

Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá $\left( {0 \le x \le 4} \right)$.

Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là $31 - x - 27 = 4 - x$ (triệu đồng).

Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là $600 + 200x$ (chiếc).

Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là:

$L\left( x \right) = \left( {4 - x} \right)\left( {600 + 200x} \right) = - 200{x^2} + 200x + 2\,400$ (triệu đồng).

Xét hàm số $L\left( x \right) = - 200{x^2} + 200x + 2\,400$ trên đoạn $\left[ {0;\,4} \right]$.

Ta có $L'\left( x \right) = - 400x + 200$. Trên khoảng $\left( {0;\,4} \right)$, $L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$.

$L\left( 0 \right) = \,2\,400;\,\,L\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2\,450;\,\,L\left( 4 \right) = 0$.

Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,4} \right]} L\left( x \right) = 2\,450$ tại $x = \frac{1}{2}$.

Vậy cần giảm giá mỗi chiếc xe $\frac{1}{2} = 0{,}5$ triệu đồng, tức là giá bán mới của mỗi chiếc xe là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất.

Đáp số: $30{,}5$.

Diện tích của đáy bể là: $S = \frac{V}{h} = \frac{{96\,\,000}}{{60}} = 1\,600$ cm2 $= 0{,}16$ m2.

Gọi chiều dài đáy của bể là $x$ (m, $x > 0$).

Chiều rộng đáy của bể là $\frac{{0{,}16}}{x}$ (m).

Chi phí để hoàn thành bể cá là:

$F\left( x \right) = 0{,}16 \cdot 100\,000 + 2 \cdot 0{,}6 \cdot x \cdot 70\,000 + 2 \cdot 0{,}6 \cdot \frac{{0{,}16}}{x} \cdot 70\,000$

$= 16\,000 + 84\,000x + \frac{{13\,440}}{x}$(đồng).

Xét hàm số $F\left( x \right) = 16\,000 + 84\,000x + \frac{{13\,440}}{x}$ với $x \in \left( {0;\, + \infty } \right)$.

Ta có: $F'\left( x \right) = 84\,000 - \frac{{13\,440}}{{{x^2}}}$. Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, $F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0{,}4$.

Bảng biến thiên của hàm số $F\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} F\left( x \right) = F\left( {0{,}4} \right) = 83\,200$.

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là $83\,200$ đồng = $83{,}2$ nghìn đồng.

Đáp số: $83{,}2$.

Gọi $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}}$ lần lượt là ba lực tác động vào một vật đặt tại điểm $O$ như hình vẽ dưới đây.

Ta có: $\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {OC}$.

Độ lớn các lực: ${F_1} = OA = 15\,{\rm{N}}$, ${F_2} = OB = 12\,{\rm{N}}$, ${F_3} = OC = 9\,{\rm{N}}$.

Dựng hình bình hành $OADB$. Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB}$.

Suy ra ${\overrightarrow {OD} ^2} = {\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} = {\overrightarrow {OA} ^2} + {\overrightarrow {OB} ^2} + 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB}$.

Mà $\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = OA \cdot OB \cdot \cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} } \right)$, suy ra $O{D^2} = O{A^2} + O{B^2} + 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 120^\circ$.

Dựng hình bình hành $ODEC$.

Tổng lực tác động vào vật là $\overrightarrow F = \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC}$.

Độ lớn của hợp lực tác động vào vật là $F = OE$.

Vì $OC \bot \left( {OADB} \right)$ nên $OC \bot OD$, suy ra $ODEC$ là hình chữ nhật.

Do đó, tam giác $ODE$ vuông tại $D$.

Khi đó, $O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 120^\circ$

$= {9^2} + {15^2} + {12^2} + 2 \cdot 15 \cdot 12 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 270$.

Vậy $F = OE = \sqrt {270} \approx 16{,}4$ (N).

Đáp số: $16{,}4$.