Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 9

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$sđ(ON,OM)=sđ(ON,OA)+sđ(OA,OM)=25^{\circ}+50^{\circ}+k360^{\circ}=75^{\circ}+k360^{\circ},k\in ℤ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\tan x = \tan \left( {x - \pi } \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi $\alpha ,l,R$ lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường tròn.

Vì độ dài cung bằng một nửa bán kính nên ta có $l = \frac{R}{2}$.

Ta có: $l = R\alpha = \frac{R}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2}$ rad.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Công thức đúng là $\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\sin ^2}\left( {2\alpha } \right) + {\cos ^2}\left( {2\alpha } \right) = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì $A,B,C$ là các góc nhọn nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}0 < \sin A < 1;0 < \cos A < 1\\0 < \sin B < 1;0 < \cos B < 1\end{array} \right.$.

Mặt khác, $\left\{ \begin{array}{l}\cos A = \frac{4}{5}\\\cos B = \frac{5}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \frac{3}{5}\\\sin B = \sqrt {1 - {{\cos }^2}B} = \frac{{12}}{{13}}\end{array} \right.$

Mà $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ nên $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)$

$\Rightarrow \cos C = \cos \left[ {180^\circ - \left( {A + B} \right)} \right] = - \cos \left( {A + B} \right) = - \left( {\cos A.\cos B - \sin A.\sin B} \right)$

$= - \left( {\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{{13}} - \frac{3}{5} \cdot \frac{{12}}{{13}}} \right) = \frac{{16}}{{65}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $2\tan x + 3$ có nghĩa khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = x\cos 2x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Xét $f\left( x \right) = x\cos 2x$ có $f\left( { - x} \right) = - x.\cos \left( { - 2x} \right) = - x\cos 2x = - f\left( x \right)$

$\Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $- 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 3$

$$\Rightarrow - 2 \le 1 + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 4$$

Dấu xảy ra của bất đẳng thức $- 2 \le 1 + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)$ khi $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1$

$\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$2\sin \left( {\frac{\pi }{5} - x} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5} - x} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{5} - x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{5} - x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{30}} + k2\pi \\x = - \frac{{19\pi }}{{30}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ nên ta có:

$- \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{{30}} + k2\pi \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{{8\pi }}{{15}} \le k2\pi \le \frac{{7\pi }}{{15}} \Leftrightarrow - \frac{4}{{15}} \le k \le \frac{7}{{30}} \Rightarrow k = 0$ (vì $k \in \mathbb{Z}$).

$\Rightarrow x = \frac{\pi }{{30}}$.

$- \frac{\pi }{2} \le - \frac{{19\pi }}{{30}} + k2\pi \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{15}} \le k2\pi \le \frac{{17\pi }}{{15}} \Leftrightarrow \frac{1}{{15}} \le k \le \frac{{17}}{{30}} \Rightarrow$ không có $k$ nguyên nào thoả mãn.

Vậy phương trình có có 1 nghiệm $x = \frac{\pi }{{30}}$ trong khoảng $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì $- 1 \le \cos 2x \le 1$ nên phương trình có nghiệm khi $- 1 \le 1 - m \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Kết quả đúng là: ${u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}.2.4 = 8$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_n} = {3^n} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {3^{n + 1}} = {3.3^n}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${u_n} = \frac{{ - 2n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{ - 2\left( {n + 1} \right) + 3}}{{n + 1}} = - 2 + \frac{3}{{n + 1}}$.

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( { - 2 + \frac{3}{{n + 1 + 1}}} \right) - \left( { - 2 + \frac{3}{{n + 1}}} \right) = \frac{3}{{n + 2}} - \frac{3}{{n + 1}} = - \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} < 0$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}$.

Do đó $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy giảm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d = {u_2} - {u_1} = 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 1\end{array} \right.$.

$\Rightarrow$ số hạng tổng quát của $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right).1 = n$.

Khi đó ${u_{10}} = 10$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì $5;x;15$ tạo thành cấp số cộng $\Rightarrow 15 - x = x - 5 \Leftrightarrow 2x = 20 \Leftrightarrow x = 10$.

Vì $x;15;y$ tạo thành cấp số cộng $\Rightarrow 15 - x = y - 15 \Leftrightarrow x + y = 30 \Rightarrow y = 30 - x = 20$.

$\Rightarrow 3x + 2y = 3.10 + 2.20 = 70$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {2{u_1} + 19d} \right) = 10\left( {3.2 + 19d} \right)$

$\Rightarrow d = \frac{1}{{19}}\left( {\frac{{{S_{20}}}}{{10}} - 6} \right) = \frac{1}{{19}}\left( {\frac{{440}}{{10}} - 6} \right) = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Các số hạng trong dãy giống nhau nên dãy số là cấp số nhân với ${u_1} = - 1$; $q = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}$.

Khi đó ${u_n} = \frac{1}{{{{10}^{2023}}}} \Leftrightarrow - {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{{10}^{2023}}}} \Leftrightarrow n - 1 = 2023 \Leftrightarrow n = 2024$.

Vậy $\frac{1}{{{{10}^{2023}}}}$ là số hạng thứ 2024.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân nên ta có: $\frac{{{u_7}}}{{{u_6}}} = \frac{{{u_6}}}{{{u_5}}} \Rightarrow u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_6} = \sqrt {{u_5}.{u_7}} = 6$.

Vậy ${u_6} = 6$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

A sai vì hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song với nhau.

B sai vì hai đường thẳng có thể song song với nhau.

C sai vì hai đường thẳng phân biệt không song song có thể cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có 6 mặt phẳng tạo thành: $\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right);\left( {SAD} \right);\left( {SBC} \right);\left( {SBD} \right);\left( {SCD} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì $O \in AC$ nên $SO \subset \left( {SAC} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi $N$ là trung điểm $CD$, khi đó $N \in BG$ (do $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$).

$\Rightarrow N \in \left( {GAB} \right)$, mà $N \in \left( {ACD} \right)$ nên $N$ là điểm chung giữa mặt phẳng $\left( {GAB} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.

Mà $A$ là điểm chung giữa mặt phẳng $\left( {GAB} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.

$\Rightarrow AN$ là giao tuyến giữa mặt phẳng $\left( {GAB} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hai đường thẳng song song thì chúng đồng phẳng hay hai đường thẳng này cùng nằm trên một mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Khi $a{\rm{//}}b$ thì tồn tại mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa cả $a$ và $b$.

Khi $a$ cắt $c$ thì tồn tại mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa cả $a$ và $c$.

Khi đó, nếu $\left( \alpha \right)$ trùng với $\left( \beta \right)$ thì $b$ cắt $c$, còn khi $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ là 2 mặt phẳng phân biệt thì $b,c$ là 2 đường thẳng chéo nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác $ABC$ có $M,N$ là trung điểm $BA,BC$ nên $MN$ là đường trung bình tam giác $ABC$, do đó $MN{\rm{//}}AC$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác $DAC$ có $M,Q$ lần lượt là trung điểm $AC,DC$ nên $MQ$ là đường trung bình tam giác $DAC \Rightarrow MQ{\rm{//}}AD$.

Trong tam giác $SAD$ có $T,R$ lần lượt là trung điểm $SD,SA$ nên $RT$ là đường trung bình tam giác $SAD \Rightarrow RT{\rm{//}}DA$.

$\Rightarrow RT{\rm{//}}MQ \Rightarrow$ bốn điểm $M,Q,T,R$ đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: ${v_n} = {u_n} + 3 \Rightarrow {v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 3$

Xét $\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}} + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4{u_n} + 9 + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4\left( {{u_n} + 3} \right)}}{{{u_n} + 3}} = 4 \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)$ là một cấp số nhân với công bội $q = 4$ và ${v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5$.

$\Rightarrow {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {5.4^{n - 1}}$.

Vậy cấp số nhân $\left( {{v_n}} \right)$ có số hạng tổng quát ${v_n} = {5.4^{n - 1}}$.

b) Gọi ${T_n}$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $\left( {{v_n}} \right)$ và ${S_n}$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$. Khi đó ${T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n}$ và ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$.

Ta có: ${T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_1} + 3} \right) + \left( {{u_2} + 3} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3} \right)$

$= \left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) + 3n = {S_n} + 3n$

$\Rightarrow {S_n} = {T_n} - 3n$

$\Rightarrow {S_{10}} = {T_{10}} - 3.10 = \frac{{{v_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} - 3.10 = \frac{{5\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} - 30 = 1747595$.

Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của $\left( {{u_n}} \right)$ là 1 747 595.

a) Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và $BI$, khi đó $SE$ nằm trên mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

Mà $IJ$ và $SE$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {SIB} \right)$, nên giao điểm của $IJ$ và $SE$ chính là giao điểm giữa $IJ$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

Vậy $K$ là giao điểm giữa $IJ$ và $SE$.

b) Gọi giao điểm giữa $AC$ và $BD$ là $F$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ lấy $DJ$ giao với $SF$ tại $L$.

Vì $SF$ nằm trên $\left( {SAC} \right)$ nên $L$ là giao điểm giữa $DJ$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

c) $K \in IJ \Rightarrow K \in \left( {OAJ} \right)$, mà $K \in \left( {SAC} \right)$ nên $K$ là điểm chung giữa 2 mặt phẳng $\left( {OAJ} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right) \Rightarrow$$K$ thuộc giao tuyến giữa 2 mặt phẳng này (1).

Tương tự, $L \in JD \Rightarrow L \in \left( {OAJ} \right)$, mà $L \in \left( {SAC} \right)$ nên $L$ thuộc giao tuyến giữa mặt phẳng $\left( {OAJ} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ (2).

Mặt khác, $M \in OJ \Rightarrow M \in \left( {OAJ} \right)$, mà $M \in SC \Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow M$ là điểm chung giữa mặt phẳng $\left( {OAJ} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, kết hợp $A$ là điểm chung giữa mặt phẳng $\left( {OAJ} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right) \Rightarrow AM$ là giao tuyến giữa mặt phẳng $\left( {OAJ} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $A,K,L,M$ thẳng hàng. (đpcm)

Hướng dẫn giải:

Ta có $\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x$

$\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 4{\sin ^2}x - 1$

$$\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right)$$

$$\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) - \left( {2\sin x + 1} \right)} \right] = 0$$

$$\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {3\cos 2x - \left( {m + 1} \right)} \right] = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\3\cos 2x - \left( {m + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\end{array} \right.$$

Xét $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$. Khi đó trong khoảng $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ có 1 nghiệm $x = \frac{\pi }{6}$. Như vậy, để phương trình có 3 nghiệm nằm trong khoảng $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ thì phương trình $\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}$ có 2 nghiệm khác $\frac{\pi }{6}$ trong khoảng $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$.

Xét hàm số $y = \cos 2x$ trong khoảng $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ có bảng biến thiên như sau:

Như vậy, để phương trình $\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}$ có 2 nghiệm phân biệt khác $\frac{\pi }{6}$ thì:

$\left\{ \begin{array}{l}0 \le \frac{{m + 1}}{3} < 1\\\frac{{m + 1}}{3} \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le m < 2\\m \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $m \in \left[ { - 1;2} \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$ thoả mãn đề bài.