Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $180^\circ = \pi \left( {{\rm{rad}}} \right) \Rightarrow 150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{5\pi }}{6}\left( {{\rm{rad}}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$${\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = {\tan ^2}\alpha + \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }} \ge 2\sqrt {{{\tan }^2}\alpha \cdot \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }}} = 2$$

$\Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \ne 1$, do đó B là đáp án sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì $\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha$ nên $\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{5}{{13}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\sin 3x.\sin x = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {3x - x} \right) - \cos \left( {3x + x} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {\cos 2x - \cos 4x} \right)$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức cộng lượng giác, ta có:

$\sin \left( {x - y} \right) = \sin x\cos y - \sin y\cos x$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}} = 1 \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$M = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \cos 36^\circ .\cos 86^\circ$

$= \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \cos \left( {90^\circ - 54^\circ } \right).\cos \left( {90^\circ - 4^\circ } \right)$

$= \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \sin 54^\circ .\sin 4^\circ$

$= \cos 54^\circ .\cos 4^\circ - \sin 54^\circ .\sin 4^\circ$

$= \cos \left( {54^\circ + 4^\circ } \right) = \cos 58^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = \cos x$ là hàm chẵn vì tập xác định của $y = \cos x$ là $\mathbb{R}$ và $\cos \left( { - x} \right) = \cos x$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: $\sin x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow$ tập xác định của hàm số $y = \frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}$ là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì $- 1 \le \sin x \le 1$ nên $1 \le 2 - \sin x \le 3$.

Dấu của bất đẳng thức $1 \le 2 - \sin x$ xảy ra khi $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Dấu của bất đẳng thức $2 - \sin x \le 3$xảy ra khi $\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy $m = 1$ và $M = 3 \Rightarrow S = 2m + M = 2 + 3 = 5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\cos \left( {5x - 45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x - 45^\circ = 30^\circ + k360^\circ \\5x - 45^\circ = - 30^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = 75^\circ + k360^\circ \\5x = 15^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15^\circ + k72^\circ \\x = 3^\circ + k72^\circ \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Vì ${x_0}$ là nghiệm âm nên ta có 2 trường hợp sau:

TH1: $x = 15^\circ + k72^\circ < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{{15}}{{72}} = - \frac{5}{{24}} \Rightarrow k \le - 1$, vì ${x_0}$ lớn nhất nên $k = - 1$.

$\Rightarrow {x_0} = - 57^\circ$.

TH1: $x = 3^\circ + k72^\circ < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{3}{{72}} = - \frac{1}{{24}} \Rightarrow k \le - 1$, vì ${x_0}$ lớn nhất nên $k = - 1$.

$\Rightarrow {x_0} = - 69^\circ$.

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là ${x_0} = - 57^\circ \Rightarrow {x_0} \in \left( { - 60^\circ ; - 45^\circ } \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3$

$\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác, ta có 4 điểm $A,B,C,D$ như sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n + 1;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 2.1 + 1 = 4\\{u_3} = {u_2} + 2.2 + 1 = 9\\{u_4} = {u_3} + 2.3 + 1 = 16\\{u_5} = {u_4} + 2.4 + 1 = 25\end{array} \right.$

Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số là 1; 4; 9; 16; 25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

${u_n} = {5.2^{n - 1}} + {3^n} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {5.2^{n + 1 - 1}} + {3^{n + 1}} = {5.2^n} + {3^{n + 1}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

${u_n} = \frac{{an + 5}}{{n + 1}} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 5 - a}}{{n + 1}} = a + \frac{{5 - a}}{{n + 1}}$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = a + \frac{{5 - a}}{{n + 2}} - \left( {a + \frac{{5 - a}}{{n + 1}}} \right) = \frac{{5 - a}}{{n + 2}} - \frac{{5 - a}}{{n + 1}} = \frac{{a - 5}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

Để $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy tăng thì ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0$

$\Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a - 5 > 0$ (vì $\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$) $\Leftrightarrow a > 5$

$\Rightarrow a \in \left\{ {6;7;8;9} \right\} \Rightarrow$ có 4 số thoả mãn đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $- 18 - \left( { - 13} \right) = - 13 - \left( { - 8} \right) = - 8 - \left( { - 3} \right) = - 3 - 2 = - 5$ nên dãy số này là một cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${v_1} = 5.1 - 2 = 3$ và $d = {v_{n + 1}} - {v_n} = 5\left( {n + 1} \right) - 2 - \left( {5n - 2} \right) = 5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = 2\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + 2\left( {n - 1} \right) = 2n$.

Khi đó ${u_{2023}} = 2023.2 = 4046$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì $\frac{{81}}{{27}} = \frac{{27}}{9} = \frac{9}{3} = \frac{3}{1} = 3 \Rightarrow$ dãy số là một cấp số nhân có công bội là 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Cấp số nhân có ${u_1} = \frac{1}{2}$ và công bội $q = \frac{{ - \frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2}$.

$\Rightarrow$ số hạng tổng quát của cấp số nhân là: ${u_n} = \frac{1}{2}.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n}$.

Khi đó, $- \frac{1}{{4096}} = - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{12}} \Rightarrow - \frac{1}{{4096}}$ là số hạng thứ 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 256\\{u_7} = 1024\end{array} \right. \Rightarrow q = \frac{{{u_7}}}{{{u_6}}} = 4$

Mặt khác, ${u_6} = {u_1}.{q^5} \Rightarrow {u_1} = \frac{{{u_6}}}{{{q^5}}} = \frac{{256}}{{{4^5}}} = \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thì chỉ xác định được 1 và chỉ 1 mặt phẳng. Ở đây ba điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt nên ít nhất 1 trong 2 điều kiện phân biệt hoặc thẳng hàng không thỏa mãn. Mà 3 điểm đã cho phân biệt nên chúng phải thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Qua hai đường thẳng chéo nhau không xác định được mặt phẳng nào.

Ta chỉ xác định được một mặt phẳng qua hai đường thẳng đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì $S$ và $B$ là điểm chung giữa 2 mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$

$\Rightarrow SB$ là giao tuyến giữa mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì $MN,AB$ đồng phẳng nên giao điểm $K$ của đường thẳng $MN$ và $\left( {SAB} \right)$ là giao giữa $MN$ và $AB$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khi hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Các cặp đường thẳng chéo nhau là: $AB$ và $CD$; $AC$ và $BD$; $AD$ và $BC$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì $I \in AB$ mà $AB$ nằm trên $\left( {ABD} \right)$ nên $I$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ và $\left( {IJK} \right)$.

Tương tự, điểm $K$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ và $\left( {IJK} \right)$.

$\Rightarrow$ giao tuyến giữa mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ và mặt phẳng $\left( {IJK} \right)$ là đường thẳng $KI$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $S$ là điểm chung giữa hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

Mà $AD{\rm{//}}BC$ nên giao tuyến giữa mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng $Sx{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sin 3x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 0 \Leftrightarrow - \sin 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 3x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3} - x = \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \\\frac{\pi }{3} - x = - \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{24}} - \frac{{k\pi }}{2}\\x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { - \frac{\pi }{{24}} - \frac{{k\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) ${\cos ^2}x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

c) $\cos 3x + \cos 2x + \cos x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \left( {\cos 2x + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x + 2{\cos ^2}x = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x + \cos x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 4\cos x.\cos \frac{{3x}}{2}.\cos \frac{x}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos \frac{{3x}}{2} = 0\\\cos \frac{x}{2} = 0\end{array} \right.$

TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

TH2: $\cos \frac{{3x}}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + m\pi ,m \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}$.

TH3: $\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + n\pi ,n \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \pi + 2n\pi ,n \in \mathbb{Z}$.

Kết hợp 3 nghiệm của 3 phương trình trên vòng tròn lượng giác như sau:

Nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi các điểm $B,\,\,B'$.

Nghiệm $\frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi các điểm ${B_1},{B_2},{B_3}$.

Nghiệm $\pi + 2n\pi ,n \in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi điểm ${B_2}$.

$\Rightarrow$ phương trình đã cho có các nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $\frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3};k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Hướng dẫn giải:

a) Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $BD$.

Xét tam giác $SBD$ có $O$ là trung điểm $BD$, $M$ là trung điểm $SD$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SBD \Rightarrow OM{\rm{//}}SB$.

b) Kéo dài $BG$ cắt $CD$, $AD$ lần lượt tại $I$, $J$. Kéo dài $JM$ cắt $SA$ tại $K$.

Khi đó $K \in \left( {MBG} \right)$, do đó $K$ là giao điểm của $SA$ và $\left( {MBG} \right)$.

c) Vì $I$ là giao điểm của $BG$ và $CD$ nên $I$ là trung điểm của $CD$.

Ta chứng minh được $I$ là trung điểm của $JB$.

Tam giác $ABJ$ có $DI{\rm{//}}AB$, $I$ là trung điểm $JB$ nên $DI$ là đường trung bình tam giác $ABJ$.

$\Rightarrow D$ là trung điểm $JA$.

Từ $D$ kẻ $DN{\rm{//}}AK\left( {N \in JK} \right)$. Khi đó $DN$ là đường trung bình của tam giác $AKJ$

$\Rightarrow \frac{{DN}}{{AK}} = \frac{1}{2}$ hay $AK = 2DN$.

Mặt khác, xét $\Delta MND$ và $\Delta MSK$ có:

$\widehat {SKM} = \widehat {DNM}$ (2 góc so le của $SK{\rm{//}}ND$)

$SM = MD\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}SD} \right)$ ($S$ là trung điểm $AD$)

$\widehat {SMK} = \widehat {DMN}$ (đối đỉnh)

Do đó, $\Delta MND = \Delta MSK\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right) \Rightarrow SK = ND$.

$\Rightarrow \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AK}}{{AK + KS}} = \frac{{2DN}}{{2DN + DN}} = \frac{2}{3}$$\left( 1 \right)$

Lại có $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\frac{{OG}}{{OC}} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AO + OG}}{{2OC}} = \frac{{OC + \frac{1}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{{\frac{4}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{2}{3}$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow KG{\rm{//}}SC$ (định lí Talet trong tam giác $SAC$). (đpcm)

Xét tam giác $SCD$ có $M,I$ lần lượt là các trung điểm $SD,DC$ nên $MI$ là đường trung bình tam giác $SCD \Rightarrow MI{\rm{//}}SC$, mà $KG{\rm{//}}SC$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow MI{\rm{//}}KG \Rightarrow \frac{{JM}}{{MK}} = \frac{{JI}}{{IG}}$.

Ta có: $DI$ là đường trung bình $\Delta ABJ$ nên $I$ là trung điểm $BJ \Rightarrow BI = IJ = \frac{1}{2}BJ$.

$G$ là trọng tâm $\Delta BCD$ nên $\frac{{GI}}{{BI}} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{{JI}}{{IG}} = \frac{{BI}}{{\frac{1}{3}BI}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{KM}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{JK}} = \frac{{JM}}{{JM + MK}} = \frac{3}{4}$.

Vậy $\frac{{JM}}{{JK}} = \frac{3}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Giả sử đa giác đã cho có $n$ cạnh $\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 3} \right)$ và số đo các cạnh lập thành cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 44$. Khi đó chu vi của đa giác là tổng cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, tức là:

${S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {{u_1} + 44} \right)}}{2} = 158$

$\Leftrightarrow n\left( {{u_1} + 44} \right) = 316$

Vì $n$ và ${u_1} + 44$ là một số nguyên dương nên ${u_1} + 44 \in$Ư$\left( {316} \right) = \left\{ {1;2;4;79;158;316} \right\}$.

Mặt khác $n \ge 3$ nên $44 < {u_1} + 44 \le \frac{{316}}{3} \Leftrightarrow 44 < {u_1} + 44 \le 105$.

$\Rightarrow {u_1} + 44 = 79 \Leftrightarrow {u_1} = 35$.

Vậy đa giác đó có cạnh nhỏ nhất là 35 cm.