Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 7

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $180^\circ = \pi$ (rad) $\Rightarrow \frac{\pi }{5}\,\,{\rm{rad}} = \left( {\frac{{180}}{5}} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = 36^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Từ hình vẽ, ta có:

$\text{s}đ(OA,OM)=75^{\circ}+m360^{\circ},m\in ℤ\Rightarrow \text{s}đ(OM,OA)=-75^{\circ}+k360^{\circ}$.

$sđ(OA,ON)=-25^{\circ}+n360^{\circ},n\in ℤ$.

$\Rightarrow sđ(OM,ON)=sđ(OM,OA)+sđ(OA,ON)=-75^{\circ}+(-25^{\circ})+k360^{\circ}=-100^{\circ}+k360^{\circ}$

với $k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: C.

Đổi $\left( {\frac{1}{{60}}} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = \frac{1}{{60}} \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{{10800}}$ rad.

Khi đó, độ dài cung chắn góc $\alpha$ là: $l = R\alpha = 6371 \cdot \frac{\pi }{{10800}} \approx 1{,}85$ (km).

Vậy 1 hải lí $= 1{,}85$km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên $\left\{ \begin{array}{l}0 < \sin \alpha < 1\\ - 1 < {\rm{cos}}\alpha < 0\end{array} \right.$.

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha + {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} = 1$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{12}}{{13}}$ (vì $- 1 < {\rm{cos}}\alpha < 0$).

Vậy ${\rm{cos}}\alpha = - \frac{{12}}{{13}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $\tan \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

$${\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)^2} - \sin 2\alpha = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha$$

$= {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

Vậy ${\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)^2} - \sin 2\alpha = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

${\rm{cos}}\alpha .{\rm{cos}}\beta = \frac{1}{2}\left[ {{\rm{cos}}\left( {\alpha - \beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Hàm số $y = \cos x$ có tập giá trị là $\left[ { - 1;1} \right]$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Chu kì của hàm số $y = 5\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{3}} \right)$ là: $\frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Điều kiện xác định của hàm số $y = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + 1}}$ là $\sin x + 1 \ne 0$

$\Leftrightarrow \sin x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + 1}}$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $- 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 3 \le \sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \le \sqrt 3$.

Dấu của $- \sqrt 3 \le \sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)$ xảy ra khi $\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = - 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)$ là $- \sqrt 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

$$\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0 \Leftrightarrow \sin x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì $- 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$ nên phương trình $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 \le m \le 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: $\tan x + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Điểm biểu diễn của $x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ trên đường tròn lượng giác là điểm $I$ và điểm $D$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$\sin \left( {2x} \right) = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {2x} \right) = {\rm{sin}}\left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)} \right]$

$\Leftrightarrow \sin \left( {2x} \right) = {\rm{sin}}\left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{5\pi }}{6} - x + k2\pi \\2x = \pi - \left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Vì $x \in \left[ {0;6} \right]$ nên ta có:

+) $0 \le \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \le 6 \Leftrightarrow - \frac{{5\pi }}{{18}} \le k\frac{{2\pi }}{3} \le 6 - \frac{{5\pi }}{{18}} \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{9}{\pi } - \frac{5}{{12}}$

$\Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}$ (vì $k \in \mathbb{Z}$)$\Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{{18}};\frac{{17\pi }}{{18}};\frac{{29\pi }}{{18}}} \right\}$.

+) $0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 6 \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} \le k2\pi \le 6 - \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{3}{\pi } - \frac{1}{{12}}$

$\Rightarrow k = 0$ (vì $k \in \mathbb{Z}$)$\Rightarrow x = \frac{\pi }{6}$.

Vậy tổng các nghiệm thoả mãn yêu cầu đề bài là: $S = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{17\pi }}{{18}} + \frac{{29\pi }}{{18}} + \frac{\pi }{6} = 3\pi$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 2n + 3$:

${u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) + 3 - \left( {2n + 3} \right) = 2 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$.

Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy tăng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố lẻ nhỏ hơn 20 theo thứ tự tăng dần là:

3; 5; 7; 11; 13; 17; 19

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: ${u_1} = \frac{1}{{{3^1} - 1}} = \frac{1}{2}$; ${u_2} = \frac{2}{{{3^2} - 1}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$; ${u_3} = \frac{3}{{{3^3} - 1}} = \frac{3}{{26}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: ${u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = 1 - \frac{2}{{3n + 1}} < 1$.

Mặt khác, ${u_2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > 0$ nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên bởi số 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Chồng gỗ là một cấp số cộng với ${u_1} = 14$ và công sai $d = 1$.

Do đó ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 14 + \left( {n - 1} \right).1 = 13 + n$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: ${u_1} = 5$ và ${u_8} = {u_1} + \left( {8 - 1} \right).d = 40 \Rightarrow d = \frac{{{u_8} - {u_1}}}{7} = \frac{{40 - 5}}{7} = 5$.

Vậy công sai của cấp số cộng là 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: ${S_{100}} = \frac{{100\left[ {2.4 + 99.\left( { - 5} \right)} \right]}}{2} = - 24350$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có $6;x;20$ lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi $x - 6 = 20 - x$

$\Leftrightarrow 2x = 26 \Leftrightarrow x = 13$.

Vậy $x = 13$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét dãy số ${1^2};{2^2};{3^2};...$ có: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{4}{1} = 4 \ne \frac{9}{4} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}$ nên ${1^2};{2^2};{3^2};...$ không phải là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân thì $\frac{{{u_5}}}{{{u_4}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} \Rightarrow u_4^2 = {u_5}.{u_3}$

$\Leftrightarrow u_4^2 = 45.80 = 3600 \Rightarrow {u_4} = \sqrt {3600} = 60$.

Vậy ${u_4} = 60$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Rightarrow 3.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 192 \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 64 = {\left( { - 2} \right)^6} \Rightarrow n - 1 = 6 \Leftrightarrow n = 7$.

Vậy 192 là số hạng thứ 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có ${u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}} = \left( {{u_1}.{q^{m - 1}}} \right).{q^{k - 1 - \left( {m - 1} \right)}} = {u_m}.{q^{k - m}}$ hay ${u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì $A \in \left( {OAB} \right)$ và $A \in \left( {ABC} \right)$ nên $A$ là điểm chung giữa 2 mặt phẳng $\left( {OAB} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.

Tương tự, $B \in \left( {OAB} \right)$ và $B \in \left( {ABC} \right)$ nên $B$ là điểm chung giữa 2 mặt phẳng $\left( {OAB} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.

Do đó $AB$ là giao tuyến chung giữa 2 mặt phẳng $\left( {OAB} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm này.

B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng sẽ có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng nào.

D sai. Bốn điểm không đồng phẳng sẽ không tạo được mặt phẳng nào chứa cả 4 điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

A sai vì hai đường thẳng cắt nhau có 1 điểm chung duy nhất.

B và C sai vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Điểm $I$ là giao điểm của $EF$ và $BC$ mà $EF$ nằm trên $\left( {DEF} \right)$, $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {AEF} \right)$ nên điểm $I$ sẽ là điểm chung giữa các cặp mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {DEF} \right)$; $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$; $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {AEF} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Theo giả thiết, $a$ và $b$ chéo nhau nên $a$ và $b$ không đồng phẳng.

Giả sử $AD$ và $BC$ đồng phẳng. Khi đó ta có 2 trường hợp:

$AD \cap BC = I \Rightarrow I \in \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {a,b} \right)$, mà $a$ và $b$ không đồng phẳng nên không tồn tại điểm $I$.

$AD{\rm{//}}BC \Rightarrow a$ và $b$ đồng phẳng. (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy điều giả sử là sai, do đó $AD$ và $BC$ chéo nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Giả sử $b{\rm{//}}c$ thì ta có $a{\rm{//}}c$ (mâu thuẫn với giả thiết).

Do đó $b$ và $c$ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: Vì $AD{\rm{//}}BC$, mà $AD$ nằm trên $\left( {SAD} \right)$, $BC$ nằm trên $\left( {SBC} \right)$ nên giao tuyến $d$ của 2 mặt phẳng sẽ song song với $AD$ và $BC$.

Mặt khác, $S$ là điểm chung giữa 2 mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ nên $S \in d$.

Vậy $d$ qua $S$ và song song với $BC$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD$.

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD \Rightarrow MN{\rm{//}}CD\left( 1 \right)$.

Mặt khác, $I,J$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$ và $ABD$

$\Rightarrow \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ{\rm{//}}MN\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $IJ{\rm{//}}CD$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)$

$$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6} + \pi } \right)$$

$$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2x + \frac{{5\pi }}{6}} \right)$$

$$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {2x + \frac{{5\pi }}{6}} \right)} \right]$$

$$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - 2x - \frac{\pi }{3}} \right)$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = - 2x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \pi - \left( { - 2x - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = 2x + \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{{19\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ { - \frac{\pi }{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}; - \frac{{19}}{{12}} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}$.

b) $- 2{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0$

$\Leftrightarrow - 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 5\sin x + 4 = 0$

$\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\left( 1 \right)$

Đặt $\sin x = t$, vì $- 1 \le \sin x \le 1$ nên $- 1 \le t \le 1$. Khi đó, ta có:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\,\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\t = 2\,\,\left( {{\rm{k}}\,\,{\rm{t/m}}} \right)\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}$.

c) $3\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin 2x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow 3\left( {\sin x + \cos x} \right) + 4\sin x.\cos x + 3 = 0$

Đặt $\sin x + \cos x = t$, ta có: $\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t$.

Vì $- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$ nên $- \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$, hay $- \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2$.

Lại có: $\sin x + \cos x = t \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = {t^2}$

$\Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$.

Khi đó, phương trình$\Leftrightarrow 3t + 4 \cdot \frac{{{t^2} - 1}}{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} + 3t + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {2t + 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{2}\\t = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - \frac{1}{2}\\\sin x = - 1\end{array} \right.$

TH1: $\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

TH2: $\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ; - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

a) Vì $M,N$ là các trung điểm của $SA$, $SB$ nên $MN$ là đường trung bình trong tam giác $SAB$. Do đó $MN{\rm{//}}AB$, mà $AB{\rm{//}}CD$ nên $MN{\rm{//}}CD$. (đpcm)

b)

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $J$ là giao điểm của $SO$ và $ND$. Ta có:

Vì $J \in SO$ mà $SO$ nằm trên $\left( {SAC} \right)$ nên $J \in \left( {SAC} \right)$.

Mà $J \in ND$, $ND$ nằm trên $\left( {AND} \right)$ nên $J \in \left( {AND} \right)$.

Từ đó suy ra được $J$ là điểm chung giữa mặt phẳng $\left( {AND} \right)$ và mặt phẳng$\left( {SAC} \right)$.

Mặt khác $A \in \left( {SAC} \right)$, $A \in \left( {AND} \right)$, nên $A$ là điểm chung giữa mặt phẳng $\left( {AND} \right)$ và mặt phẳng$\left( {SAC} \right)$.

$\Rightarrow AJ$ là giao tuyến giữa mặt phẳng $\left( {AND} \right)$ và mặt phẳng$\left( {SAC} \right)$.

c) Kéo dài $AJ$ cắt $SC$ tại $P$. Khi đó $P$ là giao điểm giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {AND} \right)$.

Ta có $I \in AN$ mà $AN$ nằm trên $\left( {SAB} \right)$ nên $I \in \left( {SAB} \right)$.

$I \in DP$ mà $DP$ nằm trên $\left( {SCD} \right)$ nên $I \in \left( {SCD} \right)$.

$\Rightarrow I$ là điểm chung giữa 2 mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

$\Rightarrow SI$ là giao tuyến giữa 2 mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Xét 3 mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ cắt nhau đôi một theo 3 giao tuyến $SI,AB$ và $DC$ nên theo định lí về ba đường giao tuyến, ta có $SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD$ hoặc $SI,AB,CD$ đồng quy.

Mà $AB{\rm{//}}CD$ nên $SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD$.

Lại có: $SI{\rm{//}}AB$ nên theo định lí Talet, ta có:$\frac{{SN}}{{NB}} = \frac{{IN}}{{NA}} = \frac{{SI}}{{AB}}$.

Do $N$ là trung điểm $SB$ nên $SN = NB$ hay $\frac{{SN}}{{NB}} = 1 \Rightarrow \frac{{SN}}{{NB}} = \frac{{IN}}{{NA}} = \frac{{SI}}{{AB}} = 1$

$\Rightarrow SI = AB$.

Tứ giác $SIBA$ có $\left\{ \begin{array}{l}SI{\rm{//}}AB\\SI = AB\end{array} \right. \Rightarrow$ tứ giác $SIBA$ là hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

a) Xét $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}$, ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + b}}{{c\left( {n + 1} \right) + d}} - \frac{{an + b}}{{cn + d}} = \frac{{an + \left( {a + b} \right)}}{{cn + \left( {c + d} \right)}} - \frac{{an + b}}{{cn + d}}$

$= \frac{{\left[ {an + \left( {a + b} \right)} \right]\left( {cn + d} \right) - \left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]\left( {an + b} \right)}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}$

$= \frac{{ac{n^2} + \left( {ad + ac + bc} \right)n + d\left( {a + b} \right) - \left[ {ac{n^2} + n\left( {bc + ac + ad} \right) + b\left( {c + d} \right)} \right]}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}$

$= \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}}$

Vì $c,d$ là các số thực thoả mãn $cn + d > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ nên $\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right] > 0$.

Do đó, ta có các trường hợp sau:

Khi $ad - bc > 0$ thì ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, hay $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy tăng.

Khi $ad - bc < 0$ thì ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} < 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, hay $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy giảm.

Khi $ad - bc = 0$ thì ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ad - bc}}{{\left( {cn + d} \right)\left[ {cn + \left( {c + d} \right)} \right]}} = 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy ${u_1} = {u_2} = {u_3} = ... = {u_n}$, hay $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy không thay đổi.

b) $ad - bc = 0 \Leftrightarrow ad = bc \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. Đặt $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = t\left( {t \ne 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = ct\\b = dt\end{array} \right.$.

Khi đó ${u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}} = \frac{{ct.n + dt}}{{cn + d}} = \frac{{t\left( {cn + d} \right)}}{{cn + d}} = t$ hay ${u_n} = \frac{a}{c}$.

Vậy ${u_n} = \frac{a}{c}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$.