Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: B

Theo SGK, góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối sai khác nhau một bội nguyên của $360^\circ .$

Mà $410^\circ - 50^\circ = 360^\circ .$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\alpha = \frac{\pi }{3} = \left( {\frac{\pi }{3}.\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = 60^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Chọn A vì đúng theo công thức cộng.

Đáp án đúng là: B

Có $\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a$ nên đáp án B sai.

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi .$

Đáp án đúng là: D

Ta thấy:

Tại $x = 0$ thì $y = 0$. Do đó loại B và C.

Tại $x = \pi$ thì $y = - 1$. Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Nhắc lại kiến thức cơ bản:

- Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

- Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

- Hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

- Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ.

Vậy B là đáp án đúng.

Đáp án đúng là: B

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Đáp án đúng là: B

$1 + \tan x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 1$$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ có nghĩa $\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow D = \mathbb{R}$.

Do $\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}$ nên

$\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì $- \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}$ nên $x = \frac{\pi }{6}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{a{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}$.

Đáp án đúng là: B

Thay lần lượt $n = 1;n = 2;n = 3$ vào công thức số hạng tổng quát ta được đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Dãy số $\frac{1}{2};\,\frac{1}{{{2^2}}};\,\frac{1}{{{2^3}}};.....$không phải cấp số cộng do $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\d = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {u_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Đáp án đúng là: C

Ta có ${u}_{n+1}=\frac{a.{(n+1)}^{2}}{(n+1)+1}=\frac{a{(n+1)}^{2}}{n+2}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $1 = - 1.\left( { - 1} \right);{\rm{ }} - 1 = 1.\left( { - 1} \right)$.

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = - 1;{\rm{ q = }} - {\rm{1}}$.

Đáp án đúng là: D

Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân nên $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2$.

Đáp án đúng là: A

Mẫu số liệu trên có 7 nhóm.

Đáp án đúng là: D

Độ dài của nhóm $\left[ {200;\,235} \right)$ là 235 – 200 = 35.

Đáp án đúng là: B

Mẫu số liệu đã cho có một nhóm có số học sinh là lớn nhất nên mẫu số liệu này có 1 mốt.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\{\begin{matrix}\frac{1}{{\sin }^{2}α}=1+{\cot }^{2}α=1+{(\frac{3}{4})}^{2}=\frac{25}{16} \\ 0^{\circ}<α<90^{\circ}\Rightarrow \mathrm{sinα}>0\end{matrix}\overset{}{\rightarrow }\mathrm{sinα}=\frac{4}{5}.$

Đáp án đúng là: D

Áp dụng quy tắc từ tích sang tổng, ta được:

$$A = 4\sin x.\sin 2x.\sin 3x$$

$= 4.\left[ { - \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {x + 2x} \right) - \cos \left( {x - 2x} \right)} \right)} \right]\sin 3x$

$$= 2\left( {\cos x - \cos 3x} \right)\sin 3x$$

$= 2\sin 3x\cos x - 2\sin 3x\cos 3x$

$= 2.\frac{1}{2}\left( {\sin \left( {3x + x} \right) + \sin \left( {3x - x} \right)} \right) - \sin 6x$

$= \sin 4x + \sin 2x - \sin 6x$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = 1 \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Mà $\alpha ,{\rm{ }}\beta$ là hai góc nhọn $\Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $- 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow 1 \ge - \sin x \ge - 1 \Leftrightarrow 3 \ge - 3\sin x \ge - 3$

$\Leftrightarrow 8 \ge 5 - 3\sin x \ge 2 \Leftrightarrow 2 \le y \le 8 \Rightarrow T = \left[ {2;8} \right].$

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho xác định $\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{2} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Đáp án đúng là: A

Dễ thấy với $m = 0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Với $m \ne 0$, ta có: $m.\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{m}{\rm{ }}\left( 1 \right)$.

Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow$ phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow$ $\left| {\frac{1}{m}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\left| m \right|}} \le 1 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le - 1\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện $m \ne 0$).

Đáp án đúng là: B

Phương trình $3\cot x - \sqrt 3 = 0$ có nghĩa $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \Leftrightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi } \right\}$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta có $3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $0 \le {v_n} \le \frac{1}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

$- 1 \le {u_n} \le 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

$2 \le {b_n} \le 10,\forall n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$. Suy ra dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

Lấy số tự nhiên $N$ bất kỳ, tồn tại $n = N + 1$ sao cho ${a_n} = {a_{N + 1}} = {3^{N + 1}} \ge N$. Suy ra dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ không là dãy số bị chặn trên.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${a_1} = \frac{1}{2}$. Loại A.

${c_3} = 0$. Loại C.

${d_4} = \frac{1}{4}$. Loại D.

Đáp án đúng là: C

Sử dụng công thức SHTQ ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d{\rm{ }}\left( {\forall n \ge 2} \right).$

Ta có: ${u_n} = - 3 + \left( {n - 1} \right)\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai $d = 3$ và ${u_1} = 25.$

Tổng số ghế là ${S_{30}} = {u_1} + {u_2} + \cdots + {u_{30}} = 30{u_1} + \frac{{30.29}}{2}d = 2055$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $- 1533 = {S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$$= - 3 \cdot \frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}}$$= - 3\left( {{2^n} - 1} \right)$

$\Rightarrow {2^n} = 512 = {2^9} \Leftrightarrow n = 9$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.$

$\Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}.\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left( {{q^4} - 1} \right)\left( {q + 1} \right)}}{{\left( {q - 1} \right)\left( {{q^4} + 1} \right)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Từ đó ta tìm được ${u_1} = 1,{u_1} = 8$.

Đáp án đúng là: B

Tần số lớn nhất của mẫu số liệu trên là 15 nên nhóm chứa mốt là $\left[ {129;131} \right)$.

Ta có:

$j = 3$, ${a_3} = 129$, ${m_3} = 15$, ${m_2} = 7,\,\,{m_4} = 10$, $h = 2$. Do đó:

${M_o} = 129 + \frac{{15 - 7}}{{\left( {15 - 7} \right) + \left( {15 - 10} \right)}}.2 \approx 130{,}23$.

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu: $n = 3 + 6 + 12 + 6 + 3 = 30$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là ${x_8}$. Do ${x_8}$ thuộc nhóm $\left[ {80;90} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$.

Do đó: $p = 2$, ${a_2} = 80$, ${m_2} = 6$, ${m_1} = 3$, ${a_3} - {a_2} = 10$. Ta có:

${Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 3}}{6}.10 = 87{,}5$.

Lời giải:

a) ${\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 6$

TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1,$ khi đó phương trình trở thành $1 = 6$ (vô nghiệm).

TH2: $\cos x \ne 0.$ Chia cả 2 vế của phương trình cho ${\cos ^2}x$, ta được:

${\tan ^2}x + 5\tan x + 6 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \Leftrightarrow 5{\tan ^2}x - 5\tan x = 0$

$\Leftrightarrow 5\tan x\left( {\tan x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\\tan x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $S = \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.$

b) $\cos 3x - \sin 2x - \cos x = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\cos 3x - \cos x} \right) - \sin 2x = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2\sin 2x\sin x - \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow - \sin 2x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\sin x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.$

Lời giải

${\rm{V\`i \;}} - 1 \le {\rm{sin}}\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 1{\rm{\;n\^e n\; }}29 + 3.\left( { - 1} \right) \le 29 + 3{\rm{sin}}\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 29 + 3.1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 26 \le 29 + 3{\rm{sin}}\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 32\\ \Leftrightarrow 26 \le h\left( t \right) \le 32\end{array}$

Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là $26^\circ {\rm{C}}$ khi:

$\begin{matrix}29+3\text{sin}\frac{π}{12}(t-9)=26\Leftrightarrow \text{sin}\frac{π}{12}(t-9)=-1 \\ \ \Leftrightarrow \text{sin}\frac{π}{12}(t-9)=\text{sin}(-\frac{π}{2}) \\ \ \Leftrightarrow \frac{π}{12}(t-9)=-\frac{π}{2}+k2π,k\in ℤ \\ \ \Leftrightarrow t=3+24k,k\in ℤ\end{matrix}$

Vì vậy vào thời điểm $3$ giờ trong ngày thì nhiều độ thấp nhất của thành phố là $26^\circ {\rm{C}}$.

Lời giải:

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là: $- \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3$ là nghiệm của phương trình.

Suy ra ${3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0$

$\Leftrightarrow$ ${m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\\m = 3\end{array} \right.$

Với $m = - 1,m = 2,m = 3$ thì ${m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0$ nên ${m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15$.

Do vậy, với $m = - 1,m = 2,m = 3$ ta có phương trình

${x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 5$.

Ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng.

Vậy $m = - 1,m = 2,m = 3$ là các giá trị cần tìm.

Do đó ${\left( { - 1} \right)^3} + {2^3} + {3^3} = 34$.