Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Theo định nghĩa, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm $O$ có bán kính bằng 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm $A,B$. Một điểm $M$ di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ $A$ đến $B$ tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $B$. Do đó có vô số cung lượng giác có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $B$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Cung tròn $x = \alpha + \frac{{k2\pi }}{n},n \in {\mathbb{N}^*}$ thì được biểu diễn bởi $n$ điểm trên đường tròn lượng giác, nên đối với điểm $M$ có $\frac{{2\pi }}{n} = \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow n = 6$, hay có 6 điểm biểu diễn điểm $M$ trên đường tròn lượng giác (như hình vẽ dưới đây).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đẳng thức đúng là: $\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = - \frac{1}{8}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{2 + 1.1}} = \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tập giá trị của hàm số $y = \sin x$ là $\left[ { - 1;1} \right]$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = \cos x$ là hàm tuần hoàn, có chu kì là $T = 2\pi$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Biểu thức $\frac{{\cot x}}{{\sin x - 1}}$ có nghĩa khi $\sin x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{{\cot x}}{{\sin x - 1}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $y = \frac{{\cot x}}{{\cos x}}$ có tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$, đây là 1 tập đối xứng.

Mặt khác, $f\left( x \right) = \frac{{\cot x}}{{\cos x}} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = \frac{{\cot \left( { - x} \right)}}{{\cos \left( { - x} \right)}} = \frac{{ - \cot x}}{{\cos x}} = - f\left( x \right)$

$\Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)$ nên $f\left( x \right)$ là một hàm lẻ, hay $y = \frac{{\cot x}}{{\cos x}}$ có đồ thị nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$2\sin x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì $\cos x \in \left[ { - 1;1} \right]$ nên phương trình $\cos x = m$ vô nghiệm khi và chỉ khi $m \notin \left[ { - 1;1} \right]$, hay $m > 1$ hoặc $m < - 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$. Vì $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ nên $x = \frac{\pi }{6}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_3} = 2{u_2} + {u_1} = 2.2 + 2 = 6\\{u_4} = 2{u_3} + {u_2} = 2.6 + 2 = 14\\{u_5} = 2{u_4} + {u_3} = 2.14 + 6 = 34\end{array}$

Vậy ${u_5} = 34$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có:

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ${u_{n + 1}} > {u_n} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > 0$.

Đối với dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} > 0$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$ thì ${u_{n + 1}} > {u_n} > 0 \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy dãy số là dãy các số chính phương, hay số hạng tổng quát của dãy số là ${u_n} = {n^2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Với dãy số $\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \ge 1\end{array} \right.$, ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = 2 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng có ${u_1} = 1,d = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 9 + 2\left( {n - 1} \right)$

$\Rightarrow {u_5} = 9 + 2.\left( {5 - 1} \right) = 17$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {2{u_1} + 19d} \right) = 10\left( {2a + 19d} \right) = 20a + 190d$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{0{,}2}}{1} = \frac{{0{,}04}}{{0{,}2}} = \frac{{0{,}008}}{{0{,}04}} = ... = 0{,}2$ nên dãy số này là cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

${S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^8}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{255}}{{64}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ba số $2x - 1;x;2x + 1$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì $\frac{{2x + 1}}{x} = \frac{x}{{2x - 1}}$

$\Leftrightarrow {x^2} = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \Leftrightarrow 4{x^2} - 1 = {x^2} \Leftrightarrow 3{x^2} = 1$

$\Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.$.

Vậy $x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ thoả mãn đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt bàn là hình ảnh của một phần mặt phẳng trong hình học không gian.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Trong hình học không gian, hình biểu diễn của một hình tam giác phải là một hình tam giác.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi $O$ là trung điểm $AC$. Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$, hay $O$ là trung điểm $BD$ (1).

Tương tự, $O$ là trung điểm $MN$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $O$ nằm trên mặt phẳng chứa 2 đường thẳng $MD$ và $BN$, suy ra $B,M,D,N$ tạo thành một tứ giác.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đa giác đáy có $n$ đỉnh, và 1 đỉnh của hình chóp nên có $n + 1$ đỉnh tất cả.

Đa giác đáy có $n$ cạnh, cứ 2 đỉnh của 1 cạnh kết hợp với đỉnh hình chóp tạo thành 1 mặt phẳng, do đó sẽ có $n$ mặt bên $\Rightarrow$ có tất cả $n + 1$ mặt.

Đa giác đáy có $n$ đỉnh, cứ mỗi đỉnh của đa giác đáy tạo với đỉnh hình chóp 1 cạnh bên$\Rightarrow$ có $n$ cạnh bên$\Rightarrow$ có $2n$ cạnh.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Nếu ba giao điểm đó tạo thành một tam giác thì ba đường thẳng này cùng nằm mặt phẳng chứa tam giác này. Điều này là mâu thuẫn với giả thiết.

Do đó ba giao điểm này phải trùng nhau, do đó 3 đường thẳng đồng quy.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tam giác $SBD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm $SB,SD$ nên $MN$ là đường trung bình tam giác $SBD \Rightarrow MN{\rm{//}}BD$, khi đó $MN,BD$ cùng nằm trên một mặt phẳng (mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$)$\Rightarrow NMBO$ là một tứ giác, $MNDB$ là tứ giác.

Vì $M \notin \left( {ABCD} \right)$ và $N \notin \left( {ABCD} \right)$ nên $MN$ không nằm trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$

$\Rightarrow MN$ và $AC$ chéo nhau $\Rightarrow$ $AOMN$ là một tứ diện, $COMN$ là một tứ diện.

Hướng dẫn giải:

a) ${\sin ^2}3x - \sin 3x - 2 = 0$ (1)

Đặt $\sin 3x = t$, vì $- 1 \le \sin 3x \le 1$ nên $- 1 \le t \le 1$.

Khi đó, $\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow \sin 3x = - 1 \Leftrightarrow 3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) $\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$$

Vậy nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

c) $\tan x + \cot x = 2$(2)

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} = 2 \Rightarrow {\tan ^2}x + 1 = 2\tan x$

$\Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\tan x - 1} \right)^2} = 0$

$\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ (t/m điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Hướng dẫn giải:

a) Vì $MN,SO$ đều thuộc mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, nên gọi $I$ là giao điểm giữa $MN$ và $SO$ thì $I$ là giao điểm của $SO$ với mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

b) Vì $IP,SA$ cùng thuộc mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, nên gọi $Q$ là giao điểm giữa $IP$ và $SA$ thì $Q$ là giao điểm $Q$ của $SA$ với mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

c) Vì $F$ là giao điểm giữa $QM$ và $AB$ nên $F$ là điểm chung giữa 2 mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ (1).

Tương tự, $G$ là giao điểm giữa $QP$ và $AC$ nên $G$ là điểm chung giữa 2 mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ (2).

$H$ là giao điểm giữa $QN$ và $AD$ nên $H$ là điểm chung giữa 2 mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ (3).

Từ $\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right) \Rightarrow F,G,H$ nằm trên giao tuyến giữa 2 mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ hay $F,G,H$ thẳng hàng. (đpcm)

Hướng dẫn giải:

Khi $\tan \frac{A}{2},\tan \frac{B}{2},\tan \frac{C}{2}$ lập thành cấp số cộng, ta có:

$$2\tan \frac{B}{2} = \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}} + \frac{{\sin \frac{C}{2}}}{{\cos \frac{C}{2}}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right)}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \left( {90^\circ - \frac{B}{2}} \right)}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right]}}$$

$\Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \left[ {\cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right)} \right] = {\cos ^2}\frac{B}{2}$

$$\Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \left( {\sin \frac{B}{2} + \cos \frac{{A - C}}{2}} \right) = {\cos ^2}\frac{B}{2}$$

$\Leftrightarrow {\sin ^2}\frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{{A - C}}{2} = {\cos ^2}\frac{B}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{B + A - C}}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{{B - A + C}}{2}} \right)} \right] = {\cos ^2}\frac{B}{2} - {\sin ^2}\frac{B}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {90^\circ - C} \right) + \sin \left( {90^\circ - A} \right)} \right] = \cos B$

$\Leftrightarrow \cos C + \cos A = 2\cos B \Rightarrow$$\cos A,\cos B,\cos C$ lập thành cấp số cộng.