Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 8

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa, ta có số $360^\circ .$đo cung lượng giác $AM$ bằng số đo góc $\alpha$ nên điểm cuối $M$ nằm ở góc phần tư thứ ba $\left( {III} \right).$

Đáp án đúng là: D

Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn các góc có số đo $30^\circ + k45^\circ ,$ trong khoảng $0^\circ$ đến $360^\circ$.

Có 8 điểm $M$ biểu diễn.

Đáp án đúng là: A

Ta có $3\pi < \alpha < \frac{{10\pi }}{3} \Leftrightarrow 2\pi + \pi < \alpha < 2\pi + \pi + \frac{\pi }{3}$ nên $\alpha$ thuộc cung phần tư thứ III.

Do đó $\sin \alpha < 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $M = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M$ bằng $\frac{1}{4}.$ Dấu xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}.$

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức cộng lượng giác ta có

$\sin x\cos y - \cos x\sin y = \sin \left( {x - y} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sin \frac{A}{2}{\cos ^3}\frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2}{\cos ^3}\frac{A}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}{\cos ^3}\frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2}{\cos ^3}\frac{A}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{A}{2}}} = \frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}$

$\Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{A}{2}} \right) = \tan \frac{B}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{B}{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} = \tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{A}{2} = \frac{B}{2} \Leftrightarrow A = B.$

Vậy tam giác $ABC$ cân.

Đáp án đúng là: A

Hàm số xác định khi và chỉ khi $1 - \sin x > 0 \Leftrightarrow \sin x < 1.$ $\left( * \right)$

Mà $- 1 \le \sin x \le 1$ nên $\left( * \right) \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{x^3}}}.$

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ là tập đối xứng.

Khi đó $f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( { - x} \right)}}{{{{\left( { - x} \right)}^3}}} = - \frac{{\cos x}}{{{x^3}}} = - f\left( x \right)$.

Do đó hàm số $y = \frac{{\cos x}}{{{x^3}}}$ là hàm số lẻ.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\tan x = m \Leftrightarrow x = \arctan m + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.$

Đáp án đúng là: C

$\sin 4x\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 4x = 0\\2\cos x - \sqrt 2 = 0\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k\pi \\\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{4}\\x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

Vậy có 8 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${u_{n\, + \,1}} = {2^{n\,\, + \,1}} = {2^n} \cdot 2.$

Đáp án đúng là: A

Ta có ${S_{100}} = 1 + 3 + 5 + \cdots + 201$.

Suy ra $2{S_{100}} = \left( {1 + 201} \right) + \left( {3 + 199} \right) + \cdots + \left( {201 + 1} \right)$.

Vậy ${S_{100}} = \frac{{101\left( {201 + 1} \right)}}{2} = 10\,\,201.$

Đáp án đúng là: B

Ta có ${u_{n\, + \,1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 2018 - \left( {3n + 2018} \right) = 3 \Leftrightarrow {u_{n\, + \,1}} = {u_n} + 3.$

Vậy dãy số ${u_n} = 3n + 2018$ là cấp số cộng có công sai $d = 3.$

Đáp án đúng là: D

Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Leftrightarrow 81 = - 5 + \left( {n - 1} \right)2 \Leftrightarrow n = 44.$

Vậy 81 là số hạng thứ 44.

Đáp án đúng là: B

Ta có $2\,;\,\,4\,;\,\,8\,;\,\,16\,; \ldots$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và công bội $q = 2.$

Đáp án đúng là: C

Ta có ${u_1} = 3$ và $\frac{{{u_{n\, + \,1}}}}{{{u_n}}} = 3$.

Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân với $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = 3\end{array} \right..$

Do đó ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n\, - \,1\,}} = 3 \cdot {3^{n\, - \,1\,}} = {3^n}.$

Đáp án đúng là: C

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu có ba điểm không thẳng hàng.

Đáp án đúng là: A

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ có $SO \cap AM = K.$

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, kéo dài $BK$ cắt $SD$ tại $N.$

Do đó $N$ giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$.

Vậy giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ là giao điểm của $SD$ và $BK.$

Đáp án đúng là: B

Nếu $b\,{\rm{//}}\,c$ thì $c\,{\rm{//}}\,a.$

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB \subset \left( {MAB} \right);\,\,CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB\,\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right.$

$\Rightarrow Mx = \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ với $Mx\,\,{\rm{//}}\,CD\,{\rm{//}}\,AB.$

Gọi $N = Mx \cap SD$ trong $\left( {SCD} \right)$ nên $N = SD \cap \left( {MAB} \right).$

Vậy $CD$ song song $MN$.

a) $\cot \frac{{2x}}{3} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot \frac{{2x}}{3} = \cot \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k3\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k3\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$.

b) $\sin \left( {\pi - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \sin x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \sin x$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {k2\pi \,;\,\,\frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}\,} \right\}.$

Xét $\frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)k}} = \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k},\,\,\forall k \ge 2$.

Suy ra ${u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^2}}}$

$$< \frac{1}{2} + \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \cdots + \left( {\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{n} < \frac{3}{2}.$$

$\Rightarrow 0 < {u_n} < \frac{3}{2},\,\,\forall n \in \mathbb{N}*$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

a) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên nên $AB\,\,{\rm{// }}CD$; $AD{\rm{ // }}BC$.

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}AD{\rm{ // }}CB\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\K \in \left( {KBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}Kx = \left( {KBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\\Kx{\rm{ // }}AD{\rm{ // }}BC\end{array} \right.$.

Trong $\left( {SAD} \right)$ gọi $J = Kx \cap SA$ có

$\left\{ \begin{array}{l}J \in SA\\J \in Kx \subset (BKC)\end{array} \right. \Rightarrow J = SA \cap (BKC)$

b) Ta có $OI$ là đường trung bình của $\Delta SBD \Rightarrow OI{\rm{ // }}SD$.

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}OI{\rm{ // }}SD\\OI \subset \left( {OIA} \right)\\SD \subset \left( {SCD} \right)\\C \in \left( {OIA} \right) \cap \left( {SCD} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}Cy = \left( {OIA} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\Cy{\rm{ // }}SD{\rm{ // }}OI\end{array} \right.$.

c) Ta có

• $IJ{\rm{ // }}AB$ ($IJ$ là đường trung bình của $\Delta SAB$)

• $AB{\rm{ // }}CD$ (tứ giác ABCD là hình bình hành)

Do đó $CD{\rm{ // }}IJ$.

Ta có :$\left\{ \begin{array}{l}CD{\rm{ // }}IJ\\CD \not\subset \left( {IJK} \right)\\IJ \subset \left( {IJK} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow CD{\rm{ // }}\left( {IJK} \right)$.

Gọi ${h_n}$ là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ $n\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)$.

${l_n}$ là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ $n\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)$.

Theo đề bài, ta có ${h_1} = 55{,}8;\,\,{l_1} = \frac{1}{{10}} \cdot 55{,}8 = 5{,}58$ và các dãy số $\left( {{h_n}} \right),\,\,\left( {{l_n}} \right)$ là các cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q = \frac{1}{{10}}.$

Từ đó suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là:

$S = \frac{{{h_1}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} + \frac{{{l_1}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{10}}{9}\left( {{h_1} + {l_1}} \right) = 68{,}2\,\,{\rm{(m)}}$.

Vậy tổng độ dài đường đi của quả bóng là $68{,}2\,\,{\rm{m}}$.