Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 4

Độ sâu của mực nước là $9\,\,{\text{m}}$ thì $h = 9$.

Khi đó $9 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos \pi$

$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = \pi + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{{6(k2\pi + \pi - 1)}}{\pi },\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $0 \leqslant t < 24$ nên $0 \leqslant \frac{{6(k2\pi + \pi - 1)}}{\pi } < 24 \Leftrightarrow 0 < k \leqslant 1$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 1 \Rightarrow t = \frac{{6(3\pi - 1)}}{\pi } \approx 16{,}09\,\,{\text{(m)}}$.

Vậy $t \approx 16{,}09\,\,{\text{m}}$.

Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1;\,\,d = 1$.

Giả sử có $n$ hàng cây thì ${u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = 3\,\,003 = {S_n}$.

Ta có $3\,\,003 = {S_n} = n{u_1} + \frac{{n(n - 1)}}{2}d$

$ \Leftrightarrow {n^2} + n - 6\,\,006 = 0 \Leftrightarrow n = 77$.

Vậy có tất cả 77 hàng cây.

a) Ta có $IP$ là đường trung bình của tam giác $SBC$ nên $IP\,{\text{//}}\,BC$.

Mà $IP \subset (IMP)$ nên $BC\,\,{\text{//}}\,(IMP)$.

b) Ta có $\left\{ \begin{gathered}

M \in (\alpha ) \cap (ABC) \hfill \\

(ABC) \supset AC\,{\text{//}}\,(\alpha ) \hfill \\

\end{gathered} \right.$.

Khi đó $(\alpha ) \cap (ABC) = MQ\,{\text{//}}\,AC,\,\,Q \in BC$.

Mặt khác c$\left\{ \begin{gathered}

P \in (\alpha ) \cap (SAC) \hfill \\

(SAC) \supset AC\,{\text{//}}\,(\alpha ) \hfill \\

\end{gathered} \right.$

Suy ra $(\alpha ) \cap (SAC) = PN\,{\text{//}}\,AC,\,\,N \in SA$.

Vậy thiết diện cần tìm là hình bình hành $MNPQ$.

c) Chọn mặt phẳng $(SAC)$ chứa $NC$. Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SMQ)$:

Ta có $\left\{ \begin{gathered}

S \in (SAC) \cap (SMQ) \hfill \\

AC\,{\text{//}}\,MQ,\,\,AC \subset (SAC),\,\,MQ \subset (SMQ) \hfill \\

\end{gathered} \right.$.

Do đó $(SAC) \cap (SMQ) = Sx\,{\text{//}}\,AC\,{\text{//}}\,MQ$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $J = CN \cap Sx$.

Ta có $\left\{ \begin{gathered}

J \in CN \hfill \\

J \in Sx \subset (SMQ) \hfill \\

\end{gathered} \right. \Rightarrow J = CN \cap (SMQ)$.

Vậy $J$ là giao điểm của đường thẳng $CN$ và mặt phẳng $(SMQ)$.