Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: A

Theo SGK trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng $1.$

Trên đường tròn này chọn điểm $A\left( {1;\,\,0} \right)$ làm gốc, chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ và chiều âm là cùng chiều kim đồng hồ.

Đáp án đúng là: D

Quan sát hình vẽ ta thấy góc lượng giác $\left( {OA,\,\,ON} \right) = 135^\circ .$

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\alpha _1} = 30^\circ ,\,\,{\alpha _3} = 390^\circ = 30^\circ + 360^\circ ,\,\,{\alpha _4} = - 330^\circ = 30^\circ - 360^\circ$

Nên ba góc ${\alpha _1},\,\,\,{\alpha _3},\,\,\,{\alpha _4}$ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Đáp án đúng là: C

Nếu $\sin \alpha ;\,\,\tan \alpha$ trái dấu thì điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần phần tư thứ II hoặc III.

Đáp án đúng là: C

Để $\tan x$ có nghĩa thì $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$.

Đáp án đúng là: D

Vì $A,\,\,B,\,\,C$ là ba góc của một tam giác nên $A + B + B = 180^\circ \Leftrightarrow A + B = 180^\circ - C$.

Ta có $\sin \left( {A + B + 2C} \right) = \sin \left( {180^\circ - C + 2C} \right) = \sin \left( {180^\circ + C} \right) = - \sin C$.

Đáp án đúng là: B

Khẳng định B sai vì $\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\,.\,\cos b + \sin a\,.\,\sin b$.

Đáp án đúng là: B

Khẳng định B sai vì $\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = 1$

$\Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Mà $\alpha ,{\rm{ }}\beta$ là hai góc nhọn nên $\alpha + \beta = \frac{\pi }{4}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có tập xác định của hàm số y = cosx là $\mathbb{R}$.

Nếu với $x \in \mathbb{R}$ thì $- x \in \mathbb{R}$ và $y\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}x = y\left( x \right)$.

Vậy hàm số ${\rm{y}} = {\rm{cos}}x$ là hàm số chẵn.

Đáp án đúng là: D

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có $y = {\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + {\cos ^2}x = 1 + {\cos ^2}x$

Do $- 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 0 \le {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow 1 \le 1 + {\cos ^2}x \le 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 2\\m = 1\end{array} \right..$

Suy ra $M + 2m = 2 + 2.1 = 4$

Đáp án đúng là: B

Ta có:

${x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

$2{x^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Hai phương trình có cùng tập nghiệm nên tương đương nhau.

Đáp án đúng là: D

Vì $\cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{{5\pi }}{6}$ nên tất cả nghiệm của phương trình là $x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Đáp án đúng là: D

Vì $\tan x = \sqrt 3 = \tan \frac{\pi }{3}$ nên tất cả nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: D

$\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{8} \Leftrightarrow 3x + \frac{\pi }{4} = \pm \frac{\pi }{8} + k2\pi$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.$với $k \in \mathbb{Z}$

Đáp án đúng là: A

Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:

${u_1} = - \frac{1}{2};\,\,{u_2} = - \frac{2}{3};\,\,{u_3} = - \frac{3}{4};\,\,{u_4} = - \frac{4}{5};\,\,{u_5} = - \frac{5}{6}$.

Đáp án đúng là: B

Vì ${u_1} = 2\,.\,{3^1} = 6$ nên ta loại các đáp án C và D.

Ta có ${u_2} = 2\,.\,{3^2} = 18$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_2} = \frac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1;\,\,{u_3} = \frac{1}{3}\left( {{u_2} + 1} \right) = \frac{2}{3};$

${u_4} = \frac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3} + 1} \right) = \frac{5}{9}$.

Vậy ${u_4} = \frac{5}{9}$.

Đáp án đúng là: D

Cấp số cộng có ${u_1} = - \frac{1}{2};\,\,d = \frac{1}{2}$ thì dạng khai triển của cấp số cộng này là$- \frac{1}{2};\,\,0;\,\,\frac{1}{2};\,\,1;\,\,\frac{3}{2};\,...$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $d = \,{u_{n + 1}} - {u_n} = 8 - \left( { - 1} \right) = 9$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\{\begin{matrix}2001={u}_{2}={u}_{1}+d \\ 1995={u}_{5}={u}_{1}+4d\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=2003 \\ d=-2\end{matrix}$

Do đó ${u_{1001}} = {u_1} + 1000d = 3$.

Đáp án đúng là: B

$\{\begin{matrix}{u}_{1}-{u}_{3}+{u}_{5}=15 \\ {u}_{1}+{u}_{6}=27\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}-({u}_{1}+2d)+({u}_{1}+4d)=15 \\ {u}_{1}+({u}_{1}+5d)=27\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}+2d=15 \\ 2{u}_{1}+5d=27\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=21 \\ d=-3\end{matrix}$

Đáp án đúng là: B

Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân nên ${u_{n + 1}} = q{u_n}$.

Vậy dãy số $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = - 3{u_n},\,\,n \ge 1\end{array} \right.$ là cấp số nhân.

Đáp án đúng là: D

Giả sử $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân công bội $q$ thì

• Dãy ${u_1};\,\,{u_3};\,\,{u_5};...$ là cấp số nhân công bội ${q^2}$.

• Dãy $3{u_1};\,\,3{u_2};\,\,3{u_3};...$ là cấp số nhân công bội $3q$.

• Dãy $\frac{1}{{{u_1}}};\,\,\frac{1}{{{u_2}}};\,\,\frac{1}{{{u_3}}};...$ là cấp số nhân công bội $\frac{1}{q}$.

• Dãy ${u_1} + 2;\,\,{u_2} + 2;\,\,{u_3} + 2;...$ không phải là cấp số nhân.

Đáp án đúng là: C

Cấp số nhân là $x - 6;\,\,x$ và $y$ có công bội là $q = 6$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = x - 6,\,\,q = 6\\x = {u_2} = 6\left( {x - 6} \right)\\x = {u_3} = {u_2}{q^2} = 36x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{36}}{5}\\y = 36\,.\,\frac{{36}}{5} = \frac{{1296}}{5}\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Cấp số nhân đã cho có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = 4\end{array} \right.$.

Do đó ${S_n} = {u_1}\,.\,\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1\,.\,\frac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} = \frac{{{4^n} - 1}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.

Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa $C_4^3 = 4$ (mặt phẳng).

Đáp án đúng là: A

Khẳng định B sai. Nếu ba đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.

Khẳng định C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác, khi đó sẽ tạo ra được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành một mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.

Đáp án đúng là: D

• $S$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $(SMN)$ và $(SAC)$.

Gọi $O = AC \cap BD$ là tâm của hình bình hành.

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $T = AC \cap MN$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset (SAC) \Rightarrow O \in (SAC)\\O \in MN \subset (SMN) \Rightarrow O \in (SMN)\end{array} \right.$

Do đó $O$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $(SMN)$ và $(SAC).$

Vậy $(SMN) \cap (SAC) = SO.$

Đáp án đúng là: D

• Hình chóp $S.ABCD$ có 4 mặt bên: $(SAB),\,\,(SBC),\,\,(SCD),\,\,(SAD).$ Do đó A đúng.

• $S$ là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.

$$\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset (SAC) \Rightarrow O \in (SAC)\\O \in BD \subset (SBD) \Rightarrow O \in (SBD)\end{array} \right.$$

Khi đó, $O$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD).$

Suy ra $(SAC) \cap (SBD) = SO$. Do đó B đúng.

• Tương tự, ta có $(SAD) \cap (SBC) = SI$. Do đó C đúng.

• $(SAB) \cap (SAD) = SA$ mà $SA$ không phải là đường trung bình của hình thang $ABCD.$ Do đó D sai.

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau hoặc trùng nhau.

Đáp án đúng là: D

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì giao tuyến ấy đôi một song song hoặc đồng quy.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}(GIJ) \cap (BCD) = G\\IJ \subset (GIJ),\,\,CD \subset (BCD)\\IJ\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right.$

Do đó $(GIJ) \cap (BCD) = Gx\,{\rm{//}}\,IJ\,{\rm{//}}\,CD$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}(IBC) \cap (SAD) = I\\BC \subset (IBC),\,\,AD \subset (SAD)\\BC\,{\rm{//}}\,AD\end{array} \right.$

Suy ra $(IBC) \cap (SAD) = Ix\,{\rm{//}}\,BC{\rm{//}}\,AD$.

Trong mặt phẳng $(SAD)$ có $Ix\,{\rm{//}}\,AD$, gọi $Ix \cap SD = J$ nên $IJ\,{\rm{//}}\,BC$.

Vậy thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(IBC)$ là hình thang $IBCJ$.

Vì $\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}(t - 60)} \right] \le 1$ nên $y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}(t - 60)} \right] + 10 \le 14.$

Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất thì $y = 14 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}(t - 60)} \right] = 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}(t - 60) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 149 + 356k$

Khi đó $- \frac{{149}}{{356}} < k \le \frac{{54}}{{98}}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0$.

Với $k = 0$ thì $t = 149$ rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì năm 2017 không phải là năm nhuận).

Giá tiền khoan mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 80\,\,000;\,\,d = 5\,\,000$.

Do cần khoan $50\,\,m$ nên tổng số tiền cần trả là:

${u_1} + {u_2} + ... + {u_{50}} = 50{u_1} + \frac{{50\,.\,49}}{2}d = 50\,.\,\,80\,\,000 + \frac{{50\,.\,49}}{2}\,.\,\,5\,\,000 = 10\,\,125\,\,000$ (đồng).

Vậy phải trả $10\,\,125\,\,000$ đồng để khoan cái giếng đó.

a) Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $M$ là giao điểm của $CI$ và $SA,\,\,CI \subset (ICD)$ nên $M \in (ICD)$.

Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $N$ là giao điểm của $DI$ và $SB,\,\,DI \subset (ICD)$ nên $N \in (ICD)$.

Ta có $(KCD) \cap (SAB) = MN$.

Mà $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $MN\,{\rm{//}}\,CD$.

Theo định lí Menelaus, trong tam giác $SOA$, ta có: $\frac{{SM}}{{MA}}\,.\,\frac{{AC}}{{CO}}\,.\,\frac{{OI}}{{IS}} = 1$.

Hay $\frac{{SM}}{{MA}}\,.\,2\,.\,1 = 1$ suy ra $\frac{{SM}}{{MA}} = \frac{1}{2}$ nên $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3}$.

Ta có $MN\,{\rm{//}}\,AB$ nên $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{MN}}{{AB}}$.

Vậy $MN = \frac{1}{3}a$.

b) $K \in CN;\,\,CN \subset (SBC)$ nên $K \in (SBC)$.

$K \in DM;\,\,DM \subset (SAD)$ nên $K \in (SAD)$.

Ta có $S$ và $K$ là hai điểm chung của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ nên $SK$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.

Mà $AD\,{\rm{//}}\,BC$ nên $SK\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD$.