Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: B

Theo SGK, cho hai tia $Oa$ và $Ob,$ sẽ có vô số góc lượng giác có tia đầu là $Oa$ và tia cuối là $Ob.$

Đáp án đúng là: B

Theo SGK, chiều âm là cùng chiều kim đồng hồ, quan sát hình vẽ ta được số đo của góc lượng giác $\left( {OA,\,\,OQ} \right)$ bằng $- \,45^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Ta có $\left( {OA,OM} \right) = - \frac{{63\pi }}{2} = - \left( { - \frac{\pi }{2} + 32\pi } \right) = \frac{\pi }{2} - 16.2\pi$.

Suy ra điểm $M$ cũng là điểm biểu diễn của góc có số đo $\frac{\pi }{2}$.

Nên $OA \bot OM.$

Đáp án đúng là: C

Vì $\alpha$ thuộc góc phần phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác nên $\sin \alpha > 0;\,\,\cos \alpha < 0.$

Đáp án đúng là: D

Ta có $\sin \left( {\frac{{9\pi }}{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {4\pi + \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \alpha$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sin \alpha = \frac{{12}}{{13}}$ và ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

Suy ra $\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \frac{5}{{13}}$.

Mà $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}$.

Đáp án đúng là: A

Chọn A vì đúng theo công thức cộng.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}$

$$\Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\cos x.\sin x = \frac{1}{4}$$

$$\Leftrightarrow \cos x.\sin x = - \frac{3}{8}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$

Từ (1): $\cos x = \frac{1}{2} - \sin x$ thế vào (2), ta được:

$$\left( {\frac{1}{2} - \sin x} \right)\sin x = - \frac{3}{8}\, \Leftrightarrow - {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\sin x + \frac{3}{8} = 0$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\\\sin x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\,\end{array} \right.$.

Do $\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \sin x > 0 \Rightarrow \sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 2\cos x(\sin x + \cos x)$.

Mà $\sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\cos x\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sin x\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).$

Vậy $1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).$

Đáp án đúng là: D

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Đáp án đúng là: B

Ta thấy tại $x = 0$ thì $y = 1$. Do đó loại đáp án C và D

Tại $x = \frac{\pi }{2}$ thì $y = 0$. Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Đáp án đúng là: D

Mực nước của kênh cao nhất khi $h$ lớn nhất nên ta có:

$\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4} = k2\pi$ với $0 < t \le 24$ và $k \in \mathbb{Z}.$

Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn.

Vì với $t = 14 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4} = 2\pi$ (đúng với $k = 1 \in \mathbb{Z}$).

Đáp án đúng là: B

Vì ${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \,2$.

$$\sqrt {2{x^2} - 4} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2{x^2} - 4 = {x^2}\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$.

Phương trình $\sqrt {2{x^2} - 4} = x$ không cùng tập nghiệm với ${x^2} - 4 = 0$ nên không tương đương.

Đáp án đúng là: D

Vì $- \frac{3}{2} < - 1$ nên phương trình $\sin 2x = - \frac{3}{2}$ vô nghiệm.

Đáp án đúng là: D

$\cos 2x = \cos \left( {x + 60^\circ } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + 60^\circ + k360^\circ \\2x = - \left( {x + 60^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60^\circ + k360^\circ \\x = - 20^\circ + k120^\circ \end{array} \right.$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: A

$\cos x = \sin x \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: B

Thay lần lượt $n = 1;\,\,n = 2;\,\,n = 3$ vào công thức số hạng tổng quát ta được đáp án B.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = - 2 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Đáp án đúng là: A

Vì dãy số đã cho có $5$ số hạng nên loại đáp án B và C.

• Xét ${u_n} = {2^n}$. Ta có: ${u_1} = 2;\,{u_2} = 4$ suy ra ${u_2} = 2 + {u_1}$ không thỏa công thức đã cho.

• Xét ${u_n} = 3n - 1$ với $n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}$.

Ta có: ${u_1} = 2;\,\,\,{u_2} = 5 = 3 + {u_1};\,\,{u_3} = 8 = 3 + {u_2};\,\,{u_4} = 11 = 3 + {u_3};\,\,{u_5} = 14 = 3 + {u_4}$ thỏa công thức.

Đáp án đúng là: C

Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: ${u_{m + 1}} - {u_m} \ne {u_{k + 1}} - {u_k}$ thì ta kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

Ta thấy dãy số $\frac{4}{5};\,\,1;\,\,\frac{7}{5};\,\,\frac{9}{5};\,\,\frac{{11}}{5};...$ có $\frac{1}{5} = {u_2} - {u_1} \ne {u_3} - {u_2} = \frac{2}{5}$

Do đó dãy số $\frac{4}{5};\,\,1;\,\,\frac{7}{5};\,\,\frac{9}{5};\,\,\frac{{11}}{5};...$ không phải là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: C

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng khi và chỉ khi ${u_n} = an + b$ ($a,\,\,b$ là hằng số).

Đáp án đúng là: A

Giữa số $2$ và $22$ có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số cộng có năm số hạng với ${u_1} = 2;\,\,{u_5} = 22$; ta cần tìm ${u_2};\,\,{u_3};\,\,{u_4}$.

Ta có ${u_5} = {u_1} + 4d \Leftrightarrow d = \frac{{{u_5} - {u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2}}{4} = 5$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + d = 7\\{u_3} = {u_1} + 2d = 12\\{u_4} = {u_1} + 3d = 17\end{array} \right.$.

Vậy ba số hạng xen giữa các số $2$ và $22$ là $7;\,\,12;\,\,17$.

Đáp án đúng là: C

Các số $5;\,\,9;\,\,13;\,\,17;...$ theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = {u_2} - {u_1} = 4\end{array} \right.$.

Do đó công thức tổng quát là: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + 4(n - 1) = 4n + 1$.

Đáp án đúng là: D

Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là $2;\,\,3;\,\,\frac{1}{2}.$

Xét đáp án D: $\frac{1}{\pi };\,\,\frac{1}{{{\pi ^2}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};...$

Ta có $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}$.

Do đó dãy $\frac{1}{\pi };\,\,\frac{1}{{{\pi ^2}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};...$ không phải là cấp số nhân.

Đáp án đúng là: C

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{3}{2}\,.\,{5^n}$ là cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{{15}}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Công bội của cấp số nhân là: $q = \frac{{4{x^2} - 1}}{{2x + 1}} = 2x - 1$.

Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là $\left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 8{x^3} - 4{x^2} - 2x + 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $32\,\,805 = {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 5\,.\,{3^{n - 1}}$

$\Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6\,\,561 = {3^8} \Leftrightarrow n = 9$.

Vậy ${u_9}$ là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.

Đáp án đúng là: B

Nếu hai mặt phẳng trùng nhau, khi đó hai mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.

Đáp án đúng là: A

Từ 4 điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ ta tạo thành một tứ giác. Khi đó, 4 điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ đồng phẳng và tạo thành một mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng $(ABCD)$.

Đáp án đúng là: D

Điểm $I$ là giao điểm của $EF$ và $BC$.

Mà $\left\{ \begin{array}{l}EF \subset (DEF)\\EF \subset (ABC)\\EF \subset (AEF)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I = (BCD) \cap (DEF)\\I = (BCD) \cap (ABC)\\I = (BCD) \cap (AEF)\end{array} \right.$.

Vậy thì $I$ không phải là điểm chung của hai mặt phẳng $(BCD)$ và $(ABD)$.

Đáp án đúng là: A

• $S$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $(MSB)$ và $(SAC)$.

• Ta có $\left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset (SMB) \Rightarrow I \in (SMB)\\I \in AC \subset (SAC) \Rightarrow I \in (SAC)\end{array} \right.$

Do đó $I$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $(MSB)$ và $(SAC)$.

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).

Đáp án đúng là: A

Gọi $(P)$ là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng $a$ và $M$; $(Q)$ là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng $b$ và $M$.

Giả sử $c$ là đường thẳng qua $M$ cắt cả $a$ và $b$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}c \in (P)\\c \in (Q)\end{array} \right. \Rightarrow c = (P) \cap (Q)$.

Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua $M$ cắt cả $a$ và $b$.

Đáp án đúng là: D

Xét mặt phẳng $(ABP)$.

Ta có $M,\,\,N$ cùng thuộc $AB$ nên $M,\,\,N$ cùng thuộc mặt phẳng $(ABP)$.

Mặt khác $AC \cap (ABP) = P$.

Mà $Q \in CD$ nên $Q \notin (ABP)$.

Do đó $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q$ không đồng phẳng.

Vậy $MP,\,\,NQ$ chéo nhau.

Đáp án đúng là: D

• Trường hợp $(\alpha ) \cap AD = K$.

Khi đó $(T)$ là tam giác $MNK$. Do đó A và C sai.

• Trường hợp $(\alpha ) \cap (BCD) = IJ$, với $I \in BD,\,\,J \in CD;\,\,I,\,\,J$ không trùng $D$.

Khi đó $(T)$ là tứ giác. Do đó D đúng.

Vì $- 1 \le \sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) \le 1$ nên $29 + 3\,.\,( - 1) \le 29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) \le 29 + 3\,.\,1$

$\Leftrightarrow 26 \le 29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) \le 32$

$\Leftrightarrow 26 \le h(t) \le 32$

Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là $26^\circ C$ khi:

$29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = 26$

$\Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = - 1$

$\Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t = 3 + 24k,\,\,k \in \mathbb{Z}$

Vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiệt độ thấp nhất của thành phố là $26^\circ C$.

Kể từ lúc 1 giờ đến 24 giờ thì số tiếng được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với ${u_1} = 1$, công sai $d = 1$.

Số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là:

$S = {S_{24}} = \frac{{24}}{2}\left( {{u_1} + {u_{24}}} \right) = 12(1 + 24) = 300$ (tiếng chuông).

Vậy một ngày đồng hồ đó đánh 300 tiếng chuông.

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}MN \subset (MNP)\\AB \subset (ABD)\\MN\,\,{\rm{//}}\,\,AB\end{array} \right. \Rightarrow (MNP) \cap (ABD) = Px\,\,{\rm{//}}\,\,AB\,\,{\rm{//}}\,\,MN$

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt phẳng $(ABD)$ là $Px$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}M \in (MNP)\\M \in BC \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow M \in (MNP) \cap (BCD)$.

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}P \in (MNP)\\P \in BD \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow P \in (MNP) \cap (BCD)$.

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt phẳng $(BCD)$ là $MP$.

Vậy giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt phẳng $(ABD),\,\,(BCD)$ lần lượt là $Px$ và $MP$.

b) Vì $\frac{{DQ}}{{QA}} = \frac{{DP}}{{PB}}$ nên $PQ\,\,{\rm{//}}\,\,AB$.

Do đó $PQ$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.

Ta có $Q \in (MNP)$. Do đó:

• $(MNP) \cap (ACD) = QN$

• $(MNP) \cap (BCD) = PM$

• $(ACD) \cap (BCD) = CD$

Vì $\frac{{CM}}{{MB}} \ne \frac{{DP}}{{PB}}$ nên $DC$ cắt $PM$ tại $I$.

Do đó ba đường thẳng $DC,\,\,QN,\,\,PM$ đồng quy.