Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 6

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Vì $1^\circ = \frac{\pi }{{180}}rad$ nên $- 260^\circ = - 260.\frac{\pi }{{180}} = - \frac{{13\pi }}{9}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 .$

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\,\,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có $- \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0,\tan \alpha > 0,\cot \alpha > 0$.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Cách 1: Ta có: $\delta - \alpha = 4\pi \Rightarrow$ $2$ cung $\alpha$ và $\delta$ có điểm cuối trùng nhau.

$\gamma - \beta = 8\pi \Rightarrow$ hai cung $\beta$ và $\gamma$ có điểm cuối trùng nhau.

Cách 2: Gọi $A,B,C,D$ lần lượt là điểm cuối của các cung $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$

Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có $B \equiv C,A \equiv D$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\cot \alpha = 4\tan \alpha$$\Leftrightarrow \frac{{\cot \alpha }}{{\tan \alpha }} = 4 \Leftrightarrow {\cot ^2}\alpha = 4 \Leftrightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = 5$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 5 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Vì $\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$ nên $\sin \alpha > 0$, do đó $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2}} = \frac{1}{3}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\sin (a-17^{\circ}).\cos (a+13^{\circ})-\sin (a+13^{\circ}).\cos (a-17^{\circ})$

$=\sin [(a-17^{\circ})-(a+13^{\circ})]$

$=\sin (-30^{\circ})=-\frac{1}{2}.$

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có các kết quả sau:

Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ.

Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

Hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định: ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.$

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = \sin x$; $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi .$

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Trên khoảng $\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)$ thì hàm số $y = \tan x$ đồng biến.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $y = 2\sin 2x + 1$.

Do $- 1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\sin 2x \le 2 \Rightarrow - 1 \le 2\sin 2x + 1 \le 3$.

$\Rightarrow - 1 \le y \le 3$.

* $y = - 1 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$.

* $y = 3 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $M = 3$, giá trị nhỏ nhất bằng $m = - 1$.

Suy ra: $M + m = 2$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}9 - {x^2} \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 3\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 3$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ {0;3} \right]$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

$\sin 2x = - \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình $\cos x = 2$. Phương trình vô nghiệm vì $2 > 1.$

Xét phương trình $\cos x = - 3$. Phương trình vô nghiệm vì $- 3 < - 1$.

Xét phương trình $2\cos x = - \sqrt 5 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}$. Phương trình vô nghiệm vì $- \frac{{\sqrt 5 }}{2} < - 1$

Xét phương trình $2\cos x = - 2 \Leftrightarrow \cos x = - 1$$\Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .$

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3$$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $\frac{\pi }{3}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1$$\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${u_5} = \frac{{3 \cdot {5^2} - 2}}{{{5^2} + 2}} = \frac{{73}}{{27}}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${u_n} = \frac{7}{{11}}$$\Leftrightarrow$$\frac{{3n + 1}}{{5n - 1}} = \frac{7}{{11}}$$\Leftrightarrow$$33n + 11 = 35n - 7$$\Leftrightarrow$$n = 9$.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Do $5 = 5.1\,;\,10 = 5.2\,;\,15 = 5.3\,;\,20 = 5.4\,;\,...$ nên số hạng tổng quát của dãy số này là ${u_n} = 5n$.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{(3n + 1)(3n - 2)}} > 0$ với mọi $n \ge 1$.

Suy ra ${u_{n + 1}} > {u_n}{\rm{ }}\forall n \ge 1 \Rightarrow$ dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy tăng.

Mặt khác: ${u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3(3n - 2)}} \Rightarrow - 11 \le {u_n} < \frac{2}{3}{\rm{ }}\forall n \ge 1$

Vậy dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy bị chặn.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${u_1} = 5,{u_2} = 5 + 1$, ${u_3} = 5 + 1 + 2$,…

${u_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Vì $ABCD$ là tứ diện nên $AC$ và $BD$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$$\Rightarrow O = AC \cap MN$$\Rightarrow SO = \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)$.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$: Gọi $SO \cap AM = K$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, kéo dài $BK$ cắt $SD$ tại $N$.

$\Rightarrow$$N$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$

$\Rightarrow$Giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ là giao điểm của $SD$ và $BK$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $M$; $Q$ lần lượt là trung điểm của $AC$; $CD$.

$\Rightarrow MQ$ là đường trung bình của tam giác $CAD \Rightarrow MQ\,{\rm{//}}\,AD\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

Ta có: $R$; $T$ lần lượt là trung điểm của $SA$; $SD$.

$\Rightarrow RT$ là đường trung bình của tam giác $SAD \Rightarrow RT\,{\rm{//}}\,AD\,\,\,\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra: $MQ\,{\rm{//}}\,RT$.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có điểm chung là $S$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD\,{\rm{//}}\,BC\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\,{\rm{//}}\,AD\,{\rm{//}}\,BC$

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Theo định lý ta có: “Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $d$ song song với đường thẳng $d'$ nằm trong $\left( \alpha \right)$ thì $d$ song song với $\left( \alpha \right)$”.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $NP\;{\rm{//}}\;AB \Rightarrow AB\;{\rm{//}}\;\left( {MNP} \right)$.

Mặt khác $AB \subset \left( {ABC} \right)$, $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {MNP} \right)$ có điểm $M$ chung nên giao tuyến của $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {MNP} \right)$ là đường thẳng $MQ\;{\rm{//}}\;AB$$\left( {Q \in AC} \right)$.

Ta có: $\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{{MC}}{{MB}} = 2$.

a) Vì $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi$ nên $\cos \alpha > 0$.

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1$.

Suy ra: $\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{5}{{13}}$.

Vậy $cos\left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha + \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}$.

b) $\sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{7\pi }}{{10}} - x} \right)$

$\Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{{7\pi }}{{10}} - x} \right)} \right]$$\Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{5}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{4} = x - \frac{\pi }{5} + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{4} = \pi - x + \frac{\pi }{5} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{{9\pi }}{{20}} + k2\pi \\5x = \frac{{19\pi }}{{20}} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{19\pi }}{{100}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = - \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{3};\,\,x = \frac{{19\pi }}{{100}} + k\frac{{2\pi }}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$: Với ${u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}$

Ta có: ${u_n} = 3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}$

Với mọi $n \in \mathbb{N}*$ ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {3\left( {n + 1} \right) - 5 + \frac{6}{{n + 2}}} \right] - \left( {3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}} \right)$ $= 3 + \frac{6}{{n + 2}} - \frac{6}{{n + 1}}$

$= 3\left[ {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 2\left( {n + 1} \right) - 2\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}} \right]$ $= \frac{{3\left( {{n^2} + 3n} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0.{\rm{ }}\forall n \ge 1.$

Kết luận $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ (1)

Lại có $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

b) Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = d$ qua $I$ và $d\,{\rm{//}}\,CD$.

Gọi $P,\,\,Q$ lần lượt là giao điểm của $d$ với $AD,\,\,BC$.

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}P \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,SA\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = {d_1}$ qua $P$ và ${d_1}\,{\rm{//}}\,SA$.

Khi đó $N$ là giao điểm của ${d_1}$ với $SD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = {d_2}$ qua $N$ và ${d_2}\,{\rm{//}}\,CD$.

Khi đó $M$ là giao điểm của ${d_2}$ với $SC$.

Suy ra mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tạo với hình chóp $S.ABCD$ một thiết diện là hình thang $MNPQ$

Ta có $MN\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow \frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}}$

Mà $\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{AP}}{{AD}} = \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{2}{3}$

Suy ra $\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{2}{3}.$

Ta có $- 1 \le \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) \le 1$ với mọi $0 \le t \le 24$

$- A + B \le A\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + B \le A + B$ với mọi $0 \le t \le 24$

Độ sâu của mực nước lớn nhất bằng $A + B$ khi $\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1$ và thấp nhất bằng $- A + B$ khi $\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - 1$

Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}A + B = 15\\ - A + B = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = 12\\A = 3\end{array} \right.$

Ta được $h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12$

Theo đề, ta tìm thời điểm mà độ sâu $h = 13{,}5$

$\Leftrightarrow 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 13{,}5$$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \left( { - 1 + \frac{\pi }{3}} \right).\frac{6}{\pi } + 12k\\t = \left( { - 1 - \frac{\pi }{3}} \right).\frac{6}{\pi } + 12k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do $0 \le t \le 24; k \in \mathbb{Z}$ nên $t = 0{,}09$ (giờ); $t = 12{,}09$ (giờ); $t = 8{,}09$ (giờ);$t = 20{,}09$ (giờ).