Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: C

72 bánh răng tương ứng với $2\pi$

$\Rightarrow 10$ bánh răng tương ứng với $\frac{{10}}{{72}}.2\pi = \frac{{5\pi }}{{18}}$.

Đáp án đúng là: D

Nếu $\sin \alpha ,\cos \alpha$ cùng dấu thì

• $\sin \alpha ,\cos \alpha$ cùng dương Þ điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ I;

• $\sin \alpha ,\cos \alpha$ cùng âm Þ điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ III.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Khi các biểu thức có nghĩa thì $\tan \alpha .\cot \alpha = 1$. Do đó D là phương án sai.

Đáp án đúng là: B

Điểm $N$ là điểm biểu diễn của góc $\beta$ trên đường tròn lượng giác, do điểm $N$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ nên $\beta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $P = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\alpha = {\left( {{\rm{tan}}\alpha + {\rm{cot}}\alpha } \right)^2} - 2{\rm{tan}}\alpha .{\rm{cot}}\alpha = {2^2} - 2.1 = 2$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức ${\rm{cos}}x{\rm{cos}}y + {\rm{sin}}x{\rm{sin}}y = {\rm{cos}}\left( {x - y} \right)$, ta được

$\;M = {\rm{cos}}\left( {a + b} \right){\rm{cos}}\left( {a - b} \right) + {\rm{sin}}\left( {a + b} \right){\rm{sin}}\left( {a - b} \right)$

$\; = {\rm{cos}}\left[ {a + b - \left( {a - b} \right)} \right] = {\rm{cos}}2b = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}b.$

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = f\left( x \right)$ (có tập xác định $D$) là hàm số lẻ nếu với $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)$.

Đáp án đúng là: B

Các hàm số $y = \sin x$, $y = \cos x$ tuần hoàn chu kì $2\pi$.

Các hàm số $y = \tan x$, $y = \cot x$ tuần hoàn chu kì $\pi$.

Vậy có 2 hàm số tuần hoàn chu kì $2\pi$.

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị nhận thấy hàm số $y = \cot x$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $- 1 \le {\rm{sin}}2x \le 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 + {\rm{sin}}2x \ge 0}\\{1 - {\rm{sin}}2x \ge 0}\end{array},\forall x \in \mathbb{R}} \right.$.

Vậy tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $y = {\cos ^2}x - 4\cos x - 5 = {\left( {\cos x - 2} \right)^2} - 9$

Khi đó $- 1 \le \cos x \le 1$ $\Leftrightarrow - 3 \le \cos x - 2 \le - 1 \Rightarrow 1 \le {\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)^2} \le 9$

Do đó $y = {\left( {\cos x - 2} \right)^2} - 9 \ge 1 - 9 = - 8$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- 8$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\cot x = - 1$ $\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\cos 2x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $3\tan x - \sqrt 3 = 0$$\Leftrightarrow \tan x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì $x \in \left[ {0;3\pi } \right]$ nên $0 \le \frac{\pi }{6} + k\pi \le 3\pi$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{{17}}{6}$, mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ {0;1;2} \right\}$.

Vậy có 3 giá trị của $x$ thỏa mãn.

Đáp án đúng là: C

Ta có ${u_1} = {1^2} - 1 = 0$; ${u_2} = {2^2} - 1 = 3$; ${u_3} = {3^2} - 1 = 8$; ${u_4} = {4^2} - 1 = 15$; ${u_5} = {5^2} - 1 = 24$; … Suy ra năm số hạng đầu tiên của dãy số là $0$, $3$, $8$, $15$, $24$.

Đáp án đúng là: A

${u_{n + 1}} = {2^{n + 1}} = {2.2^n}$.

Đáp án đúng là: B

${u_n} = {n^2} - 4n + 5 = {\left( {n - 2} \right)^2} + 1 \ge 1$.

Vậy đây là dãy số bị chặn dưới.

Đáp án đúng là: B

Công thức số hạng tổng quát ${u_n}$ là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$.

Đáp án đúng là: D

Dãy số $0;4;5;12;16$ là cấp số cộng với ${u_1} = 0$ và $d = 4$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${u_3} + {u_{13}} = 80 \Leftrightarrow ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 12d) = 80$$\Leftrightarrow 2{u_1} + 14d = 80$

Vậy ${S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2{u_1} + 14d} \right) = \frac{{15}}{2}.80 = 600$.

Đáp án đúng là: B

Trong không gian, hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau thì chỉ có duy nhất một mặt phẳng đi qua $a$ và song song với $b$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $I \in MN,MN \subset \left( {SAB} \right),MN \subset \left( {AMNB} \right)$ nên $I \in \left( {SAB} \right),I \in \left( {AMNB} \right)$

$I \in AB,AB \subset \left( {ABC} \right)$ nên $I \in \left( {ABC} \right)$.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Hình chóp $S.{A_1}{A_2}...{A_n}\left( {n \ge 3} \right)$ có $n$ cạnh bên và $n$ cạnh đáy nên có $2n$ cạnh.

Khi đó $2n = 16 \Leftrightarrow n = 8$.

Vậy hình chóp đó có 8 mặt bên và 1 mặt đáy nên có tất cả 9 mặt.

Đáp án đúng là: B

Hình chóp $S.ABC$ gọi là hình chóp tam giác hay hình tứ diện.

Hình chóp tam giác (hình tứ diện) này có $SA = SB = SC$ chưa đủ dữ kiện để gọi là hình chóp tam giác đều (hình tứ diện đều) do chưa có dữ kiện tất cả các cạnh bằng nhau.

Đáp án đúng là: C

Ta có $B \in \left( {ABN} \right)\left( {MBD} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$gọi $G = MD \cap AN$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}G \in MD \subset \left( {MBD} \right)\\G \in AN \subset \left( {ABN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow G \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right)$

Do đó $BG = \left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

• $M \in SB$ suy $M$ là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

• $I$ là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

• $J$ là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

Vậy $M,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

Đáp án đúng là: C

$AB\,{\rm{//}}\,CD$, $AC$ cắt $BD$, $SB$ và $CD$ chéo nhau, $SD$ cắt $BD$.

Đáp án đúng là: B

Do $a$ và $b$ phân biệt và đồng phẳng nên chỉ có hai vị trí tương đối có thể xảy ra là $a$ song song với $b$ hoặc $a$ cắt $b.$

Đáp án đúng là: C

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.

Đáp án đúng là: B

Gọi $F$ là trung điểm

Xét tam giác $FDC$ vì $\frac{{FE}}{{FC}} = \frac{{FG}}{{FD}} = \frac{1}{3}$ nên $EG\,{\rm{//}}\,CD.$

Đáp án đúng là: C

Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Đáp án đúng là: C

Có vô số mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ (đó là tất cả các mặt phẳng chứa $a$ nhưng không chứa $b$).

Đáp án đúng là: D

Theo định nghĩa đường thẳng song song mặt phẳng.

Đáp án đúng là: D

Trong tam giác $SAC$ có $O$ là trung điểm $AC$, $I$ là trung điểm $SC$ nên $IO\,{\rm{//}}\,SA$

$\Rightarrow IO$ song song với hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right).$

Mặt phẳng $\left( {IBD} \right)$ cắt $\left( {SAC} \right)$ theo giao tuyến $IO.$

Mặt phẳng $\left( {IBD} \right)$ cắt $\left( {SBC} \right)$ theo giao tuyến $BI$, cắt $\left( {SCD} \right)$ theo giao tuyến $ID$, cắt $\left( {ABCD} \right)$ theo giao tuyến $BD$ $\Rightarrow$ thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( {IBD} \right)$ và hình chóp $S.ABCD$ là tam giác $IBD.$

a) $4{\sin ^2}x - 12\cos x - 9 = 0$

$\Leftrightarrow 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 12{\rm{cos}}x + 5 = 0$

Đặt $\cos x = t,t \in \left[ { - 1;1} \right]$, khi đó phương trình trở thành

$4{t^2} + 12t + 5 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 1}}{2}\left( {tm} \right)\\t = - \frac{5}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Với $t = - \frac{1}{2}$ ta có $\text{cos}x=-\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x=\pm \frac{2π}{3}+k2π\ (k\in ℤ)$

b) $3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + \left( {3 - \sqrt 3 } \right){\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x{\rm{\;\;}}\left( {\rm{*}} \right)$

Xét ${\rm{cos}}x = 0$ suy ra ${\sin ^2}x = 1$, thay vào $\left( {\rm{*}} \right)$ ta được

$3{\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow 3 = 0$ (vô lí).

Khi đó ${\rm{cos}}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta có $\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow 3{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x + \left( {3 - \sqrt 3 } \right){\rm{tan}}x - \sqrt 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\tan x = - 1}\\{\tan x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {{\rm{tm}}} \right)}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ;x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

• Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\frac{{CN}}{{CI}} = \frac{2}{3}$ (do $N$ là trọng tâm $\Delta ABC$)

$\Rightarrow \frac{{CN}}{{NI}} = \frac{2}{1}$.

Mà $IB\,{\rm{//}}\,DC$ nên $\frac{{DN}}{{NB}} = \frac{{CN}}{{NI}} = \frac{2}{1}$

Lại có $AD = 3AM \Rightarrow \frac{{DM}}{{MA}} = \frac{2}{1}$

Do đó $\frac{{CN}}{{NI}} = \frac{{DM}}{{MA}} = \frac{2}{1}$$\Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,AB$

Mà $AB\,{\rm{//}}\,DC \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,DC \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)$.

• Tương tự, $\frac{{SG}}{{GI}} = \frac{{CN}}{{NI}} = \frac{2}{1}$ $\Rightarrow GN\,{\rm{//}}\,SC$$\Rightarrow GN\,{\rm{//}}\,\left( {SAC} \right)$.

Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm $t$ sao cho $x = 0$, với $0 \le t \le 5$

Ta có $x = 0$$\Leftrightarrow 3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0$.

$\Leftrightarrow \cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0$.

$\Leftrightarrow 4\pi t - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\Leftrightarrow 4\pi t = \frac{{7\pi }}{6} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\Leftrightarrow t = \frac{7}{{24}} + \frac{1}{4}k\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta có 0 ≤ t ≤ 5.

$\Leftrightarrow 0 \le \frac{7}{{24}} + \frac{1}{4}k \le 5$.

$\Leftrightarrow - \frac{7}{{24}} \le \frac{1}{4}k \le \frac{{113}}{{24}}$.

$\Leftrightarrow - \frac{7}{6} \le k \le \frac{{113}}{6}$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ { - 1;0;1;...;17;18} \right\}$, có 20 giá trị $k$ thỏa mãn.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 20 lần.