Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{5\pi }}{4}\left( {rad} \right) = \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } \cdot \frac{{5\pi }}{4} = {225^{\rm{o}}}$.

Đáp án đúng là: C

Chiều âm là chiều kim đồng hồ nên ta có số đo góc lượng giác $\left( {OA,OB'} \right) = - {90^{\rm{o}}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {2\alpha } \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {2\alpha } \right) = 1$ nên phương án D là sai.

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\rm{sin}}\left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {2\pi - \alpha } \right) = \cos \left( { - \alpha } \right) = {\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha < 0$.

Ta có ${\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}} \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = - \frac{5}{{13}}$.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức ${\rm{sin}}2\alpha = 2{\rm{sin}}\alpha .{\rm{cos}}\alpha$ ta được

${\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2{\rm{sin}}\left( {1015a} \right) \cdot {\rm{cos}}\left( {1015a} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Các hàm số $y = \sin x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$ là các hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Vậy có 3 hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = \sin x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$.

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị nhận thấy hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên $\left( { - 3\pi ; - 2\pi } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $- 1 \le {\rm{sin}}x \le 1 \Leftrightarrow 1 \le {\rm{sin}}x + 2 \le 3,\forall x \in \mathbb{R}$.

Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của ${\rm{sin}}x + 2$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $- 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow 3 \ge - 3\sin x \ge - 3$

$\Leftrightarrow 8 \ge 5 - 3\sin x \ge 2 \Leftrightarrow 2 \le y \le 8 \Rightarrow T = \left[ {2;8} \right].$

Đáp án đúng là: B

$\tan x = \tan \frac{\pi }{{11}}$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\cos \frac{x}{2} = 1$ $\Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình $\sin x - m = 0 \Leftrightarrow \sin x = m$ có nghiệm khi $\left| m \right| \le 1$, tức $m \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\cot \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2} = - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: C

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1$ và chỉ có hai ước số là $1$ và chính nó.

Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn $10$ là $2$, $3$, $5$, $7$.

Đáp án đúng là: C

Do ${2^n};n$ là các dãy dương và tăng nên $\frac{1}{{{2^n}}};\frac{1}{n}$ là các dãy giảm, do đó loại các phương án A, B.

Xét phương án C: ${u_n} = {2^n} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {2^{n + 1}} - {2^n} = {2^n} > 0$. Do đó dãy số ${u_n} = {2^n}$ là dãy số tăng.

Xét phương án D: ${u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}$ có ${u_2} = 4;{u_5} = - 8$ nên ${u_2} > {u_5}$, do đó ${u_n}$ không là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: B

Giả sử ${u_n} = - 19$, $\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Suy ra $- {n^2} + n + 1 = - 19$$\Leftrightarrow - {n^2} + n + 20 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 4{\rm{ }}\left( l \right)\end{array} \right.$.

Vậy số $- 19$ là số hạng thứ $5$ của dãy số.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy dãy số $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai là $- 4$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_7} = {u_1} + 6d = - 0{,}1 + 6.0{,}1 = 0{,}5$.

Đáp án đúng là: C

$${S_n} = \frac{{n.\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow - 9800 = \frac{{n.\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 2} \right)} \right]}}{2}$$

$\Leftrightarrow 2{n^2} - 4n - 19600 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n = 100\,\,\left( {tm} \right)}\\{n = - 98\,\,\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.$

Vậy tổng của 100 số hạng đầu của cấp số cộng bằng $- 9800$.

Đáp án đúng là: D

$I \in BD \Rightarrow I \in \left( {BCD} \right),\,\left( {ABD} \right)$.

$I \in MN \Rightarrow I \in \left( {CMN} \right)$.

Vậy điểm $I$ không thuộc mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Có nhiều nhất 3 mặt phẳng được tạo là $\left( {a,b} \right)$, $\left( {A,a} \right)$ và $\left( {A,b} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Quan sát hình vẽ ta thấy hình chóp lục giác đều có 6 mặt bên.

Đáp án đúng là: B

Vì $4$ điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có $4$ mặt.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy $MG \subset \left( {ADN} \right)$ và $\frac{{DM}}{{MA}} \ne \frac{{DG}}{{GN}}$ nên $MG\,,\,\,AN$ cùng thuộc một mặt phẳng và không song song với nhau.

Gọi $I$ là giao điểm của $MG$ và $AN$.

Do $I \in AN \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right)$$\Rightarrow$$I$ là giao điểm của $MG$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Trong $\left( {ABCD} \right)$, $AB$cắt $CD$ tại $I$

$$\left\{ \begin{array}{l}I \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\I \in CD \subset \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\,\,\left( 1 \right)$$

Lại có:$\left\{ \begin{array}{l}M \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\M \in \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2); suy ra $MI$ là giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {MCD} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Theo hình vẽ ta có $CD$ chéo với $SA;\,SB$.

Đáp án đúng là: D

Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng đồng phẳng nên không chéo nhau.

Đáp án đúng là: A

Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,\,BD$, ta có $MN\,{\rm{//}}\,CD$ $\left( 1 \right)$

Xét $\Delta AMN$ có $\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}$$\Rightarrow IJ\,{\rm{//}}\,MN$ $\left( 2 \right)$

Đáp án đúng là: A

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d\\AD\,{\rm{//}}\,BC\end{array} \right. \Rightarrow d\,{\rm{//}}\,BC$ .

Đáp án đúng là: C

Có $3$ vị trí tương đối của $a$ và $\left( P \right)$, đó là:

$a$ nằm trong $\left( P \right)$, $a$ song song với $\left( P \right)$ và $a$ cắt $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d' = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)$. Do $d$ và $d'$ cùng thuộc $\left( \beta \right)$ nên $d$ cắt $d'$ hoặc $d\,{\rm{//}}\,d'$.

Nếu $d$ cắt $d'$, khi đó $d$ cắt $\left( \alpha \right)$ (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy $d\,{\rm{//}}\,d'$.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $SAB$ có $\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3}$nên $PQ\,{\rm{//}}\,AB$ (theo định lý Thalès đảo).

$\left\{ \begin{array}{l}PQ\,{\rm{//}}\,AB\\AB \subset \left( {ABCD} \right)\\PQ \not\subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow PQ\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.

Xét $\Delta ABM$ ta có: $\frac{{M{G_1}}}{{MB}} = \frac{{M{G_2}}}{{MA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB\\{G_1}{G_2} = \frac{1}{3}AB\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ D sai.

Vì ${G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB \Rightarrow {G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABD} \right)$ $\Rightarrow$ A đúng.

Vì ${G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB \Rightarrow {G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABC} \right)$ $\Rightarrow$ C đúng.

Ba đường $B{G_1},A{G_2},CD$, đồng quy tại $M$ $\Rightarrow$ B đúng.

a) $\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos x = 0$

$\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

$\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = \pi - x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) $\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - 2\sqrt 3 \tan x - 6 = 0$ (Điều kiện: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$)

$\Leftrightarrow 3.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - 2\sqrt 3 \tan x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 2\sqrt 3 \tan x - 3 = 0$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \sqrt 3 \\\tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{\pi }{3} + k\pi ;x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

a) Ta có $N$ là điểm chung thứ nhất; $E = BC \cap AD \Rightarrow E$ là điểm chung thứ 2

$\Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {ADN} \right) = NE$.

Gọi $P = SC \cap NE$. Khi đó $P = SC \cap \left( {ADN} \right)$.

b) Ta có : $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)}\\{AB \subset \left( {SAB} \right)}\\{CD \subset \left( {SCD} \right)}\\{AB\,{\rm{//}}\,CD}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow SI\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD$.

Mà $MN\,{\rm{//}}\,AB$ (do $MN$ là đường trung bình của $\Delta SAB$)

$\Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,SI$, lại có $M$ là trung điểm của $SA$

$\Rightarrow N$ là trung điểm của $AI$

Tứ giác $SABI$ có $N$ là trung điểm của $SB,AI$ nên $SABI$ là hình bình hành.

Ta có: $\left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = 3 - 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x$

$\Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 1$

$\Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {2{\rm{sin}}x + 1} \right)$

$\Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x - m - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\rm{sin}}x = \frac{1}{2}}\\{{\rm{cos}}2x = \frac{{m + 1}}{2}}\end{array}} \right.$

Xét ${\rm{sin}}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$, vì $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ nên phương trình đã cho có một nghiệm là $x = \frac{\pi }{6}$.

Do đó để thoả mãn yêu cầu bài toán thì phương trình ${\rm{cos}}2x = \frac{{m + 1}}{2}$ phải có đúng hai nghiệm phân biệt khác $\frac{\pi }{6}$ trên $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$.

Xét hàm số $y = {\rm{cos}}2x$ có bảng biến thiên trên $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ như sau:

Từ BBT suy ra yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{0 \le \frac{{m + 1}}{2} < 1}\\{\frac{{m + 1}}{2} \ne \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1 \le m < 1}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.$.

Vậy $m \in \left[ { - 1;1} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$.