Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\alpha = 60^\circ = \frac{{60\pi }}{{180}}$ rad = $= \frac{\pi }{3}$ rad.

Đáp án đúng là: D

Ta có: góc lượng giác có tia đầu là $Ou$ và tia cuối là $Ov$ có số đo dạng $\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Mà $\frac{{9\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 2\pi$ nên là góc lượng giác cần tìm.

Đáp án đúng là: A

Do $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác nên $\sin \alpha < 0$; $\cos \alpha < 0$; $\tan \alpha > 0$; $\cot \alpha > 0$.

Do đó khẳng định ở phương án A là sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có $A = \cos \left( {\frac{{9\pi }}{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right) = \cos \left( {4\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \left( {\pi - \alpha } \right)$

$= \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \alpha = \sin \alpha - \sin \alpha = 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $P = \sqrt {{{\sin }^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)} = \sqrt {{{\sin }^2}\alpha .1} = \sqrt {{{\sin }^2}\alpha } = \left| {\sin \alpha } \right|$.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ ta được:

$M = \sin \left( {x - y} \right)\cos y + \cos \left( {x - y} \right)\sin y = \sin \left[ {\left( {x - y} \right) + y} \right] = \sin x$.

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = \sin x,y = \tan x,y = \cot x$ là các hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ $O$.

Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$ nên phương án C là mệnh đề sai.

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị nhận thấy hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên $\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Hàm số xác định khi và chỉ khi $1 - {\sin ^2}x \ne 0$ và $\tan x$ xác định

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x \ne 1\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $- 1 \le \cos 3x \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| {\cos 3x} \right| \le 1$

$$\Rightarrow 1 \ge 1 - 2\left| {\cos 3x} \right| \ge - 1$$

Vậy $M = 1$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sin x = 1$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do đó $x = \frac{\pi }{2}$ là một nghiệm của phương trình $\sin x = 1$.

Chú ý: Ta cũng có thể dùng đường tròn lượng giác/ đồ thị hàm số $y = \sin x$ để tìm nghiệm của phương trình này.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sqrt 3 \tan x - 3 = 0$$\Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3$$\Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{3}$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Chú ý: Ta cũng có thể dùng đồ thị hàm số $y = \tan x$ để tìm nghiệm của phương trình này.

Đáp án đúng là: A

Phương trình $\cos x = - m$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\left| { - m} \right| > 1$

$\Leftrightarrow \left| m \right| > 1$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.$ .

Vậy $m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\sin x = \cos x \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ nên $- \pi \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi \Leftrightarrow - \frac{5}{4} \le k \le \frac{3}{4}$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ { - 1;0} \right\}$.

Vậy trong $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$ phương trình có hai nghiệm.

Chú ý: $\sin x = \cos x \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Đáp án đúng là: D

Ta có ${u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = 1 - \frac{2}{{3n + 1}} < 1$.

Mặt khác, với $n \ge 1$ thì $\frac{2}{{3n + 1}} \le \frac{1}{2}$ nên $1 - \frac{2}{{3n + 1}} \ge \frac{1}{2} > 0$.

Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên bởi số 1.

Đáp án đúng là: D

Vì ${2^n};n$ là các dãy số dương và tăng nên $\frac{1}{{{2^n}}};\frac{1}{n}$ là các dãy giảm. Do đó phương án A, B là sai.

Xét phương án C: ${u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}$ có ${u_1} = \frac{3}{2};{u_2} = \frac{7}{6}$ nên ${u_1} > {u_2}$. Phương án C là sai.

Xét phương án D: ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}$ nên ${u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {\frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right) > 0$

Hay ${u_{n + 1}} > {u_n}$ nên dãy số này là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: D

– Kiểm tra ${u_1} = - 2$ ta loại các phương án ${u_n} = n - 2$ và ${u_n} = - 2\left( {n + 1} \right)$.

– Kiểm tra ${u_2} = 0$:

• Xét ${u_n} = - 2n$ có ${u_2} = - 4 \ne 0$ nên loại phương án này.

• Xét ${u_n} = 2n - 4$ có ${u_2} = 0$ nên ta chọn phương án này.

Đáp án đúng là: B

Nếu dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng thì công sai của nó là hiệu của một cặp số hạng liên tiếp bất kì (số hạng sau trừ cho số hạng trước) của dãy số đó.

Ta có $\frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1;\frac{{ - 3}}{2};...$ là cấp số cộng nên số hạng đầu tiên là ${u_1} = \frac{1}{2}$ và công sai là $d = {u_2} - {u_1} = 0 - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${u_5} = {u_1} + 4d = - 5 + 4.3 = 7$.

Đáp án đúng là: C

Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai $d = 3$ và ${u_1} = 25.$

Tổng số ghế là ${S_{30}} = {u_1} + {u_2} + \cdots + {u_{30}} = 30{u_1} + \frac{{30.29}}{2}d = 2055$.

Đáp án đúng là: C

Xét phương án A: Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho. Do đó A sai.

Xét phương án B: Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng. Do đó B sai.

Xét phương án D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm. Do đó D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.

Đáp án đúng là: B

Hình chóp có mặt đáy $ABCD$ là tứ giác, không nhất thiết phải là hình vuông.

Đáp án đúng là: B

Hình chóp tam giác là một hình tứ diện nên A sai.

Hình tứ diện đều có mặt đáy là tam giác đều nên B đúng.

Mặt bên của tứ diện đều là hình tam giác đều nên C sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

$A$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right)$.

Ta có $BG \cap CD = N$ nên $\left\{ \begin{array}{l}N \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow N \in \left( {ABG} \right)\\N \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow N \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.$

Khi đó $N$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right)$.

Vậy $\left( {ACD} \right) \cap \left( {GAB} \right) = AN$.

Đáp án đúng là: D

Điểm $I$ là giao điểm của $EF$ và $BC$ mà $EF \subset \left( {DEF} \right),EF \subset \left( {ABC} \right),EF \subset \left( {AEF} \right)$

Do đó $I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {DEF} \right);I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {ABC} \right);I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {AEF} \right)$.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Đáp án đúng là: B

Giả sử $b\,{\rm{//}}\,c$. Mà $a\,{\rm{//}}\,b$ nên $a\,{\rm{//}}\,c$, điều này mâu thuẫn với giả thiết $a$ và $c$ chéo nhau.

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Ta có $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $IJ\,{\rm{//}}\,AB$.

Tương tự $EF\,{\rm{//}}\,CD$.

Mà $AB\,{\rm{//}}\,CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành) nên $AB\,{\rm{//}}\,CD\,{\rm{//}}\,IJ\,{\rm{//}}\,EF$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$.

Do đó $IJ\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD$

Gọi $d = \left( {SAB} \right) \cap IJG$

Ta có: $G$ là điểm chung giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IJG} \right)$

Mặt khác: $\left( {SAB} \right) \supset AB;\left( {IJG} \right) \supset IJ$ và $AB\,{\rm{//}}\,IJ$ nên giao tuyến $d$ của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IJG} \right)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $AB$, $IJ$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $a\,{\rm{//}}\,b$ và $b \subset \left( P \right)$ thì $a\,{\rm{//}}\,\left( P \right)$ hoặc $a \subset \left( P \right)$. Do đó A sai.

$a\,{\rm{//}}\,b$ và $b\,{\rm{//}}\,\left( P \right)$ thì $a\,{\rm{//}}\,\left( P \right)$ hoặc $a \subset \left( P \right)$. Do đó B sai.

$a \subset \left( Q \right)$ và $b \subset \left( P \right)$ thì chưa đủ điều kiện để khẳng định $a\,{\rm{//}}\,\left( P \right)$.

$a\,{\rm{//}}\,b$; $a \subset \left( Q \right)$ và $b \subset \left( P \right)$ thì $a\,{\rm{//}}\,\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: C

Phương án A sai vì nếu $b\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)$ thì $b\,{\rm{//}}\,a$ hoặc $a,b$ chéo nhau.

Phương án B sai vì nếu $b$ cắt $\left( \alpha \right)$ thì $b$ cắt $a$ hoặc $a,b$ chéo nhau.

Phương án D sai vì nếu $b$ cắt $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ chứa $b$ thì giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ là đường thẳng cắt $a$ hoặc song song với $a$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta SAC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác.

Do đó $MN\,{\rm{//}}\,AC$, mà $AC \subset \left( {ABCD} \right)$ nên $MN\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Gọi $M$ là trung điểm của $BD$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}$.

Điểm $Q \in AB$ sao cho $AQ = 2QB$ suy ra $\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

Khi đó $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{2}{3}$, theo định lí Thalès đảo ta có $QC\,{\rm{//}}\,BD$.

Mặt khác $BD$ nằm trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ suy ra $GQ\,{\rm{//}}\,\left( {BCD} \right)$.

a) ${\cos ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2 + {\sin ^2}x$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x - \sin 2x = \sqrt 2$

$\Leftrightarrow \cos 2x - \sin 2x = \sqrt 2$

$$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x = 1$$

$$\Leftrightarrow \cos 2x.\cos \frac{\pi }{4} - \sin 2x\sin \frac{\pi }{4} = 1$$

$\Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = k2\pi$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\cot x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 0$.

Điều kiện: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Phương trình đã cho tương đương với

$\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\cot x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {\cot ^2}x - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\cot x - \sqrt 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = - 1\\\cot x - \sqrt 3 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {tm} \right)\\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Do $x \in \left( {0;\pi } \right)$ nên $x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{\pi }{6}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x \in \left\{ {\frac{{3\pi }}{4};\frac{\pi }{6}} \right\}$.

a) $\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,BC,BC \subset \left( {ABC} \right)$ và $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( {ABC} \right)$ tại $MN$ nên $MN\,{\rm{//}}\,BC$.

$\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,BC,BC \subset \left( {BCD} \right)$ và $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( {BCD} \right)$ tại $PQ$ nên $PQ\,{\rm{//}}\,BC$.

Suy ra: $MN\,{\rm{//}}\,PQ$.

$\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,AD,AD \subset \left( {ABD} \right)$ và $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( {ABD} \right)$ tại $MQ$ nên $MQ\,{\rm{//}}\,AD$.

$\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,AD,AD \subset \left( {ACD} \right)$ và $\left( \alpha \right)$ cá́t $\left( {ACD} \right)$ tại $NP$ nên $NP\,{\rm{//}}\,BC$.

Suy ra: $MQ\,{\rm{//}}\,NP$.

Do đó, $MNPQ$ là hình bình hành.

b) $MNPQ$ là hình thoi khi $MN = NP$.

Ta có: $\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}$

$\frac{{NP}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{AC}}$ hay ${\rm{\;}}\frac{{MN}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{AC}}$

Mà $\frac{{AN}}{{AC}} + \frac{{CN}}{{AC}} = 1$ nên $\frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{MN}}{{AD}} = 1$

Suy ra: $MN = \frac{{AD.BC}}{{AD + BC}}$.

Ta có: $0 < \alpha < 90^\circ \Leftrightarrow 0 < \frac{\alpha }{2} < 45^\circ \Rightarrow 0 < {\rm{sin}}\frac{\alpha }{2} < \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 0 < \sqrt {\frac{{x - 1}}{{2x}}} < \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x > 0$

Lại có ${\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\frac{\alpha }{2} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\frac{\alpha }{2} = 1 \Rightarrow {\rm{cos}}\frac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\frac{\alpha }{2}}$, vì $0 < \frac{\alpha }{2} < 45^\circ$

$\Leftrightarrow {\rm{cos}}\frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{2x}}} \Rightarrow {\rm{tan}}\frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}}$

Khi đó ${\rm{tan}}\alpha = \frac{{2{\rm{tan}}\frac{\alpha }{2}}}{{1 - {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2\sqrt {\frac{x}{{x + 1}}} }}{{1 - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}}} = \sqrt {{x^2} - 1}$.

Ta có: ${\rm{tan}}\alpha = \frac{1}{2}x$ $\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = \frac{1}{2}x$

$\Leftrightarrow {x^2} - 1 = \frac{1}{4}{x^2}$ (do $x > 0$)

$\Leftrightarrow - \frac{3}{4}{x^2} = - 1$

$\Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3}$$\Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$ (do $x > 0$)

Vậy giá trị $x$ cần tìm là $x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.