Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 7

Chọn A

$\alpha = \frac{{120\pi }}{{180}} = \frac{2}{3}\pi$.

Chọn B

$M\left( {\frac{3}{5};\,\frac{4}{5}} \right)$

Theo định nghĩa hoành độ $x$ của điểm $M$ là $\cos \alpha$$\Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{5}$.

Chọn D

Theo công thức biến đổi tổng thành tích:$\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}$.

Chọn B

Điều kiện xác định: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Chọn A

Theo lí thuyết hàm số$y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Chọn B

Quan sát đồ thị trên đoạn $\left[ { - 3\pi ;\,3\pi } \right]$ đồ thị cắt trục hoành tại 7 điểm phân biệt nên phương trình có 7 nghiệm phân biệt.

Chọn B

Ta có: ${u_1} = \frac{{2.1 + 1}}{{1 + 1}} = \frac{3}{2}$.

Chọn A

Theo lí thuyết các đáp án B, C, D đúng.

Chọn C

Phương án A: Hai đường thẳng phân biệt không song song có thể chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng hoặc cắt nhau nếu chúng đồng phẳng.

Phương án B: Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau nếu chúng đồng phẳng hoặc song song với nhau nếu chúng không đồng phẳng.

Phương án D: Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau hoặc song song với nhau.

Chọn D

Hình chóp ngũ giác có 5 mặt bên, 1 mặt đáy, 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy.

Chọn C

Vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ nên $MN\,{\rm{//}}\,CD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}MN\,{\rm{//}}\,CD\\MN \subset \left( {GMN} \right)\,\\\,CD \subset \left( {BCD} \right)\\\left( {GMN} \right) \cap \left( {ACD} \right) = \left\{ G \right\}\,\end{array} \right. \Rightarrow \left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = Gx{\rm{//}}MN\,{\rm{//}}\,CD$.

1) Giải các phương trình sau:

a) $\tan x = \sqrt 3$.

Ta có: $\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

b) $\sin 2x - \cos x = 0$.

Cách 1:

$\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = \cos x$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\x = 2x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ - x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} - k2\pi \end{array} \right.$, $k \in \mathbb{Z}$.

Cách 2:

$\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos x = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Cho góc $a$ thỏa mãn $\sin a = \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi$. Tính $\cos a$và $\tan 2a$.

Ta có: ${\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \frac{8}{9}$. Vì $\frac{\pi }{2} < a < \pi$ nên $\cos a < 0$. Do đó $\cos a = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Suy ra $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}$.

a) Tính lương của anh Hùng vào năm thứ $3$làm việc cho công ty.

Lương của anh Hùng ở năm thứ 2 là ${T_2} = {T_1} + 18 = 150 + 18 = 168$ (triệu đồng).

Lương của anh Hùng ở năm thứ 3 là ${T_3} = {T_2} + 18 = 168 + 18 = 186$ (triệu đồng).

b) Chứng minh $\left( {{T_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Vì ${T_{n + 1}} - {T_n} = 18 > 0$, $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$nên $\left( {{T_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Gọi $O = AC \cap BD$. Ta được $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO$.

Xét tam giác $\left( {SAC} \right)$ có $O$, $M$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $SA$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SC$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}OM\,{\rm{//}}\,\,SC\\SC \subset \left( {SCD} \right)\\OM \not\subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có $BN \cap AD = E$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ có $EM \cap SD = F \Rightarrow F = SD \cap \left( {BMN} \right)$.

Tam giác $SAE$ có $D$ là trung điểm của $AE$; $M$ là trung điểm của $SA$.

Suy ra $F$ là trọng tâm tam giác $SAE$, do đó $\frac{{SF}}{{FD}} = 2$.

Nhiệt độ ngoài trời lúc 7 giờ tối là

$h\left( {19} \right) = 31 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {19 - 9} \right) = 31 + 3\sin \frac{{5\pi }}{6} = 32.5$.

Ta luôn có

$- 1 \le \sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 3 \Rightarrow 28 \le 31 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 34$

Do đó $h\left( t \right) = 34 \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 15 + 24k,k \in \mathbb{Z}.$

Vì $0 < t \le 24$ nên $t = 15$.

Vậy vào thời điểm $15$ giờ thì nhiệt độ ở thành phố đó lớn nhất.